第2章 2.7 用坐标方法解决几何问题（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 本同步练习通过“基础过关练”与“能力提升练”分层设计，聚焦坐标法解决几何问题及动点轨迹，从基础应用到综合拓展，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|坐标法直接应用（直角三角形中点计算、圆拱桥建模）、轨迹方程基础求法（中点轨迹、弦中点轨迹）|选择、填空与简单解答结合，注重概念理解与基本运算，如圆拱桥坐标建模培养模型意识| |能力提升练|坐标法综合应用（内切圆距离平方和、面积最值）、复杂轨迹问题（平行四边形顶点轨迹、距离范围）|综合解答与证明题为主，强调推理与综合运用，如三角形面积最值问题发展数学思维|

2.7　用坐标方法解决几何问题 基础过关练 题组一　用坐标法解决几何问题 1.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(　　) A.2　　　　　B.4　　　　　C.5　　　　　D.10 2.有一座圆拱桥,初始时拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为　　　　m.  3.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点. 题组二　动点的轨迹问题 4.(2025辽宁鞍山第一中学期中)已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为(　　) A.x2+(y-1)2=1　　　　　B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=4　　　　　D.(x-1)2+y2=4 5.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　.  6.已知圆x2+y2=8内一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.  7.(2025广东湛江阶段练习)已知M(-3,0),N(0,-3),点P在y轴上,且PM⊥MN. (1)求点P的坐标; (2)若动点Q与P,M间的距离的比为1∶2,求动点Q的轨迹方程. 8.(2025广东深圳南头中学期中)已知O为坐标原点,点A(-1,3),直线l:x-y+1=0,点B是点A关于直线l的对称点,且点P满足|PO|2+|PB|2=4. (1)求点B的坐标及点P的轨迹方程; (2)若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点,求m的取值范围. 能力提升练 题组一　用坐标法解决几何问题 1.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为Rt△ABO内切圆上任一点,则点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最小值为(　　) A.68　　　　　B.70 C.72　　　　　D.74 2.(2025吉林白城实验高级中学期末)下图是某圆形拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一根支柱支撑,则支柱A2P2的长度为(　　) A.(12-24)m　　　　　B.(12+24)m C.(24-12)m　　　　　D.不确定 3.(2024湖南长沙雅礼中学月考)在△ABC中,|AB|=3,sin B=m·sin A(m≥2),则△ABC的面积的最大值为　　　　.  4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 题组二　动点的轨迹问题 5.(2024重庆八中月考)已知点M(-3,4),若动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹是(　　) A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆 B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆 C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点 D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点 6.(2025河北石家庄二中月考)过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是　　　　　　　　　.  7.(2025甘肃天水第一中学期中)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点(A,P,Q三点均不重合). (1)求线段AP的中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.7　用坐标方法解决几何问题 基础过关练 1.D　如图,以CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. 设|CA|=a,|CB|=b,则A(a,0),B(0,6). ∵点D是斜边AB的中点,∴D, ∵点P为线段CD的中点,∴P. ∴|PC|2=+=+, |PB|2=+=+, |PA|2=+=+, ∴|PA|2+|PB|2=+++=10=10|PC|2, ∴=10. 2.答案　2 解析　如图,建立平面直角坐标系: 设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将(6,-2)代入圆C的方程,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.① 当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将(x0,-3)代入①式,得x0=,所以当水面下降1 m时,水面的宽为2 m. 3.证明　如图所示,以O为坐标原点,直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 设☉O的半径为r(r>0),|OE|=m,则☉O的方程为x2+y2=r2,设C(m,b1),D(m,b2).则有m2+=r2,m2+=r2, 即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的两个不等实根,解方程得b=±, 则CD的中点坐标为,即(m,0).故E(m,0)是CD的中点. 4.A　设M(x,y),因为M为线段AB的中点,B(3,0), 所以A(2x-3,2y),又A是圆C上的动点,所以(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,整理得x2+(y-1)2=1. 5.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0) 解析　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). 6.答案　x2+y2+y-2x=0 解析　设Q(x,y),当x=2时,易得Q(2,0);当x≠2时,弦AB所在直线的斜率k=,又因为OQ⊥AB,所以kOQ·k=-1,即·=-1,整理得x2+y2+y-2x=0(x≠2),因为(2,0)满足该方程,所以点Q的轨迹方程为x2+y2+y-2x=0. 7.解析　(1)由点P在y轴上,可设P(0,y),则=(-3,-y),=(3,-3), 由PM⊥MN,得·=0,即-3×3+3y=0,解得y=3, 故点P的坐标为(0,3). (2)设Q(x,y). 由题得=,即|MQ|=2|PQ|,即|MQ|2=4|PQ|2, 又|PQ|==, |MQ|==, 故x2+6x+9+y2=4(x2+y2-6y+9), 整理得x2+y2-2x-8y+9=0,即(x-1)2+(y-4)2=8. 则动点Q的轨迹方程为(x-1)2+(y-4)2=8. 8.解析　(1)设B(m,n),因为点B是点A关于直线l的对称点, 所以解得故B(2,0). 设P(x,y),因为|PO|2+|PB|2=4,所以x2+y2+(x-2)2+y2=4,整理得(x-1)2+y2=1,故点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=1,表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆, 若(x-1)2+y2=1与直线x+my+1=0有公共点, 则≤1,解得m≥或m≤-, 所以m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞). 能力提升练 1.C　设△ABO的内切圆圆心为O',半径为r,则S△ABO=×6×8=×(6+8+10)r,解得r=2. 以O为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则O'(2,2),所以Rt△ABO的内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4,设圆上动点P的坐标为(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,所以(|PA|2+|PB|2+|PO|2)min=88-16=72. 2.A　如图所示,以线段AB所在直线为x轴,线段OP所在直线为y轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-18,0),B(18,0),P(0,6). 设该圆拱所在圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 因为A,B,P在此圆上,所以有 解得 显然D2+E2-4F>0,故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0. 将点P2的横坐标x=6代入上式,解得y=-24+12或y=-24-12(舍去). 故支柱A2P2的长度为(12-24)m. 3.答案　3 解析　设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sin B=m·sin A,所以由正弦定理得b=ma,即|AC|=m·|BC|, 设边AB的中点为O,以O为坐标原点,边AB所在直线为x轴,边AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 不妨设A,B,C(x,y), 由|AC|=m·|BC|得=m·, 整理得x2+y2-x+=0(m≥2), 由此可知点C的轨迹是以为圆心,为半径,且除去当y=0时的两个点的圆, 所以当点C在圆上运动时,点C到x轴的距离最大为半径r=,所以△ABC的面积S=×3×=×,易知函数y=在m∈[2,+∞)上单调递减,所以Smax=×=3. 4.证明　如图所示,以C为坐标原点,CA所在的直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,0),设A(3a,0),B(0,3b),P(x,y),a>0,b>0,x>0,y>0. 因为S△PCA=S△PBC=S△PAB, 所以S△PCA=S△ABC,S△PBC=S△ABC, 即×3a×y=××3a×3b,×3b×x=××3a×3b,所以x=a,y=b. 所以符合条件的点P的坐标为(a,b). 此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2, 所以|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2. 5.C　如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点的坐标为,线段MN的中点的坐标为. 因为四边形MONP为平行四边形, 所以从而即N(x+3,y-4), 因为点N在圆x2+y2=4上,所以(x+3)2+(y-4)2=4. 当点P在直线OM上时,x=-,y=或x=-,y=. 因此点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点. 6.答案　[13-,13+] 解析　由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R),得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令解得所以直线过定点(1,-2),设为Q.由题意知,点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为C,易知C(-2,-1),半径r==,则||CN|-r|≤|MN|≤|CN|+r,又因为|CN|==13,所以|MN|的取值范围是[13-,13+]. 7.解析　(1)设线段AP的中点坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),x0≠2, 则∴其中x≠2. 又∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上, ∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1(x≠2), 故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2). (2)设PQ的中点为N(x,y), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|, 设O为坐标原点,则O为圆x2+y2=4的圆心,连接ON,则ON⊥PQ, ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 方法点拨　求与圆有关的轨迹方程问题的方法 　　(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. 　　(2)定义法:根据圆、直线等定义列出方程. 　　(3)代入法:找到所求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 7 学科网（北京）股份有限公司 $