第2章 2.6.2 圆与圆的位置关系（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用拓展，通过题组设计实现知识巩固与能力进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|圆与圆位置关系判断、公切线条数、集合与圆关系等单一知识点；公共弦方程、相交弦长等简单综合应用|题量10题，含选择、填空、解答，结合期中真题，注重基础运算与概念理解，如位置关系判断直接应用圆心距与半径关系| |能力提升练|圆平分周长、公共弦为直径的圆方程等复杂计算；“3价圆”定义应用、轨迹方程、存在性问题等综合探究|题量12题，含多选、解答题，结合联考真题，强调逻辑推理与数学建模，如存在性问题需构建方程分析两圆位置关系，难度梯度衔接基础层|

2.6.2　圆与圆的位置关系 基础过关练 题组一　圆与圆的位置关系 1.(2025福建莆田仙游期中)圆C1:x2+y2+2x-2y+1=0与圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置关系是(　　) A.外切　　　　　B.内切　　　　　C.相交　　　　　D.外离 2.已知集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(　　) A.(0,-1)　　　　　B.(0,1] C.(0,2-]　　　　　D.(0,2] 3.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　) A.5　　　　　B.7　　　　　C.9　　　　　D.11 4.(2025河南洛阳期中)已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 5.已知圆C1:(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)与圆C2:x2+y2-2x-2y=0没有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　.  6.(2025山西大同浑源七中月考)已知圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0与圆C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,当两圆圆心之间的距离最短时,求圆C1与圆C2的位置关系. 题组二　圆与圆位置关系的综合应用 7.(2025安徽黄山八校联盟期中联考)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+10-m=0截x轴所得弦的长度为2,圆C2:x2+y2+8y-30=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为(　　) A.x-7y-12=0　　　　　B.x-7y+8=0 C.x-7y+12=0　　　　　D.x-7y-18=0 8.在平面直角坐标系xOy中,已知两个圆C1:(x-a)2+(y-1)2=4,C2:(x-1)2+(y-a)2=2相交于A,B两点,若|OA|=|OB|,则实数a的值为(　　 ) A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.-1 9.(多选题)(2025重庆八中期中)已知圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,圆C2:(x-3)2+(y-2)2=9,则(　　) A.直线C1C2的方程为3x-4y-1=0 B.圆C3经过C1,C2两点,则圆C3的面积的最小值为π C.与圆C1和圆C2都相切的直线共有四条 D.若M,N分别为圆C1,圆C2上的动点,则|MN|的最大值为10 10.已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上. (1)求圆C1的方程; (2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长. 能力提升练 题组一　圆与圆的位置关系 1.(2025江苏无锡第一中学期中)已知圆C1:x2+y2-2x-4y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则n2-m的最小值为(　　) A.4　　　　　B.6　　　　　C.8　　　　　D.9 2.以圆C1:x2+y2+4x+1=0与圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.+=　　　　　 D.+= 3.(2025云南昆明第一中学第三次联考)若曲线Γ的方程为(x2+y2+2x+2y)(x2+y2-2x-2y)=0,经过点A(-4,-2)的直线l与曲线Γ有四个交点,则直线l的斜率的取值范围是(　　) A.∪　　　　　B.∪ C.　　　　　D. 4.(多选题)(2025江苏南通通州、如东期中质量监测)已知圆C1:x2+y2-2x=0与圆C2:(x-2)2+(y-m)2=4(m>0),则(　　) A.若过圆心C1作圆C2的切线只有1条,则m= B.若圆C1与圆C2有且只有2条公切线,则0<m<3 C.当m=2时,两圆的一条公切线方程为3x-4y-8=0 D.当m=2时,两圆的公共弦长为 5.已知圆O1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆O2:x2+y2-4x-4y-2=0. (1)求圆O1与圆O2的位置关系; (2)在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数?若存在,请求出点A的坐标;若不存在,请说明理由. 题组二　圆与圆位置关系的综合应用 6.