5 3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦“双曲线的简单几何性质”核心知识点，系统梳理范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质，通过类比椭圆性质引入，经问题引导自主探究，结合例题、变式及对点练巩固应用，构建“探究-理解-应用”完整学习支架。 资料以核心素养为导向，类比椭圆培养数学眼光（几何直观、抽象能力），如探究范围时类比椭圆推导过程；通过问题链与方法总结发展数学思维（逻辑推理、数学运算），如结合圆与渐近线相切求离心率。分层练习助力课中教学引导，课后测评帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围，能利用双曲线的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　双曲线的几何性质 问题.类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的几何性质. 提示：1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a； y∈R. 2.对称性 －＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心. 3.顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点 . 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 方程为x2－y2＝m(m≠0). 4.渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方. 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近. (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图. 5.离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e＞1. (3)e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝ 1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. [变式探究] 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝ ， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 由双曲线的方程研究其几何性质 1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. 2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. 3.由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1. 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5； c＝＝＝， 焦点坐标是(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 学生用书⬇第88页 任务二　由双曲线的几何性质求标准方程 求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：(1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). 因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝. 由题意得 所以所求的双曲线方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 2.设双曲线方程的技巧 (1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2). (2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 对点练2.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等. 解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 任务三　求双曲线的离心率 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：C 解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝. 求双曲线离心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. 2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 对点练3.已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率. 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由｜PF2｜＝｜QF2｜，∠PF2Q＝90°， 知｜PF1｜＝｜F1F2｜， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0， 所以－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. 学生用书⬇第89页 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A.实轴长为8　　　　　 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 答案：ABD 解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 2.已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A，O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为　　　　. 答案： 解析：如图所示，不妨设AO＝2，D为BC的中点，则OD＝1，AD＝3，BD＝.以AO的中点O'为原点，AD方向为x轴，AO的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.因为＝2，所以＝＝1，即双曲线的实半轴长a＝1，所以双曲线的方程可以设为x2－＝1，将B的坐标，代入解得b＝1，所以c＝，所以e＝＝. 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 答案：A 解析：令y＝0，得x＝－4， 所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， 所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A. 4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为　　　　. 答案：y＝±x 解析：因为＝，所以＝＝， 所以＝，所以＝，所以＝. 又因为双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以所求双曲线的渐近线方程为y＝±x. 课时测评31　双曲线的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：D 解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案：B 解析：因为e＝，所以＝，即＝3， 所以b2＝2a2，所以双曲线方程为－＝1， 所以渐近线方程为y＝±x. 4.设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：C 解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.｜PF｜的最小值为2 答案：AD 解析：双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； ｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确. 6.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.5 答案：B 解析：e＝＝＝. 7.双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　　　　. 答案： 解析：双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2，0)，一条渐近线的方程为y＝x， 因此焦点到渐近线的距离d＝＝. 8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为　　　　　　　. 答案：－＝1 解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， 所以焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝＝， 从而a'＝6，b'2＝12， 故所求双曲线的方程为－＝1. 9.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1； 当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10.(10分)设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b＞a，所以e2＝＝1＋＞2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：A 解析：由题意，点P(2，1)在双曲线的渐近线y＝x上，所以＝，即a＝2b. 又2c＝10，所以c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 故所求双曲线方程为－＝1. 12.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160 C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24 答案：D 解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ＜0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D. 13.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，设左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案：B 解析：由题意得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，如图所示，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T， 则PF1⊥TF2，｜TF2｜＝c， 在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒｜PF1｜＝2c， 则由双曲线的定义可得｜PF2｜＝｜PF1｜－2a＝2c－2a， 所以2c＝2c－2a，解得e＝＝. 14.(13分)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，求△PQF的周长. 解：根据题意，双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6， 所以｜PQ｜＝12.双曲线图象如图. ｜PF｜－｜AP｜＝2a＝4，① ｜QF｜－｜QA｜＝2a＝4，② ①＋②得｜PF｜＋｜QF｜－｜PQ｜＝8， 所以周长为｜PF｜＋｜QF｜＋｜PQ｜＝8＋2｜PQ｜＝32. 15.(5分)(多选)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为(　　) A. B.2 C. D.3 答案：ABC 解析：由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0，1)，｜AF1｜＝＝5， △APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得｜PA｜＋｜PF1｜的最小值不小于9，如图所示， 又F2为双曲线的左焦点，可得｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a ， 当A，P，F2三点共线时，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值5＋2a， 所以5＋2a≥9，即a≥2， 因为c＝2，可得e＝≤.即1＜e≤. 16.(17分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜， 所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜， 即｜PF2｜＝2a时取等号， 所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a， 因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c⇒e＝≤3，所以e∈(1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $