第2章 专题强化练4 圆的方程及其应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过对称、定点、距离等方法系统解决直线与圆、圆与圆位置关系及轨迹问题，发展几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆位置关系|3题|对称点求反射光线、定点判断弦长最值、距离公式判定位置|从圆的标准方程出发，通过圆心到直线距离构建位置关系判定逻辑| |圆的对称与轨迹|2题|代入法求中点轨迹、定义法推导阿氏圆方程|以坐标法为桥梁，连接动点关系与圆的方程，体现模型意识| |两圆位置关系|1题|方程相减求公共弦、中点坐标求直径圆|通过圆心距与半径关系，延伸到公共弦及相交圆性质| |综合应用|2题|分类讨论求弦长、切线长公式求面积最值|整合直线与圆的位置关系、弦长计算，培养逻辑推理能力|

专题强化练4　圆的方程及其应用 1.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.-或　　　　　B.-或- C.-或　　　　　D.-或- 2.直线l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0与圆(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,a的值是(　　) A.　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D. 3.(多选题)(2025山西省实验中学第二次阶段性考试)已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-1)2+y2=2,若点P为直线l上的一个动点,则下列说法正确的是(　　) A.直线l与圆C相离 B.圆C关于直线l对称的圆的方程为(x-5)2+(y+4)2=2 C.若点Q为圆C上的动点,则|PQ|的取值范围为[,+∞) D.圆C上存在两个点到直线l的距离为 4.(多选题)(2025广西部分名校联考月考)已知圆M:(x+1)2+(y+1)2=3,圆N:(x-2)2+(y-2)2=9,且圆M与圆N相交于P,Q两点,则(　　) A.过点A(0,-1)且被圆M截得的弦长最短的直线方程为y=0 B.直线PQ的方程为x+y=0 C.|PQ|=2 D.以线段PQ为直径的圆的方程为x2+y2=1 5.(多选题)(2025山东临沂第一中学第一次阶段性检测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离的比值为定值λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,0),动点C满足=,直线l:mx-y+m+1=0,则(　　) A.动点C的轨迹方程为(x+2)2+y2=4 B.若点P(a,1)在动点C的轨迹圆外,则a的取值范围为(-∞,-2-)∪(-2+,+∞) C.直线l恒过定点(-1,1) D.动点C到直线l的距离的最大值为+1 6.过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上的圆的方程为　　　　　.  7.(2025天津滨海新区大港实验中学第一次月考)已知点P是圆C:x2+y2=4上的动点,点A(4,2),则线段AP的中点M的轨迹方程是　　　　;若直线l:x-2y+4=0,N为直线l上的动点,过点N作轨迹M的切线,切点分别为A,B,已知T(2,1),则四边形NATB面积的最小值为　　　　.  8.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=4,圆心C在直线y=x上,且直线x+y=2被圆C截得的弦的长度为2. (1)求圆C的方程; (2)若a≤0,点A(0,1),过A作直线l和l1,且满足l⊥l1,直线l交圆C于M,N两点,直线l1交圆C于P,Q两点,求四边形PMQN面积的最大值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4　圆的方程及其应用 1.D　易知反射光线所在的直线必过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),且反射光线所在直线的斜率存在,设为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,由反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,可得=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-. 2.D　易知直线l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0恒过定点(1,1),且此定点在圆内,∴当圆心与点(1,1)所在直线与直线AB垂直时,|AB|取得最小值.∵圆心(2,0)与点(1,1)所在直线的斜率为=-1,∴此时直线l的斜率为1,即-=1,解得a=. 3.ACD　对于A,由圆C:(x-1)2+y2=2,得圆心为C(1,0),半径r=,所以圆心C(1,0)到直线l:x+y-5=0的距离d==2>r=,故直线l与圆C相离,A正确; 对于B,设圆C关于直线l对称的圆的圆心为(a,b), 则解得 故所求圆的圆心坐标为(5,4), 所以圆C关于直线l对称的圆的方程为(x-5)2+(y-4)2=2,B错误; 对于C,圆C上的点到直线l的距离的最小值为, 故|PQ|的取值范围为[,+∞),C正确; 对于D,因为圆C上的点到直线l的距离的最小值为d-r=,最大值为d+r=3,而<<3, 故圆C上存在两个点到直线l的距离为,D正确. 4.BCD　圆M:(x+1)2+(y+1)2=3的圆心为M(-1,-1),半径为,圆N:(x-2)2+(y-2)2=9的圆心为N(2,2),半径为3, 易知点A(0,-1)在圆M内,当所求直线与AM垂直时,其被圆M截得的弦长最短,此时直线方程为x=0,A错误; 圆M和圆N的方程作差可得x+y=0,所以直线PQ的方程为x+y=0,B正确; 点M到直线PQ:x+y=0的距离为=, 故|PQ|=2=2,C正确; 直线MN的斜率kMN==1,则直线MN的方程为y-2=1×(x-2),即y=x, 由得所以线段PQ的中点为(0,0), 又所求圆的半径为=1, 所以以线段PQ为直径的圆的方程为x2+y2=1,D正确. 5.ABC　对于A,设C(x,y),则由=得=,整理得(x+2)2+y2=4,A正确; 对于B,动点C的轨迹圆的圆心坐标为(-2,0),半径为2,若点P(a,1)在轨迹圆外,则>2,解得a<-2-或a>-2+,即a的取值范围为(-∞,-2-)∪(-2+,+∞),B正确; 对于C,直线l的方程可化为m(x+1)-(y-1)=0,由得所以直线l过定点(-1,1),C正确; 对于D,圆心(-2,0)到定点(-1,1)的距离d==,所以圆心到直线l的距离的最大值为,从而动点C到直线l的距离的最大值是+2,D错误. 6.答案　x2+(y+2)2=10 解析　联立解得或所以交点分别为和(1,1),由题意可设所求圆的圆心坐标为(0,b),则=,解得b=-2,故圆心为点(0,-2),半径为=,则所求圆的方程为x2+(y+2)2=10. 7.答案　(x-2)2+(y-1)2=1; 解析　设M(x,y),P(a,b),则所以 则P(2x-4,2y-2),因为P是圆C:x2+y2=4上的动点,所以(2x-4)2+(2y-2)2=4,整理得(x-2)2+(y-1)2=1. 故M的轨迹是以T(2,1)为圆心,1为半径的圆, 因为AN⊥AT,BN⊥BT,且△TAN与△TBN全等,|TA|=|TB|=1, 所以要想四边形NATB的面积最小,只需|AN|=|BN|最小即可, 又|AN|=,所以只需|TN|最小, 圆心T(2,1)到直线l:x-2y+4=0的距离d==, 故|TN|min=,|AN|min==, 则四边形NATB面积的最小值为2×|AN|min·|TA|=. 8.解析　(1)易得圆心C(a,b),因为圆心C在直线y=x上,所以a=b, 故圆C:(x-a)2+(y-a)2=4,圆心为C(a,a),半径为2. 设圆心到直线x+y=2的距离为d,则d==,即d==,解得a=0或a=2, 所以圆C的方程为x2+y2=4或(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由a≤0可知圆C的方程为x2+y2=4, 当直线l的斜率不存在时,直线l1的斜率为0,此时S四边形PMQN=|PQ|·|MN|=×2×4=4. 当直线l的斜率存在时,设为k,直线l的方程为y=kx+1,设圆心到直线l的距离为d', 则d'=,此时|MN|=2=2, |PQ|=2=2, 所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|=×2×2, 因为×≤=, 当且仅当4-=4-,即k2=1时等号成立, 所以S四边形PMQN≤7. 综上,四边形PMQN面积的最大值为 7. 7 学科网（北京）股份有限公司 $