第3章 专题强化练9 圆锥曲线中的最值与范围问题（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值与范围问题，通过8道典型题覆盖椭圆、抛物线、双曲线，融合定义法、函数法、参数法等解题思想，体现几何性质与代数运算的逻辑关联，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|4题（1,2,4,8）|角度范围、曲率半径、对称点参数、面积范围|从焦点三角形定义到离心率、曲率半径公式推导，结合韦达定理与二次函数求范围| |抛物线|2题（3,6）|距离和最值、面积最值|利用抛物线定义转化距离，结合参数方程与圆的性质构建函数模型| |双曲线|2题（5,7）|方程求解、向量垂直最值、弦长乘积范围|由离心率求标准方程，通过分类讨论（斜率存在与否）及弦长公式探究最值|

专题强化练9　圆锥曲线中的最值与范围问题 1.(2024山东潍坊期末)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P(x0,y0)在C上,若∠F1PF2大于,则x0的取值范围是(　　) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-,) C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-,) 2.(多选题)(2025浙江绍兴上虞中学期中)曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线的弯曲变化程度的.已知曲线+=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的曲率半径公式为R=a2b2·,则下列说法正确的是(　　) A.对于半径为r的圆,圆上任意一点的曲率半径为r B.若椭圆+=1(a>b>0)上一点处的曲率半径的最小值为c,则椭圆的离心率为 C.若椭圆+=1(a>b>0)上所有点相应的曲率半径的最大值为8,最小值为1,则椭圆方程为+=1 D.椭圆+=1(a>b>0)上一点处的曲率半径的最大值为 3.(2025江西八校协作体第一次联考)已知点P(-2,1)是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,点F是C的焦点,动点M,N在C上,且PM⊥PN,则|MF|+|NF|的最小值为　　　　.  4.(2025甘肃金昌期中)已知椭圆+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称,则实数t的取值范围是　　　　.  5.(2024江苏徐州、宿迁期中联考)已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上. (1)求双曲线的方程; (2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且·=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值. 6.(2024四川成都蒲江中学月考)已知抛物线Γ:y2=2x,A,B,M,N为抛物线Γ上四点,点T在y轴左侧,满足=2,=2.设线段AB的中点为D. (1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标; (2)证明:直线TD与y轴垂直; (3)设圆C:(x+2)2+y2=3,若点T为圆C上的动点,△TAB的面积为S,求S的最大值. 7.(2025江西红色十校第一次联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,C的右焦点F到该渐近线的距离为2. (1)求C的方程; (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A,B,与圆O:x2+y2=a2交于点M,N(与A,B不重合). (i)求直线AB的斜率的取值范围; (ii)求|AB|·|MN|的取值范围. 8.(2024四川成都石室中学月考)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F2为抛物线C2:y2=8x的焦点,P(2,)为椭圆C1上一点. (1)求椭圆C1的方程; (2)已知A,B为椭圆C1上不同的两点,且都在x轴上方,满足=λ. (i)若λ=3,求直线F1A的斜率; (ii)若直线F1A与抛物线y2=x无交点,求四边形AF1F2B的面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练9　圆锥曲线中的最值与范围问题 1.D　因为椭圆C:+=1,所以a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4,所以F1(-2,0),F2(2,0), 因为点P(x0,y0) 在C上,所以+=1, 所以=2-,-<x0<,又=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以·=+-4=-2,易得||==|x0+3|=(x0+3),||==|3-x0|=(3-x0), 又·=||·||cos∠F1PF2,且∠F1PF2大于,所以||·||cos∠F1PF2<||·||cos, 所以-2<(x0+3)·(3-x0)·,解得-<x0<, 所以x0的取值范围是(-,). 2.ABC　对于A,半径为r的圆中,a2=b2=r2,点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则+=r2, 所以a2b2=r4=r4=r, 因此对于半径为r的圆,圆上任意一点的曲率半径为r,A正确; 对于B,设该椭圆上一点的坐标为(x0,y0),则+=1,故=b2, 所以R=a2b2=a2b2 =a2b2,由-a≤x0≤a,得0≤≤a2,则≤+≤,于是Rmin=a2b2==c, 所以a2-c2=ac,故e2+e-1=0, 又e>0,所以e=,B正确; 对于C,由B中分析知,≤R≤a2b2=,所以解得 所以椭圆方程为+=1,C正确; 对于D,由C中分析知,该椭圆上一点处的曲率半径的最大值为,D错误. 3.答案　11 解析　因为点P(-2,1)是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,所以(-2)2=2p,解得p=2,所以F(0,1). 