已知平面内一点M(3,4),若圆C上存在点P,使|PM|=3,则称该圆为点M(3,4)的“3价圆”.下列圆中不是点M(3,4)的“3价圆”的是(　　) A.x2+y2=1　　　　　B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4　　　　　D.(x-4)2+(y-3)2=9 7.(多选题)(2025黑龙江龙东联盟期中)已知点C(2,1),圆C1:(x-2)2+(y-1)2=1和圆C2:(x-2)2+(y-1)2=25,过圆C2上一点P作圆C1的两条切线PA,PB,圆E为△PAB的外接圆,则　　(　　) A.圆E的半径为定值 B.圆E一定与圆C2相切 C.|AB|可能等于2 D.当点P的坐标为(-1,5)时,直线AB的方程为3x-4y-1=0 8.已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.2　　　　　D.3 9.(2024安徽安庆怀宁二中期中)有人用3个圆组成“卡通鼠”的形象,如图,Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O,点L,S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O,直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d,则d=　　　　.  10.(2025广东实验中学越秀学校期中)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点A,B的距离的比值是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.已知两定点A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=|MB|,则点M的轨迹方程为　　　　;若圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2上存在满足条件的点M,则半径r的取值范围为　　　　　　.  11.(2025江苏盐城中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0及点A(2,-1),B(3,1). (1)若直线l过点A,与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2,求直线l的方程; (2)圆C上是否存在点P,使得|PA|2+|PB|2=7成立?若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由. 12.已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点(O为坐标原点),且|BC|=2,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足“圆M上存在两点P,Q,使得+=”,求实数t的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.2　圆与圆的位置关系 基础过关练 1.A　圆C1:x2+y2+2x-2y+1=0的圆心为C1(-1,1),半径r1=1;圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圆心为C2(3,4),半径r2=4.两圆的圆心距|C1C2|=5=r1+r2,∴两圆外切. 2.C　由M∩N=N得N⊆M,∴圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含于圆x2+y2=4,∴2-r≥,∴0<r≤2-,即r的取值范围为(0,2-]. 3.C　由题意知圆C1的圆心为C1(-3,1),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(1,-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆外离,所以|MN|的最大值为5+2+2=9. 4.B　圆A的方程x2+y2-2x-4y-4=0可化为(x-1)2+(y-2)2=9,其圆心为A(1,2),半径R=3, 圆B的方程x2+y2+2x+2y-2=0可化为(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心为B(-1,-1),半径r=2, 则两圆的圆心距|AB|==, 又因为R+r=5,R-r=1,所以R-r<|AB|<R+r,所以圆A与圆B相交,所以两圆公切线的条数为2. 5.答案　(0,2)∪(4,+∞) 解析　圆C1的圆心为C1(a,a),半径r1=2, 圆C2的圆心为C2(1,1),半径r2=, 圆心距|C1C2|==|a-1|,因为两圆没有公共点,所以两圆外离或内含,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<r1-r2,即|a-1|>3或|a-1|<,又因为a>0,所以0<a<2或a>4,即a的取值范围为(0,2)∪(4,+∞). 6.解析　由题得圆C1:(x-a)2+(y+2)2=9,圆心坐标为(a,-2),半径为3,圆C2:(x+1)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(-1,a),半径为2, 所以两圆的圆心距d===, 所以当a=-时,d有最小值,且dmin=,因为<3-2=1,所以圆C1与圆C2的位置关系是内含. 7.C　圆C1的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=m,圆心为C1(-1,3),半径r=, 因为圆C1截x轴所得弦的长度为2, 所以2=2,解得m=16, 故圆C1:x2+y2+2x-6y-6=0,又圆C2:x2+y2+8y-30=0, 所以两圆的公共弦所在的直线方程为x-7y+12=0(两圆的方程作差即可). 