专题02 双曲线及其标准方程与简单的几何性质（压轴题专项训练） 数学湘教版2019选择性必修第一册

专题02双曲线及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题02双曲线及其标准方程与简单的几何性质 类型一、双曲线的定义 类型二、双曲线的标准方程 类型三、双曲线的几何性质 类型四、双曲线的和差最值 类型五、焦点三角形 类型六、双曲线的离心率 类型七、双曲线离心率的取值范围 类型八、双曲线的中点弦 类型九、轨迹方程问题 类型十、双曲线中的弦长问题 类型十一、双曲线中的面积问题 类型十二、双曲线中的定值定点问题 压轴专练 类型一、双曲线的定义 1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 例1．若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 变式1-1．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．31 D．32 变式1-2．（多选）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 变式1-3．（多选）已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（   ） A．若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B．若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C．若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D．若运算*为除法，则点的轨迹为圆 类型二、双曲线的标准方程 (1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 例2．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，矩形中，，，、、、分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点，直线与、与、与的交点、、都在以下哪条曲线上（ ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 类型三、双曲线的几何性质 例3．（多选）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 变式3-1．已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ． 变式3-2．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 变式3-3．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点、，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为 ． 类型四、双曲线的和差最值 最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。 差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。 例4．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 变式4-1．已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则 的最小值是 变式4-3．已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 类型五、焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 变式5-1．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 变式5-2．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 变式5-3．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为 ． 类型六、双曲线的离心率 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 1.求出a，c，代入公式； 2.只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围) 例6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 变式6-2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 变式6-3．已知为双曲线右支上的一点（非顶点），，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则该双曲线的离心率为 ． 类型七、双曲线离心率的取值范围 1.根据a,b,c的不等关系求取值范围 2.根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 3.根据图形位置关系求取值范围 4.根据题目条件求取值范围 5.根据直线、椭圆与双曲线的综合求取值范围 例7．双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 变式7-1．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 变式7-2．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 变式7-3．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 类型八、双曲线的中点弦 双曲线中点弦的斜率公式： 设M()为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 例8．（多选）已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为和，以为圆心作圆与和相切，切点分别为，直线交于点为坐标原点，若为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为 B． C．双曲线的离心率为2 D． 变式8-1．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 变式8-2．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 变式8-3．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 类型九、轨迹方程问题 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 例9．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 变式9-1．（多选）平面上，若一个动点到定点的距离与点到直线的距离之比为，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线的斜率范围为 C．若圆，则圆上的点与动点的距离最小值为 D．若点在动点的轨迹上，为线段的中点，则线段所在直线的方程为 变式9-2．已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． (1)求双曲线的方程； (2)设点为上任意一点，为过的直线． ①记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； ②设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹． 变式9-3．设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． (1)求的方程； (2)若不在轴上，满足，求的横坐标； (3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 类型十、双曲线中的弦长问题 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 例10．记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. (1)求的渐近线方程； (2)记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 变式10-1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 综上，为定值0 变式10-2．已知曲线，为正常数.直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于四个点，为坐标原点. (1)若，求证：的面积为定值； (2)若的面积等于面积的，求证：. 变式10-3．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 类型十一、双曲线中的面积问题 例11．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． (1)求的方程； (2)点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 变式11-1．已知双曲线：的右焦点为，为上一点，为坐标原点，且的面积为12. (1)求的方程； (2)设过点且斜率分别为的直线，，．与的左支分别交于三点，为线段的中点，求的面积． 变式11-2．在直角坐标系xOy中，点，，过点M的直线AM与BM的斜率之积为． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线，分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 变式11-3．已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 类型十二、双曲线中的定值定点问题 例12．已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 变式12-1．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 变式12-2．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 变式12-3．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 2．(24-25高三下·江苏宿迁第一高级中学、洋河如东中学·)设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．(25-26高三上·江苏如皋·调研)双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·安徽天一大联考·)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·四川眉山彭山区第一中学·)设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 6．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 8．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 二、多选题 9． “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 10．(22-23高二上·广东肇庆广东肇庆中学·期中)已知曲线（其中为参数），下列说法正确的有（    ） A．若，，则曲线是椭圆 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．方程不能表示直线 D．当，时，曲线C的离心率等于 11．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 三、填空题 12．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 13．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，则的取值范围是 ． 14．已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线在第一象限的交点为，的平分线与交于点，若，则的值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02双曲线及其标准方程与简单的几何性质 目录 专题02双曲线及其标准方程与简单的几何性质 类型一、双曲线的定义 类型二、双曲线的标准方程 类型三、双曲线的几何性质 类型四、双曲线的和差最值 类型五、焦点三角形 类型六、双曲线的离心率 类型七、双曲线离心率的取值范围 类型八、双曲线的中点弦 类型九、轨迹方程问题 类型十、双曲线中的弦长问题 类型十一、双曲线中的面积问题 类型十二、双曲线中的定值定点问题 压轴专练 类型一、双曲线的定义 1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 例1．若点为直线上的任意一点，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解出双曲线的方程，然后结合双曲线的渐近线的几何特征得到结果即可. 【详解】若，则点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 其方程为． 因为是该双曲线的一条渐近线， 整条直线在双曲线的外部区域，所以， 故选：C． 变式1-1．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由双曲线方程可知： 可知双曲线方程的左、右焦点分别为， 圆的圆心为（即），半径为； 圆的圆心为（即），半径为． 连接，则 可得 ， 当且仅当为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30． 故选：B． 变式1-2．（多选）在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴的椭圆 C．若，则是焦点在轴的双曲线 D．若，则是直线 【答案】BC 【分析】由圆锥曲线的标准方程得到对应的曲线类型. 【详解】由题意曲线， 若,则,为两条平行直线,若，则曲线为，是直线，D错误. 当且时，曲线，即， 当时，即且时，曲线为椭圆，所以A错误； 若，，是焦点在轴的椭圆，B正确； 若，则，是焦点在轴的双曲线，C正确； 故选：BC 变式1-3．（多选）已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（   ） A．若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B．若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C．若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D．若运算*为除法，则点的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据题目新定义的条件，结合曲线的定义分别分析即可. 【详解】对于A，若运算*为加法，则有， 因为，所以， 所以根据椭圆的定义知，的轨迹是以A，B焦点，实轴长为的椭圆， 故选项A正确； 对于B，若运算*为减法，则有， 当时，点的轨迹不存在， 故选项B错误； 对于C，若运算*为乘法，则有，， 设，则由有， ， 两边平方得：，其中， 所以方程不可能表示直线，所以点的轨迹不是直线， 故选项C错误； 对于D，若运算*为除法，则有， 设，由，即， 即， 两边平方：， 整理得：， 因为，所以， 所以， 由 ， 因为，所以， 所以， 所以点的轨迹是圆，故选项D正确， 故选：AD． 类型二、双曲线的标准方程 (1)定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 例2．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 变式2-1．如图，矩形中，，，、、、分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，、、是线段的四等分点，、、是线段的四等分点，直线与、与、与的交点、、都在以下哪条曲线上（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点、、的坐标，设曲线的方程为，将这三点的坐标代入曲线方程，求出、的值，即可得出曲线的方程. 【详解】由已知得、、、， 因为、、是线段的四等分点，则、、， 因为、、是线段的四等分点，则、、， ，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立这两直线方程，解得，，即点， 同理可得点、， 设、、在曲线上， 则，解得， 因此，点、、都在曲线. 故选：D. 变式2-2．（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用双曲线的定义与勾股定理得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】由题设，是双曲线与以为直径的圆在第一象限上的交点， 且，，则， 则，， 联立，解得， 故，. 故选：ABC 变式2-3．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可. 【详解】由，，则，， 设，，则，， 由双曲线定义得，， ，解得， 所以，， 在直角三角形中，， 则，即，又， ，解得. 故答案为：3. ， 类型三、双曲线的几何性质 例3．（多选）已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（   ） A．曲线C是中心对称图形 B． C．满足的点P有2个 D．满足的点P有8个 【答案】ABC 【分析】由双曲线和椭圆的对称性可判断A，由双曲线和椭圆上的点到对称中心的距离关系可判断B，由双曲线和椭圆的定义可判断C，由平面几何的知识以及圆与椭圆、双曲线的交点个数可判断D. 【详解】曲线C是由以，为焦点的等轴双曲线和长轴长为4，，为焦点的椭圆组合而成， 所以曲线C是关于原点O的中心对称图形，故A正确； 若P是曲线C上任意一点，必然，故B正确； ，为双曲线和椭圆的公共焦点， 若，则，， 由双曲线和椭圆的定义可知，点P为右支和的交点，有两个，故C正确； 若，则点P在以为直径的圆上，此时点P为圆与曲线C的交点， 因为圆与有4个公共点，与有2个公共点，且易知曲线和的交点不在圆上， 所以满足的点P有6个，故D错误． 故选：ABC． 变式3-1．已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，求出双曲线的方程，设出点的坐标，再结合二次函数性质分段求解即得. 【详解】求解双曲线的方程有两种方法： 法一：设的标准方程为， 依题意，，解得，， 因此的标准方程为； 法二：由渐近线与平行，可设渐近线方程为， 设双曲线的方程为，即， 由焦点为，得且，解得， 因此的标准方程为， 设，，则，因, 则， 当，即时，则当时，，则（舍去）； 当，即时，则当时，，不合题意. . 故答案为：2 变式3-2．已知点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出动点的轨迹方程，再求出渐近线方程，由直线与双曲线右支有公共点即可求出的范围. 【详解】由，得在以点为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上， 依题意实半轴长，虚半轴长， 则点的轨迹方程为，其渐近线方程为， 由直线与双曲线右支有公共点，可得. 故答案为：. 变式3-3．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点、，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，由题意可得，求出点的坐标，根据对称性求出点、的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出、与的等量关系，然后将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得、的值，即可得解. 【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为， 则，由，可得，则， 所以，，所以椭圆方程可化为， 由，两式相减得，则， 所以，，则，则， 根据对称性可知、关于原点对称，、关于轴对称. 则，、， 直线的方程为. 将代入得， 由，解得或， 而，，所以， 所以，所以双曲线方程可化为， 由消去并化简得， 设，解得，，所以， 所以，，所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键就是将椭圆和双曲线的方程化简，求出直线的方程，然后将直线的方程与双曲线的方程联立，求出相应点的坐标，结合斜率公式求解即可. 类型四、双曲线的和差最值 最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。 差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。 例4．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 变式4-1．已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 变式4-2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则 的最小值是 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 变式4-3．已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 10 【分析】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹方程，根据双曲线定义及三点共线求得周长的最小值，将直线的方程代入双曲线方程可求得的坐标． 【详解】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 则，动点的轨迹方程为， ∵， ∴的周长最小时，最小，， 又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立， ∴的周长为， 直线的方程为，将其代入到，化简得：，， 则，的坐标为. 故答案为：10，. 类型五、焦点三角形 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 例5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解． 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    变式5-1．设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 变式5-2．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 变式5-3．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为 ． 【答案】 【分析】首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】设半焦距为，延长交于点， 由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点， 根据双曲线的定义可知，即. 由于是的中点，所以是的中位线， 所以，又双曲线的离心率为， 所以，所以双曲线的方程为. 所以，双曲线的渐近线方程为. 设，点到两渐近线的距离为， 则. 又点在双曲线的右支上，所以，即. 则点到两渐近线的距离为. 故答案为：.    类型六、双曲线的离心率 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 1.求出a，c，代入公式； 2.只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围) 例6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 变式6-1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以 , 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以 , 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 变式6-2．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 变式6-3．已知为双曲线右支上的一点（非顶点），，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】结合内切圆的概念，利用双曲线的定义可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设内切圆的半径为，则 而， 由， 可得． 故答案为： 类型七、双曲线离心率的取值范围 1.根据a,b,c的不等关系求取值范围 2.根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 3.根据图形位置关系求取值范围 4.根据题目条件求取值范围 5.根据直线、椭圆与双曲线的综合求取值范围 例7．双曲线的离心率为的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意题意，根据曲线的离心率，再由双曲线的关系式和基本不等式，即可得到最值； 【详解】双曲线中，由双曲线方程，则 ，当且仅当时取等号． 故选：C． 变式7-1．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    变式7-2．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围. 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. 变式7-3．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的一点，若到直线的距离是，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一：求得过与渐近线平行的直线方程，进而可得点到的距离，可得，求解即可.解法二：数形结合可得，求解即可. 【详解】法一：由题意可得，双曲线的一条渐近线为， 则过与渐近线平行的直线方程为， 即， 则点到的距离， 若到直线的距离是，则可得，所以， 所以，所以，所以，所以双曲线离心率的取值范围是. 法二：如图10，因为点在右支上， 所以，，， 即，可得． 类型八、双曲线的中点弦 双曲线中点弦的斜率公式： 设M()为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 例8．（多选）已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为和，以为圆心作圆与和相切，切点分别为，直线交于点为坐标原点，若为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．圆的半径为 B． C．双曲线的离心率为2 D． 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离求圆的半径判断选项A；由为线段的中点，且，可求得，，，所以，求出和离心率判断B，C选项；结合投影求出判断D选项． 【详解】设焦点，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离， 所以圆的半径等于焦点到渐近线的距离，A选项错误； 因为为线段的中点，且， 故，又，，， 所以，故， 中，，，则，所以， 故，双曲线离心率，B，C选项正确； 因为在上的投影为，所以， 又，故D正确． 故选：BCD． 变式8-1．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先画出图形，根据相似和勾股定理可得，然后根据双曲线的定义可求出，然后在直角三角形中根据勾股定理可求出之间的关系，从而求出离心率. 【详解】如图所示，根据相似，. 因为，所以. 所以，又， 根据勾股定理得，化简得， 所以，故. 故答案为：. 变式8-2．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 变式8-3．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    类型九、轨迹方程问题 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 例9．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 变式9-1．（多选）平面上，若一个动点到定点的距离与点到直线的距离之比为，则（    ） A．动点的轨迹方程为 B．若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线的斜率范围为 C．若圆，则圆上的点与动点的距离最小值为 D．若点在动点的轨迹上，为线段的中点，则线段所在直线的方程为 【答案】AD 【分析】根据题意列出方程化简可判断A，由双曲线的性质可判断B，根据圆的几何性质转化为两点间的距离，利用二次函数求最值判断C，根据点差法求弦所在直线方程判断D. 【详解】对于，整理得到动点的轨迹方程为，故A正确； 对于B，若过点的直线与动点的轨迹只有一个交点，则直线与双曲线渐近线平行，故直线的斜率为，故B错误； 对于C，圆上的点与动点的距离最小值为圆心到双曲线上动点的距离最小值减去半径，即，当时，圆上的点与动点的距离最小值为，故C错误； 对于D，设在动点的轨迹上的两点，则，两式作差得，整理得，又因为线段的中点，所以，，所以线段所在直线的斜率为2，所以线段所在直线的方程为，即，故D正确. 故选：AD 变式9-2．已知双曲线的右焦点为，若上任一点到两条直线和的距离的平方差为． (1)求双曲线的方程； (2)设点为上任意一点，为过的直线． ①记过且与轴垂直的直线为．若与交于点，与直线交于点，证明：当时，为定值，并求出这个定值； ②设点关于直线的对称点为，试求点的轨迹． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定值为；②答案见解析 【分析】（1）首先设任一点的坐标为，然后根据点到直线的距离公式结合已知条件列出等式，化简即可求得双曲线的方程. （2）对于①，首先根据已知条件将点的坐标求出来，然后根据两点距离公式列出的表达式，然后化简即可求得定值；对于②，分两种情况讨论，当直线斜率存在和不存在时，当斜率存在时，根据直线垂直与对称的性质可求出的轨迹为圆. 【详解】（1）设上任一点，而直线转化为. 根据点到直线的距离公式可得： . 根据题意，化简得， 即. （2）由（1）可知，所以，所以点. ①证明：依题意可知直线的方程为. 因为直线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 因为线与直线交于点，所以将代入直线方程 可得到点的坐标为. 所以，， 所以. 因为直线过点，所以，即. 所以为定值，且定值为. ②设点关于直线的对称点， 当时，，此时的轨迹为点. 当时，设， 则，解得， 因为点在双曲线上， 所以，即， 化简得：. 所以，即，点轨迹与重合，不合题意； 或，即， 所以点轨迹为以为圆心，半径为的圆，此时也在圆上. 变式9-3．设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． (1)求的方程； (2)若不在轴上，满足，求的横坐标； (3)若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由双曲线的定义结合图中几何关系以及关系可得； （2）设的方程为，直曲联立，由判别式等于零得到斜率进而得到直线方程，再由两直线垂直得到斜率关系写出方程，然后联立解出的横坐标； （3）当时，由两直线垂直斜率关系得到直线的方程，联立的方程解出的坐标，再代入双曲线方程后可得；当时，代入验证可得. 【详解】（1） 当轴时，由双曲线的定义可知，所以 在中，有，即，解得， 所以，故双曲线的方程为． （2）设的方程为，其中． 联立，消去得， 由题意可得，把代入得，整理得， 因为，所以， 从而有，即，解得， 所以的方程为，化简得， 故的方程为． 由（1）可知，所以直线的斜率为， 因为点不在轴上且， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，故点的横坐标为． （3）由（2）可得当时，直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得， 因为点满足， 所以，代入式，化简得 则，即； 当时，，也符合上式， 故点的轨迹为圆，该圆的方程为． 类型十、双曲线中的弦长问题 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 例10．记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. (1)求的渐近线方程； (2)记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. 【详解】（1）由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. （2）（i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 变式10-1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，平行于渐近线的直线l过点，且到l的距离为． (1)求E的方程； (2)过坐标原点O的直线，分别交E于点A，B和C，D，其中点A，C在E的右支上，直线AC，BD分别交x轴于点P，Q，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线l的方程为，由点到直线的距离公式即可求得. （2）①假设直线的斜率为0，可得，②当直线，的斜率均不为0时，设的方程为，的方程为，，，，，分别联立与双曲线方程，可得，同理，由A，P，C三点共线，可得，同理得，化简即可求解. 【详解】（1）由焦点坐标得． 根据对称性可设直线l的方程为． 由到l的距离为得， 将代入得，所以， 故E的方程为． （2）①根据对称性假设直线的斜率为0，则A，B分别为E的两个顶点，故无论的斜率为多少总能得到P，Q分别与A，B重合， 由（1）得，即； ②当直线，的斜率均不为0时，如图：    设的方程为，的方程为，，，，， 联立，消去得，，解得， 此时，同理． 设，， 因为A，P，C三点共线， 所以，即， 将，代入得． 因为B，Q，D三点共线，所以，即， 将，代入得． 故 ， 综上，为定值0 变式10-2．已知曲线，为正常数.直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于四个点，为坐标原点. (1)若，求证：的面积为定值； (2)若的面积等于面积的，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线代入，设，由韦达定理得，设，求出，由得，故，代入求得关系，然后计算的面积为可得； （2）先证明和的中点重合，再结合三角形的面积关系可证. 【详解】（1）设直线代入得， 由得， 设，则有， 设，易得， 由得， 故， 代入得，整理得：， 又， 为定值. （2）设中点为中点为 则，，所以，重合， 从而，从而，又的面积等于面积的， 所以，从而. 变式10-3．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii） 【分析】（1）根据题干中的条件求出长轴长与短轴长即可得到答案. （2）（i）利用点差法求出直线方程再与双曲线联立即可得到是否存在. （ii）联立直线与双曲线得到直线的弦长，即可化简原式即可求出取值范围. 【详解】（1）设，由于两条渐近线为，则有 到两条渐近线为的距离之积为 则解得 所以双曲线C的方程为 （2）（i）设，且， 因为在双曲线上， 所以，两式相减可得 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率 所以直线l的方程为，即 将直线l与双曲线联立，可得，. ，故方程无解. 所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点. （ii）设切点，则切线的方程为，且 由，解得，所以 设， 由，消去得，所以, 由，消去y得，所以； 所以， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即 类型十一、双曲线中的面积问题 例11．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且． (1)求的方程； (2)点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义可得，再根据双曲线经过点可求得，可得双曲线的方程. （2）先确定为定点，再根据可求解. 【详解】（1）因为，根据双曲线的定义可得. 又双曲线过点，所以 . 所以双曲线的方程为：. （2）如图：    因为，所以，. 因为、关于轴对称，且与不同，所以直线必存在斜率, 可设直线：，代入得：， 整理得：. 设，，则，因为均在双曲线右支， 由韦达定理可得，，所以. 直线方程为：， 令得 . 所以为定点，坐标为. 所以. 变式11-1．已知双曲线：的右焦点为，为上一点，为坐标原点，且的面积为12. (1)求的方程； (2)设过点且斜率分别为的直线，，．与的左支分别交于三点，为线段的中点，求的面积． 【答案】(1) (2)336 【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组得到双曲线方程； （2）设直线，的方程，分别联立双曲线方程，解得坐标，根据中点求得的坐标，直线的斜率，结合直线，求得的高，最后求三角形面积； 【详解】（1）由题意得解得 所以的方程为． （2）由题意得直线的方程为，联立， 消去得（，且）， 设，，，则， 得，代入直线的方程得， 所以． 同理可得，所以PQ的中点． 如图，连接OB，    则，所以点在直线上，所以． 由题意得直线的方程为，即， 所以点B到直线的距离等于点O到直线的距离，即为． 联立，解得或（舍）， 故，所以， 所以 变式11-2．在直角坐标系xOy中，点，，过点M的直线AM与BM的斜率之积为． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线，分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，2 【分析】（1）设点，依据两点的斜率公式可求得轨迹的方程． （2）设点，则：，与双曲线联立方程，利用判别式可求得，进而与两直线，联立方程组，可求得点的坐标，求得，与点到直线的距离，进而可求得面积为定值. 【详解】（1）设点， 则，， 故，整理得， 所以动点的轨迹的方程为． （2）的面积为定值． 由题意可得切线的斜率存在，设其斜率为， 设点，则：． 联立，消去得， 则， 故．① 联立，消去得， 则，同理可得， 故 ， 又点O到切线l的距离， 所以， 将①式代入得，故的面积是定值2． 变式11-3．已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率； （2）由，可求出斜率，进而可求出P、Q的坐标，进而得到PQ的方程，令，，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1） 将的坐标代入，得， 所以双曲线的方程为. 由题意可知，直线的斜率均存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 由，得. 由题意，解得，， 所以，同理. 由题意，，得.因为，所以， 故， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. （2）不妨设，因为，，所以， 由（1）知，，， 所以直线的方程为，即， 当时，， 所以. 类型十二、双曲线中的定值定点问题 例12．已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【详解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为 ，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3）设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则，    又因为，所以直线AB的方程为 变式12-1．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 变式12-2．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程； （2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上. 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则 ， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 变式12-3．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可. （2）假设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可. 【详解】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 压轴专练 一、单选题 1．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可. 【详解】由题意得则则 所以渐近线方程为 又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，    由圆与渐近线相切可得 解得 故选：B. 2．(24-25高三下·江苏宿迁第一高级中学、洋河如东中学·)设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 3．(25-26高三上·江苏如皋·调研)双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率.    故选：D 4．(25-26高三上·安徽天一大联考·)已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 5．(25-26高三上·四川眉山彭山区第一中学·)设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知，， 由对称性，不妨设点在第一象限， 设，由定义， ， ， 的面积为. 故选：B 6．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为． 故选：D 7．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解法1：，同理得，由的平分线为得，即，得，利用基本不等式即可求解； 解法2：先求直线的直线方程，由点到直线和的距离相等，利用点到直线的距离公式得，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 解法1：，同理，． 又，进而得，所以，又， 所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 解法2：由角平分线的性质可知，点到直线和的距离相等． 因为，， 所以，解得，所以， 又，所以当且仅当时等号成立． 故选：C． 8．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 【答案】A 【分析】由已知可得，将点代入双曲线方程得，进而可求，直线的方程为 .令，得， .连接，.由可得，所以 .又因为点为双曲线左支上一点，且，可知当时，取得最小值，即可求解的最大值. 【详解】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得， 所以，所以，直线的方程为 . 令，解得，所以，所以，所以. 连接，.因为，所以， 所以 . （另解  也可用极化恒等式来化简， ）. 又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40. 故选：A. 二、多选题 9． “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则 ，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．(22-23高二上·广东肇庆广东肇庆中学·期中)已知曲线（其中为参数），下列说法正确的有（    ） A．若，，则曲线是椭圆 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．方程不能表示直线 D．当，时，曲线C的离心率等于 【答案】BD 【分析】A，整理成标准椭圆方程的形式，以此判断； B，，说明异号，方程可转化为双曲线标准方程形式，可得渐近线方程； C，判断当或时，方程是否为直线方程； D，方程可转化为双曲线标准方程形式，代入双曲线离心率公式求解. 【详解】若，，则曲线的方程可整理成，显然，，则曲线是椭圆， 当时，曲线C是圆，不是椭圆，A错误； 当时，若，，方程化为：，令，， 若，，方程化为：，令，， 渐近线方程为，B正确； 当，时，方程为，即（两条平行直线）， 当，时，方程为，即（两条平行直线）， 当时，方程无意义，故方程可表示直线，C错误； 当，时，方程化为：，令，， 则，即曲线C的离心率等于，D正确. 故答案为：BD. 11．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断；C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率；D选项，C上的点到焦点的最短距离为. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆， C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标，根据点在双曲线上，结合点，的坐标得到直线PA，PB的斜率之积，利用基本不等式得到，从而得到双曲线离心率的取值范围． 【详解】设点，其中，易知点，且有， 则 . 因为，所以在第一或第三象限，由双曲线的对称性， 不妨令点在第一象限，则， 则，且， 由基本不等式可得， 所以存在点，使得直线PA，PB的斜率之和为， 即，所以 ． 故答案为：． 13．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用平面几何图形的性质可得的横坐标相等，都为,得到轴且过双曲线的右顶点,设直线的倾斜角为，求解三角形可得, 由，即可得所求范围. 【详解】如图，设的内切圆与边,,的切点分别为,,, 则,,,    由,得, 即． 记点的横坐标为, 则,于是,得． 同理，内心的横坐标也为，则有轴． 设直线的倾斜角为， 则，，所以 ． 由双曲线可得，，，所以， 由于，为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的取值范围是． 故答案为：． 14．已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线在第一象限的交点为，的平分线与交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用角平分线定理可得，再利用双曲线定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】由，得， 由是的平分线，得，则， 由双曲线的离心率为2，得，直线的倾斜角为，则， 设，则，， 由余弦定理得，化简得， 所以． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $