第3章 3.2.2 双曲线的简单几何性质（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合问题解决递进，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|双曲线几何性质（渐近线、离心率）、方程求解、直线位置关系|多选题辨析概念（如第1题），基础计算（如第2题焦点到渐近线距离），单一知识点应用，培养抽象能力与运算能力| |能力提升练|离心率综合、中点弦（“τ”点）、面积定值、最值问题|证明题（如第6题共轭双曲线离心率关系），探究性问题（如第7题“τ”点判断），多知识点融合，发展推理意识与创新意识|

3.2.2　双曲线的简单几何性质 基础过关练 题组一　根据双曲线的标准方程研究其几何性质 1.(多选题)(2025山东菏泽期中)关于双曲线C:-=1,下列说法正确的是(　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的离心率为 C.C的焦点坐标为(±,0) D.C的实轴长是虚轴长的4倍 2.(2025浙江绍兴诸暨中学暨阳分校期中)双曲线x2-=1的左焦点到其中一条渐近线的距离为(　　) A.2　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D. 题组二　由双曲线的几何性质求其标准方程 3.(2025湖南岳阳汨罗一中期中)已知等轴双曲线过点(2,1),则该双曲线的方程为(　　) A.x2-y2=1　　　　　B.x2+y2=5 C.x2-y2=3　　　　　D.y2-x2=3 4.(2025福建福州外国语学校期中)已知中心在原点处,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,其焦点到渐近线的距离为1,则此双曲线的方程为(　　) A.-=1　　　　　B.-=1 C.-y2=1　　　　　D.x2-y2=1 5.(2025江苏常州高级中学期中)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,实轴长为4,则该双曲线的标准方程为(　　) A.-=1　　　　　B.-=1或-=1 C.-=1　　　　　D.-=1或-=1 6.(2025新疆乌鲁木齐第四十中学月考)已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,且它们的离心率之和为,则双曲线C的方程是　　　　　　　.  题组三　双曲线的渐近线 7.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC所在的直线(O为坐标原点),点B为该双曲线的一个焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.1 8.(2025山西大同期中质量检测)已知a>b>0,双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,若椭圆+=1的两个焦点是线段F1F2的两个三等分点,则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x　　　　　B.y=±x C.y=±x　　　　　D.y=±x 9.(2025上海虹口阶段性测试)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　) A.±　　　　　B.±　　　　　C.±　　　　　D.± 10.(2024广东茂名信宜段考)已知双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则双曲线C的实轴长为　　　　;△PFO的面积为　　　　.  题组四　双曲线的离心率 11.(2024辽宁六校协作体期中)已知双曲线-=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为(　　) A.　　　　 　B.2　　　　　 C.或2　　　　　D. 12.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M,若·>0,则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A.(1,)　　　　　B.(,+∞) C.(1,2)　　　　　 D.(2,+∞) 13.(2025湖南岳阳云溪期中)已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|PF1|=2c,|F2P|=a,线段F2P与双曲线C交于点Q,若=5,则双曲线C的离心率为(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 题组五　直线与双曲线的位置关系 14.(2025四川自贡蜀光中学期中)已知直线l:y=2x-8,双曲线C:-y2=1,则(　　) A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点 B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点 C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点 D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点 15.(2024甘肃武威民勤第一中学期中)设离心率为e的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　) A.k2-e2>1　　　　　B.e2-k2>1 C.k2-e2<1　　　　　D.e2-k2<1 16.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  17.(2025陕西汉中普通高中十校联盟期中)已知中心在原点处,焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2,0),且其离心率为. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线l:kx-y-1=0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值. 能力提升练 题组一　双曲线的几何性质及其应用 1.()已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P在直线x=c上运动,若∠A1PA2的最大值为,则双曲线的离心率为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.(多选题)(2024甘肃平凉静宁第二中学质检)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为-y2=1 B.C的离心率为 C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-y-1=0与C有两个公共点 3.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,O为坐标原点,若=16|MA|·|MB|,则(　　) A.双曲线C的离心率为 B.四边形AMBO的面积为a2 C.双曲线C的渐近线方程为y=±x D.直线MA与直线MB的斜率之积为定值 4.(2025河南南阳期中质量评估)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,直线l过F2且与该双曲线的一条渐近线平行,l与双曲线的交点为P,若△PF1F2的内切圆半径为,则此双曲线的离心率为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.2 5.(2024甘肃兰州五十八中期末)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为　　　　.  6.(2025江苏泰州兴化期中)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线C的中心在原点处,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为,求C的共轭双曲线的方程; (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1,e2. (i)求证:+=1; (ii)求+的取值范围. 题组二　直线与双曲线的位置关系 7.(多选题)(2025北京朝阳清华大学附属中学模拟预测)已知双曲线Γ:-y2=1,对于点P,若Γ上存在不同的两点M,N,使得P为线段MN的中点,则称P为Γ的一个“τ”点.下列各点中,是Γ的“τ”点的为(　　) A.(1,0)　　　　　B.(2,1)　　　　　C.(2,2)　　　　　D.(3,1) 8.(2025重庆巴蜀中学期中)设点P为双曲线E:-=1(a>0,b>0)上任意一点,双曲线E的离心率为,右焦点与椭圆G:+=1(t>0)的右焦点重合. (1)求双曲线E的标准方程; (2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于点A,B,O为坐标原点,求证:平行四边形OAPB的面积为定值,并求出此定值. 9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值分别为m1,m2,且满足m1m2=3a2. (1)求双曲线的离心率; (2)若a=2,过点F1的直线交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O),求的最小值. 10.(2025四川成都第七中学测试)已知双曲线C:-y2=1(a>0)的焦距为2,且左、右顶点分别为A1,A2,过点T(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点. (1)求双曲线的方程; (2)记直线A1M,A2N的斜率分别为k1,k2,证明:是定值; (3)设G为直线A1M和A2N的交点,记△GMN,△GA1A2的面积分别为S1,S2,求的最小值. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 基础过关练 1.AB　由双曲线的方程,可知a=4,b=2,则c==2.渐近线方程为y=±x,即y=±x,故A正确;离心率e==,故B正确;焦点坐标为(±2,0),故C错误;实轴长为2a=8,虚轴长为2b=4,所以C的实轴长是虚轴长的2倍,故D错误. 2.B　由双曲线的方程得a=1,b=,所以渐近线方程为y=±x,c2=a2+b2=3,则左焦点的坐标为(-,0), 因为焦点到两条渐近线的距离相等,所以左焦点到其中一条渐近线的距离d==. 3.C　设该等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0), 将点(2,1)的坐标代入方程可得λ=22-12=3, 因此该双曲线的方程为x2-y2=3. 4.C　由题意可设此双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 则渐近线方程为y=±x,焦点坐标为(±c,0), ∴焦点到渐近线的距离d==b=1,∴c2=a2+1, 又离心率e==,∴a2=2,c2=3, ∴此双曲线的方程为-y2=1. 5.B　当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a1>0,b1>0), 则渐近线方程为y=±x,实轴长为2a1, 由题意得=,2a1=4,解得a1=2,b1=2, 则该双曲线的标准方程为-=1. 当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a2>0,b2>0), 则渐近线方程为y=±x,实轴长为2a2, 由题意得=,2a2=4,解得a2=2,b2=, 则该双曲线的标准方程为-=1. 综上,该双曲线的标准方程为-=1或-=1. 6.答案　-=1 解析　因为双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则c==4,+=,解得a=2,所以b2=16-4=12,因此双曲线C的方程是-=1. 7.A　由题意可知双曲线的两条渐近线互相垂直,则×=-1,即a=b,故渐近线方程为y=±x, ∵正方形OABC的边长为2,B为双曲线的一个焦点, ∴|OB|=2,即c=2,则a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(负值舍去). 8.C　易知双曲线-=1的焦点坐标为(0,±), 椭圆+=1的焦点坐标为(0,±), 由题意可得=, 又a>b>0,所以=, 因此双曲线-=1的渐近线方程为y=±x. 9.C　由题意可得,△PF1F2为等腰三角形,且|PF2|=|F1F2|=2c, 又F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a, 所以由勾股定理可得|PF1|=2=4b, 结合双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即4b-2c=2a,所以c=2b-a, 代入c2=a2+b2,可得(2b-a)2=a2+b2,整理可得3b2-4ab=0,则=,所以双曲线的渐近线的斜率为±=±. 10.答案　4;3 解析　由双曲线C的方程可知其实轴长为4,右焦点为F(2,0),又因为|PO|=|PF|,所以点P在线段OF的中垂线上,所以点P的横坐标为,易得双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,所以点P的纵坐标为±,所以△PFO的面积为×|OF|×=3. 11.A　双曲线的渐近线方程为y=±x,因为两条渐近线的夹角为,所以直线y=x的倾斜角是或,即=tan 或=tan ,解得a=或a=,又因为a>,所以a=,所以c=2,所以双曲线的离心率e==. 12.D　由题意可设过点F1(-c,0)且与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线的方程为y=x+,与另一条渐近线y=-x的交点为M,由·>0得·>0,即>3,又因为e==,所以e>2. 13.C　连接F1Q,如图, 由题意可知|F2Q|=|F2P|=,|F1Q|=2a+|F2Q|=,且|F1F2|=2c, 在△F1QF2中,由余弦定理可得cos∠F1F2Q===, 在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1F2P===, 即=,可得=,所以双曲线C的离心率e==. 14.C　解法一:易知直线l经过定点(4,0),记M(4,0),因为点M在双曲线C的右顶点(2,0)的右侧,双曲线的渐近线方程为y=±x,且kl=2>,所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点. 解法二:联立解得或 所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点. 15.B　当直线l的斜率k不存在时,直线l只与双曲线的一支相交,不满足题意,故k存在,由直线l过右焦点F,可设直线l的方程为y=k(x-c),易求得双曲线的渐近线方程为y=±x,若直线l与双曲线C的左、右两支都相交,则|k|<,故k2<,即e2-k2>1. 规律总结　解决直线与双曲线的交点问题,可先把双曲线的渐近线与直线进行对比,然后把问题转化成渐近线的斜率与直线斜率之间的大小关系问题进行求解. 16.答案　3 解析　依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2). 由得8x2-4x-13=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 显然Δ>0,则x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|= ==3. 17.解析　(1)由题意知双曲线C的焦点在x轴上,且其实半轴长为2,即a=2,又离心率e==,∴c=, ∴b2=c2-a2=9, ∴双曲线C的标准方程为-=1. (2)联立消去y并整理得(9-4k2)x2+8kx-40=0(*). 当9-4k2=0,即k=±时,方程(*)有一个解,符合题意; 当9-4k2≠0时,由Δ=(8k)2-4×(9-4k2)×(-40)=0, 得k=±,方程(*)有两个相同的解,也符合题意. 综上所述,实数k的值为±或±. 能力提升练 1.A　设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,∠F2PA1=α,∠F2PA2=β,则∠A1PA2=α-β.依题意不妨设点P在第一象限内,坐标为(c,t),则t>0, tan α=,tan β=,所以tan(α-β)===.因为t>0,所以t+≥2b,当且仅当t=b时等号成立,则tan(α-β)≤.因为∠A1PA2的最大值为,所以=,即a=b,则c2=a2+b2=4b2, 所以c=2b,故e==. 2.AC　把x=3代入y=x,得y=>,所以双曲线C的焦点在x轴上,由题意可设双曲线C的方程为-y2=λ(λ>0),把(3,)代入,得-2=λ,即λ=1,∴双曲线C的方程为-y2=1,故A正确;由a2=3,b2=1,得c==2,∴双曲线C的离心率为=,故B错误;令x-2=0,得x=2,则ex-2-1=0,故曲线y=ex-2-1过定点(2,0),此点为C的右焦点,故C正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,因为直线x-y-1=0与双曲线的一条渐近线平行,所以直线x-y-1=0与C有一个公共点,故D不正确. 3.ABD　设M(x0,y0),则-=1,即b2-a2=a2b2,且双曲线C的两条渐近线的方程分别为bx+ay=0和bx-ay=0,不妨设点A在直线bx+ay=0上,则|MA|=,|MB|=,从而得(2c)2=16··=16·=,即c2=2ab,即a2+b2-2ab=0,所以a=b,所以c=a,故双曲线的离心率e==,A正确;双曲线的渐近线方程为x±y=0,即两条渐近线互相垂直,四边形AMBO为矩形,其面积为|MA|·|MB|=·(2c)2=c2=a2,B正确,C不正确;因为直线MA⊥MB,且两直线都不垂直于坐标轴,所以直线MA与直线MB的斜率之积为-1,D正确. 4.D　结合双曲线的对称性,不妨令l与方程为y=x的渐近线平行,则直线l的方程为y=(x-c),即bx-ay-bc=0, 设△PF1F2的内切圆(记为圆O')与△PF1F2三边的切点分别为A(x0,0),B,C,如图所示, 则|PF1|-|PF2|=|PC|+|CF1|-(|PB|+|BF2|)=|AF1|-|AF2|=(x0+c)-(c-x0)=2x0=2a,即x0=a, 又圆O'的半径为,所以O', 点O'到直线l的距离为=,整理得|4a-3c|=c,又c>a,所以c=2a, 因为|F1F2|=2c=4,所以c=2,a=1, 所以双曲线的离心率e==2. 5.答案　-=1 解析　如图,结合双曲线的对称性,不妨令点A在第一象限内,分别过点A,B向方程为y=x的渐近线作垂线,垂足分别为C,D,则直线CD的方程为y=x,即bx-ay=0,因为AC⊥CD,BD⊥CD,故四边形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足为E,因为F是AB的中点,所以|EF|==3,又因为|EF|==b,所以b=3,因为双曲线的离心率为2,所以=2,即=4,解得a=(负值舍去),则双曲线的方程为-=1. 6.解析　(1)设双曲线C的焦距为2c,实轴长为2a,虚轴长为2b,由题意知,2c=16,=,解得a=6,c=8, 故b2=c2-a2=28, 因为双曲线C的中心在原点处,焦点在y轴上,所以C的方程为-=1,则C的共轭双曲线的方程为-=1. (2)不妨设双曲线C1的标准方程为-=1(a1>0,b1>0),则C2的标准方程为-=1, 所以e1=,e2=. (i)证明:+=+=1. (ii)+=+= ==, 因为a1>0,b1>0, 所以+≥2a1b1, 当且仅当a1=b1时取等号, 所以0<≤1, 所以1<≤,即+的取值范围是(1,]. 7.CD　设点M(x1,y1),N(x2,y2). 对于A,假设点(1,0)为Γ的一个“τ”点,则x1+x2=2,y1+y2=0,可得y2=-y1,此时MN⊥x轴或MN过原点, 若MN⊥x轴,则直线MN的方程为x=1,但直线x=1与双曲线Γ无公共点,不符合题意, 若MN过原点,则线段MN的中点为原点,不符合题意,故A错误; 对于B,假设点(2,1)为Γ的一个“τ”点, 则直线MN的斜率存在,且 因为点M(x1,y1),N(x2,y2)在双曲线上, 所以作差可得=(y1-y2)(y1+y2),即x1-x2=2(y1-y2),则kMN==, 直线MN的方程为y-1=(x-2),即y=x, 此时直线MN过原点,则线段MN的中点为原点,与假设矛盾,故B错误; 对于C,假设点(2,2)为Γ的一个“τ”点, 则直线MN的斜率存在,且 同B中分析过程可得,x1-x2=4(y1-y2),则kMN==,直线MN的方程为y-2=(x-2),即y=x+, 联立消去y可得3x2-12x-52=0,此时Δ=122+4×3×52>0,符合题意,故C正确; 对于D,假设点(3,1)为Γ的一个“τ”点, 则直线MN的斜率存在,且 同B中分析过程可得,=2(y1-y2),则kMN==,直线MN的方程为y-1=(x-3),即y=·x-, 联立消去y可得5x2-30x+41=0,此时Δ=302-4×5×41>0,符合题意,假设成立,故D正确. 8.解析　(1)由题意可得所以 所以双曲线E的标准方程为x2-=1. (2)易得双曲线的渐近线方程为y=±x.设点P的坐标为(x0,y0),过点P且与两条渐近线平行的直线分别为l1,l2,不妨令A在l1上,且l1的斜率为,则l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0), 联立则A, 联立则B, 又因为渐近线方程为y=±x,所以sin∠AOB=, 所以=|OA|2×|OB|2×sin2∠AOB =··=, 又因为点P在双曲线上,所以-=1,即2-=2, 所以=,即平行四边形OAPB的面积为定值,且此定值为. 9.解析　(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0). 由双曲线的性质知m1=c+a,m2=c-a, ∴m1m2=c2-a2=3a2,∴c=2a, 故双曲线的离心率e==2. (2)当a=2时,c=-a2=12. ∴双曲线的方程为-=1,F1(-4,0). 由题知直线AB的斜率存在,设为k,则k≠±,直线AB的方程为y=k(x+4). 联立消去y并整理,得(3-k2)x2-8k2x-16k2-12=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),易知Δ>0,则x1+x2=,x1x2=, ∴|AB|= ==. 又∵线段AB的中点的坐标为, ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=-.令x=0,得y= , ∴D点的坐标为,∴|OD|=, ∴===≥, 当且仅当|k|=1,即k=±1时等号成立, ∴的最小值为. 10.解析　(1)由双曲线C:-y2=1(a>0)的焦距为2,得c=,则a2+1=()2,解得a2=4, 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)证明:依题意,设直线l的方程为x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令M在第一象限内, 由消去x并整理,得(m2-4)y2+8my+12=0, 由直线l与双曲线的右支交于M,N两点,可得 所以-2<m<2,且2my1y2=-3(y1+y2), 又A1(-2,0),A2(2,0), 所以==== ===-,为定值. (3)由(2)知k2=-3k1,所以直线A1M:y=k1(x+2),直线A2N:y=-3k1(x-2),则点G的横坐标xG=1, 于是==· =·= ==+3, 又-2<m<2, 所以4-m2>0, 所以≥3,当且仅当m=0时取等号, 所以的最小值为3. 7 学科网（北京）股份有限公司 $