显然直线PM的斜率存在且不为0,设直线PM的方程为y-1=k(x+2), 由得x2-4kx-8k-4=0,所以-2xM=-8k-4,解得xM=4k+2, 所以|FM|=yM+1=k(xM+2)+1+1=k(4k+2+2)+2=4k2+4k+2,同理可得|FN|=-+2,所以|FM|+|FN|=4k2+4k+2+-+2=4+11, 所以|FM|+|FN|的最小值是11,此时k-+=0,解得k=. 4.答案　 解析　设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知直线y=x+t是线段AB的垂直平分线,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-<b<, ∴x1+x2=,y1+y2=2b-(x1+x2)=, ∴x0==,y0==, ∵AB的中点M在直线y=x+t上, ∴=+t,可得t=-,∴-<t<,即t的取值范围是. 5.解析　(1)由e=2,可得c=2a,∴b2=c2-a2=3a2, ∴双曲线方程为-=1,∵点M(,)在双曲线上,∴-=1,解得a2=4, ∴双曲线的方程为-=1. (2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m, 由消去y并整理,得(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0(*), ∵直线l与双曲线交于P,Q两点, ∴Δ=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)=12(m2-4k2+12)>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-, 由·=0得x1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, ∴(1+k2)·-km·+m2=0,化简得m2=6k2+6. ∴|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[-4x1x2]=24+≥24, 当且仅当k=0时上式取等号,且方程(*)有解. ②当直线l的斜率不存在时,不妨设直线l的方程为x=t,P(t,y),Q(t,-y),y>0, 由·=0可得y2=t2,又P(t,y)在双曲线上,∴3t2-y2=12,故3t2-t2=12,解得t2=6,∴|PQ|2=4y2=4t2=24,∴|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=24. 综上可得,|OP|2+|OQ|2的最小值是24. 6.解析　(1)因为Γ:y2=2x,所以2p=2,即=,所以准线方程是x=-,焦点坐标是. (2)证明:设T(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由=2可知,M为TA的中点,故M,又点M,A在抛物线上,故=2·=x0+x1,=2x1, ∴=x0+,整理可得-2y0y1+4x0-=0, 同理可得-2y0y2+4x0-=0,故y1,y2为方程y2-2y0y+4x0-=0的两个实数根,∴y1+y2=2y0,y1y2=4x0-,∴D点的纵坐标为=y0, 所以直线TD的斜率为0,即直线TD与y轴垂直. (3)由(2)可知===,∴D, ∴S=|TD|·|y1-y2|=·=|-2x0|×2 =, ∵T在圆C上,∴=3-,-2-≤x0≤-2+, ∴S==, 则当x0=-3时,=-9+18-1=8, ∴Smax=×=×8×2=48. 7.解析　(1)易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,又C的一条渐近线的倾斜角为,所以=,即b=a,且该渐近线的方程为x-y=0, 因为c==2a, 所以右焦点F(2a,0)到渐近线x-y=0的距离为=2, 所以a=2,则b=2,所以C的方程为-=1. (2)(i)由(1)知F(4,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意可得直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为x=my+4(m≠0), 与-=1联立,得(3m2-1)y2+24my+36=0, Δ=144(m2+1)>0,所以y1+y2=-,y1y2=, 易知A,B两点在x轴的同一侧,所以y1y2>0,即3m2-1>0,所以m2>. 圆O的方程为x2+y2=4,点O到直线AB的距离d=,由d<2得m2>3, 由得m2>3,所以m>或m<-, 因为直线AB的斜率k=,所以直线AB的斜率的取值范围是∪. (ii)由弦长公式得|AB|=|y1-y2|=· =·=, 易得|MN|=2=4, 所以|AB|·|MN|=·4 =,其中m2>3, 设t=3m2-1,t>8, 则|AB|·|MN|==16 =16∈(0,16), 所以|AB|·|MN|的取值范围是(0,16). 8.解析　(1)设椭圆C1的半焦距为c,依题意得c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),而P(2,)为椭圆C1上一点, 故2a=|PF1|+|PF2|=+=4, 从而a=2.又a2=b2+c2,所以b=2, 所以椭圆C1的方程为+=1. (2)设直线F1A交椭圆于另一点B',直线F2B交椭圆于另一点A',连接A'B',如图, 由=λ,可知F1A∥F2B,由椭圆的对称性,可知|BF2|=|B'F1|,|AF1|=|A'F2|,且四边形ABA'B'为平行四边形.由题意知直线AB'的斜率不为0,设直线AB':x=ty-2,A(x1,y1),B'(x2,y2). (i)由消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0,则y1+y2=,y1y2=-, 由=3,得=-3,故y1=-3y2,故y1=,y2=,故-=-, 由于λ=3,||>||=||,所以t>0, 所以t=1,故直线F1A的斜率为1. (ii)由消去x并整理,得y2-ty+2=0,由题知Δ=(-t)2-8<0,即t2<8.所以|AB'|=|y1-y2| =·=, 直线AB'与BA'间的距离d=(即点F2到直线AB'的距离),故=S四边形AB'A'B =··=, 令=s,则s∈[1,3),易知函数y=s+在[1,3)上单调递增,所以y=s+∈, 则===∈, 所以四边形AF1F2B的面积的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $