6 3.2.2　第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦双曲线标准方程及性质的应用，系统梳理直线与双曲线的位置关系（相交、相切、渐近线平行的分类讨论）、弦长公式、中点弦问题及综合应用。承接双曲线定义与几何性质，通过实例构建从基础应用到综合问题的学习支架，为圆锥曲线综合题奠定基础。 资料以例题与变式探究结合，注重分类讨论与逻辑推理（如直线位置关系需考虑二次项系数及判别式），通过弦长计算提升数学运算素养。对点练与课时测评覆盖不同难度，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 学习目标 1.理解判断直线与双曲线的位置关系的方法. 2.会求解有关弦长问题. 3.会解决直线与双曲线的综合问题. 4.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 应用一　直线与双曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 由得－＜k＜且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. [变式探究]　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交， 有且只有一个公共点. 故当k＝±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. 3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 对点练1.已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. 解：①当直线l的斜率不存在时， l：x＝1与双曲线相切，符合题意. ②当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0时，k＝±2， l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点； 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在. 应用二　弦长公式及中点弦问题 已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　) A.3　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.6 答案：D 解析：双曲线C：－＝1，则c2＝4， 所以右焦点为F(2，0)， 根据题意易得过F的直线斜率存在， 设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立 化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0， 所以xA＋xB＝，xAxB＝. 因为线段AB中点的横坐标为4， 所以xA＋xB＝＝8， 解得k2＝2，所以xAxB＝＝10， 则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24， 则｜AB｜＝＝＝6. 学生用书⬇第90页 　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 对点练2.已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 解：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以kMN＝＝2， 所以直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 由消去y，得2x2－4x＋3＝0. 又Δ＝－8＜0，所以直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦. 应用三　直线与双曲线的综合问题 已知双曲线E：－＝1的两条渐近线分别为l1：y＝，l2：y＝－. (1)求双曲线E的离心率； (2)O为坐标原点，过双曲线上一点P作直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且＝2，求△AOB的面积. 解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1：y＝， l2：y＝－， 所以＝，e＝＝＝＝， 所以双曲线E的离心率为. (2)由(1)得＝，则可设双曲线E：－y2＝λ，λ＞0. 因为P在双曲线上， 所以λ＝2－1＝1，则双曲线E的方程为－y2＝1. 又点A，B分别在l1：y＝与l2：y＝－上， 设A，B，因为＝2， 所以＝2， 则x1＝，x2＝3－3， 又＝＝x1＝， 同理得＝x2＝， 设OA的倾斜角为θ，且tan θ＝＝，则sin∠AOB＝sin 2θ＝＝＝＝， 所以S△AOB＝sin∠AOB＝×××＝. 　　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 对点练3.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标. 解：(1)由题意知a＝2， 所以一条渐近线方程为y＝ x， 即bx－2y＝0，所以＝， 又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3， 所以双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)， 则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－16x＋84＝0， 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1－2)＋(x2－2)＝(x1＋x2)－4＝12， 所以 由＋＝t， 得(16，12)＝(4t，3t)， 所以t＝4，点D的坐标为(4，3). 1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　) A.1　　　　 B.2　　　　 C.1或2　　　　 D.0 答案：A 解析：由双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)， 可得其渐近线方程为y＝±x， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行， 所以它与双曲线只有1个交点. 2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(－2，2) B.[－2，2) C.(－2，2] D.[－2，2] 答案：A 解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ＞0可得－2＜k＜2. 3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1) 答案：C 解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3， 得x2＋2x－4＝0， 由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2. 4.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则｜AB｜＝　　　　. 答案：4 解析：由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，故｜AB｜＝4. 课时测评32　双曲线的标准方程及其性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点. 2.若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A.4 B.2 C.1 D.－2 答案：A 解析：因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2， 所以若x＝a与双曲线有两个交点， 则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意. 3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 答案：C 解析：设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3， 所以其渐近线方程为y＝±x，故选C. 4.设点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：D 解析：设F1(－c，0)，A(－c，y0)， 则－＝1，所以＝－1＝＝＝， 所以＝，所以｜AB｜＝2｜y0｜＝. 又＝2，所以·2c· ｜AB｜＝·2c·＝＝2，所以＝， 所以＝＝. 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x. 5.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 答案：AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确； 将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 6.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足｜AB｜＝3的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：C 解析：双曲线－＝1， 过F1的直线l垂直于x轴时， ｜AB｜＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， 所以满足｜AB｜＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 7.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是　　　　　　　. 答案：3x＋4y－5＝0 解析：易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)， 代入－y2＝1， 消去y得关于x的一元二次方程 (1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)， 所以－＝6， 所以k＝－(满足Δ＞0)， 所以所求直线方程为3x＋4y－5＝0. 8.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　　　　. 答案：2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.因为四边形OABC为正方形且边长为2， 所以c＝｜OB｜＝2. 又∠AOB＝， 所以＝tan ＝1，即a＝b. 又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2. 9.(13分)设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 解：(1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)， 即y＝kx＋2－k. 由 消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ＞0， 所以直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， 所以｜AB｜＝· ＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝， 所以S△AOB＝｜AB｜·d＝×4×＝2. 10.(15分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长. 解：双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， 所以c＝2.所以F2(2，0)， 又直线l的倾斜角为45°， 所以直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为x1·x2＝－＜0， 所以A，B两点不位于双曲线的同一支上. 因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－， 所以｜AB｜＝· ＝× ＝6. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 解析：由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则－＝1，① －＝1，② x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30， 由①②得＝，从而＝1， 又因为a2＋b2＝c2＝9， 故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 12.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：C 解析：设双曲线的半焦距为c， 则F(c，0)，将x＝c代入双曲线－＝1， 得y＝±，不妨取C，B， 又A1(－a，0)，A2(a，0)， 故＝＝－，＝＝. 因为A1B⊥A2C， 故－×＝－1， 即＝1，即＝1， 所以a＝b，故渐近线方程是y＝±x＝±x. 13.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　. 答案： 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9， 解得x＝，y＝－，所以B. 所以S△AFB＝｜AF｜｜yB｜＝(c－a)·｜yB｜＝×(5－3)×＝. 14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝　　　　. 答案：10 解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x， 所以＝，即b＝a， 因为左焦点F(－，0)，所以c＝， 所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3， 所以a2＝1，b2＝2， 所以双曲线方程为x2－＝1，直线l的方程为y＝2(x＋)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y可得x2＋4x＋7＝0， 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7， 所以｜AB｜＝·＝×＝×＝10. 15.(5分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案：D 解析：设△AF1F2的内切圆圆心为I1， △BF1F2的内切圆圆心为I2，边｜AF1｜，｜AF2｜， ｜F1F2｜上的切点分别为M，N，E， 易知I1，E的横坐标相等， 则｜AM｜＝｜AN｜，｜F1M｜＝｜F1E｜，｜F2N｜＝ ｜F2E｜， 由｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即｜AM｜＋｜MF1｜－(｜AN｜＋｜NF2｜)＝2a， 得｜MF1｜－｜NF2｜＝2a，即｜F1E｜－｜F2E｜＝2a， 记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a， 同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴， 设直线l的倾斜角为θ， 则∠OF2I2＝，∠I1F2O＝90°－， 则tan ＝，tan∠I1F2O＝tan＝＝， 因为r1＝2r2，所以tan2＝， 即tan ＝.所以tan θ＝＝2. 16.(17分)已知双曲线过点A(2，1)，它的渐近线方程是x±2y＝0. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的倾斜角互补，求直线l的斜率. 解：(1)若双曲线焦点在x轴上，设方程为－＝1， 则有 所以双曲线方程为－y2＝1. 若双曲线焦点在y轴上，设方程为－＝1， 则有无解. 综上双曲线方程为－y2＝1. (2)易知，直线l的斜率一定存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y可得，(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 所以 可得k≠±，1＋m2＞4k2. 由韦达定理可得，x1＋x2＝，x1x2＝－， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， x1y2＋x2y1＝x1＋x2＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝. 因为直线AP，AQ的倾斜角互补， 所以kAP＋kAQ＝0， 即＋ ＝＝0， 即＋ ＝x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4 ＝＝0， 整理得(k＋1)(2k＋m－1)＝0， 解得k＝－或m＝1－2k. 当m＝1－2k时，直线y＝kx＋m为y－1＝kx－2k过定点A(2，1)，不满足题意， 所以k＝－. 学生用书⬇第91页 学科网（北京）股份有限公司 $