8.D　圆C1的圆心为C1(a,1),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(1,a),半径r2=,易知AB的垂直平分线为直线C1C2,又因为|OA|=|OB|,所以O,C1,C2三点共线,所以=,解得a=1或a=-1. 当a=1时,两圆圆心重合,两圆为同心圆,不符合题意;当a=-1时,C1(-1,1),C2(1,-1),所以|C1C2|==2,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,此时,圆C1与圆C2相交,符合题意.综上,a的值为-1. 9.ABD　圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心为C1(-1,-1),半径r1=2,圆C2:(x-3)2+(y-2)2=9,其圆心为C2(3,2),半径r2=3. 对于A,直线C1C2的方程为=,即3x-4y-1=0,所以A正确; 对于B,易得|C1C2|==5, 当|C1C2|为圆C3的直径时,该圆的面积最小,最小值为π×=π,所以B正确; 对于C,因为|C1C2|=5,且r1+r2=5,所以圆C1与圆C2外切,所以两圆的公切线共有3条,所以C错误; 对于D,当M,C1,C2,N四点共线,且M,N不为两圆的切点时,|MN|取得最大值,且最大值为|C1C2|+r1+r2=10,所以D正确. 10.解析　(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为=,即y=x-1, 因为圆C1与y轴相切于点(0,3), 所以圆心在直线y=3上, 联立解得所以圆心坐标为(4,3), 故圆C1的半径为4, 故圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16. (2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,又圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0, 所以两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,则圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d==, 所以两圆的公共弦长为2×=2. 能力提升练 1.D　∵方程x2+y2+mx+ny=0表示圆, ∴m2+n2-4×0>0,即m2+n2>0. 两圆的方程相减,可得两圆的公共弦所在直线l的方程为(m+2)x+(n+4)y=0. 若圆C2平分圆C1的周长,则圆C1的圆心在直线l上, ∵圆C1:x2+y2-2x-4y=0的圆心为(1,2), ∴(m+2)×1+(n+4)×2=0,即m=-2n-10, ∴n2-m=n2+2n+10=(n+1)2+9, ∴当n=-1时,n2-m取得最小值,且最小值为9. 2.B　两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为2x-2y=0,即x-y=0,∵圆C1:x2+y2+4x+1=0的圆心C1的坐标为(-2,0),半径为,圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的圆心C2的坐标为(-1,-1),半径为1,∴直线C1C2的方程为=,即x+y+2=0,∴联立解得∴以公共弦为直径的圆的圆心坐标为(-1,-1).∵C1(-2,0)到公共弦所在直线的距离d==,∴以公共弦为直径的圆的半径r==1,∴以公共弦为直径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1. 3.A　由题意知曲线Γ表示分别以点(-1,-1),点(1,1)为圆心,为半径的两个圆, 记M(-1,-1),N(1,1),由|MN|==2,得两圆的位置关系为外切, 设过点A且与圆N相切的直线方程为y=k(x+4)-2, 则圆心N到切线的距离d==,解得k=1或k=,即图中直线AC的斜率为1,直线AD的斜率为, 因为圆心M到直线AC的距离为=,所以直线AC与圆M相切. 又直线AO的斜率为,所以直线l的斜率的取值范围为∪. 4.AC　由题得圆C1的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C1(1,0),半径r1=1, 圆C2:(x-2)2+(y-m)2=4(m>0)的圆心为C2(2,m),半径r2=2. 对于A,若过圆心C1作圆C2的切线只有1条,则圆心C1在圆C2上,则(1-2)2+m2=4,又因为m>0,所以m=,A正确; 对于B,若圆C1与圆C2有且只有2条公切线,则两圆相交,所以r2-r1<|C1C2|<r1+r2,又|C1C2|==,所以1<<3, 因为m>0,所以0<m<2,B错误; 对于C,当m=2时,圆C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,圆心C2(2,2),圆心C1到直线3x-4y-8=0的距离为=1=r1,圆心C2到直线3x-4y-8=0的距离为=2=r2, 故当m=2时,两圆的一条公切线方程为3x-4y-8=0,C正确; 对于D,当m=2时,由B选项可知两圆相交, 将两圆方程作差可得x+2y-2=0,所以两圆的相交弦所在直线的方程为x+2y-2=0, 圆心C1到直线x+2y-2=0的距离d==, 所以两圆的公共弦长为2=2×=,D错误. 5.解析　(1)解法一:由x2+y2+2x+8y-8=0得(x+1)2+(y+4)2=25,则圆O1的圆心为O1(-1,-4),半径r1=5; 由x2+y2-4x-4y-2=0得(x-2)2+(y-2)2=10,则圆O2的圆心为O2(2,2),半径r2=, 所以两圆的圆心距|O1O2|==3,又因为5-<3<5+,所以两圆相交. 解法二:由得或所以两圆相交. (2)存在.易得直线O1O2的方程为y=2x-2,设A(a,2a-2)(a≠-1),P(x,y),=λ(λ>0,λ≠1),则==λ(λ>0,λ≠1),整理得x2+y2+x+y+=0, 易知上式与圆O2的方程为同一方程, 所以所以 故点A的坐标为. 6.A　因为|PM|=3,所以点P在以M为圆心,3为半径的圆上,又因为P为圆C上一点,所以P为圆M与圆C的公共点,问题转化为判断圆M与圆C的位置关系.x2+y2=1表示以点(0,0)为圆心,1为半径的圆,该圆与圆M的圆心距d==5>3+1=4,所以两圆外离,所以x2+y2=1表示的圆不是点M(3,4)的“3价圆”. 同理可得圆M与选项B,C,D中的圆都相交. 故选项B,C,D中的圆均是点M(3,4)的“3价圆”. 7.ABD　对于A,因为PA⊥AC,PB⊥BC,所以△PAB的外接圆就是以PC为直径的圆, 因为点C是圆C2的圆心,所以|PC|=5为定值,所以圆E的半径为定值,A正确; 对于B,因为圆心E是PC的中点,所以圆E和圆C2的圆心距|EC|=|PC|=, 因为|EC|等于圆C2与圆E的半径之差,所以圆E一定与圆C2相切,B正确; 对于C,假设AB为圆C1的直径,此时两切线平行,无交点,故AB是圆C1除直径之外的弦, 所以|AB|<2,所以|AB|不可能等于2,C错误; 对于D,当点P的坐标为(-1,5)时,因为点E是PC的中点,所以点E的坐标为,由A中分析知圆E的半径为,故圆E的方程为+(y-3)2=, 直线AB就是圆C1和圆E的公共弦所在直线, 将两圆方程相减,即可得直线AB的方程为3x-4y-1=0,D正确. 8.D　圆C1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,圆心为C1(2,2),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-1)2+y2=1,圆心为C2(1,0),半径r2=1. 设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b). 依题意得解得 ∴C'2(-1,-2),∴|C1C'2|==5, ∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-r1-r2=3. 9.答案　 解析　由题意知圆L与圆S关于y轴对称,设S(a,0)(a>0),则=2+3,∴a=4,∴S(4,0),L(-4,0). 设直线l的方程为y=kx(k≠0),则圆心S,L,Q到该直线的距离分别为d1=,d2=,d3=,则d2=4(4-)=4(4-)=4(9-), 即4-=4-=9-, 解得k2=, 则d2=4×=,∴d=. 10.答案　(x-6)2+y2=32;[,9] 解析　设M(x,y),则|MA|=,|MB|=, 因为|MA|=|MB|,所以=×,整理可得x2-12x+y2+4=0,即(x-6)2+y2=32, 所以点M的轨迹是以N(6,0)为圆心,4为半径的圆. 因为圆C:(x+1)2+(y-1)2=r2上存在满足条件的点M,所以圆C与圆N有公共点,则|4-r|≤|CN|≤4+r, 又|CN|==5,所以|4-r|≤5≤4+r, 所以≤r≤9,即半径r的取值范围为[,9]. 11.解析　(1)圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心坐标为(1,2),半径r=2, 当直线l的斜率不存在时,l:x=2,易得|MN|=2,符合要求. 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y+1=k(x-2), ∵|MN|=2,∴圆心到直线的距离d==1, ∴=1,解得k=-, ∴直线l的方程为4x+3y-5=0. 综上,直线l的方程为x=2或4x+3y-5=0. (2)假设圆C上存在点P,设P(x,y), 则|PA|2+|PB|2=(x-2)2+(y+1)2+(x-3)2+(y-1)2=7, 即x2+y2-5x+4=0,整理得+y2=,其圆心坐标为,半径r1=, ∵圆C的圆心坐标为(1,2),半径r=2,∴两圆的圆心距为=, 则|r1-r|<<r1+r, ∴+y2=与(x-1)2+(y-2)2=4相交, ∴符合要求的点P有两个. 12.解析　(1)圆M的方程可化为(x-6)2+(y-7)2=25, ∴圆M的圆心为M(6,7),半径为5, 由于圆心N在直线x=6上,故可设N(6,y0), ∵圆N与x轴相切,与圆M外切, ∴圆N的半径为y0,且7-y0=5+y0,解得y0=1, ∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)∵直线l平行于OA,∴直线l的斜率为=2, 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M到直线l的距离d==, ∵|BC|=2,且|MC|2=d2+, ∴25=+5,解得m=5或m=-15, 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2), ∵A(2,4),T(t,0),+=,∴① ∵点Q在圆M上,∴(x2-6)2+(y2-7)2=25,② 将①代入②得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25, 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆(x-t-4)2+(y-3)2=25上, ∴圆M与圆(x-t-4)2+(y-3)2=25有公共点, ∴5-5≤≤5+5, 解得2-2≤t≤2+2, ∴实数t的取值范围为[2-2,2+2]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $