２.７ 用坐标方法解决几何问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.7　用坐标方法解决几何问题 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　 题组　用坐标方法解决几何问题 1.已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,且∠BAC=60°,当B,C在圆上运动时,BC的中点D的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=　　　　 B.x2+y2= C.x2+y2=　　　　 D.x2+y2= 2.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为Rt△ABO内切圆上任一点,则点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最小值为(　　) A.68　　　　B.70 C.72　　　　D.74 3.有一座圆拱桥,初始时拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为　　　　m.  4.已知圆O:x2+y2=4及点P(-1,0),若点Q在圆O上运动一周,PQ的中点M形成轨迹C,则轨迹C的方程为　　　　　　　　.  5.过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是　　　　　　　.  6.已知圆x2+y2=8内一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.  7.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点. 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 答案与分层梯度式解析 1.D　如图所示,因为∠BAC=60°,且圆周角等于圆心角的一半,所以∠BOC=120°,又因为D为BC的中点,|OB|=|OC|,所以∠BOD=60°,在Rt△BOD中,有|OD|=|OB|=,故BC的中点D的轨迹方程是x2+y2=, 绕点A顺时针或逆时针旋转∠BAC,当点B或点C与点A重合时,x=,由∠BAC的极限位置可得,x<. 2.C　设△ABO的内切圆圆心为O',切点分别为D,E,F,则|AD|=|AF|,|BD|=|BE|,|OE|=|OF|,易得|AB|=10,所以内切圆半径r=EO=(6+8-10)=2. 建立如图所示的坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4,设圆上动点P的坐标为(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,所以(|PA|2+|PB|2+|PO|2)min=88-16=72,故选C. 3.答案　2 解析　如图,建立平面直角坐标系: 设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.① 当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将(x0,-3)代入①式,得x0=,所以当水面下降1 m时,水面的宽为2 m. 4.答案　+y2=1 解析　设M(x,y),则Q(2x+1,2y), 因为点Q在圆x2+y2=4上, 所以(2x+1)2+4y2=4,即+y2=1, 所以轨迹C的方程是+y2=1. 5.答案　x2+y2=2 解析　设点P(x,y),则|PO|=, ∵∠MPN=90°,|OM|=|ON|, ∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=|OM|=, ∴=,即x2+y2=2. 故动点P的轨迹方程为x2+y2=2. 6.答案　x2+y2+y-2x=0 解析　设Q(x,y),当x=2时,易得Q(2,0);当x≠2时,弦AB所在直线的斜率k=,又因为OQ⊥AB,所以kOQ·k=-1,即·=-1,整理得x2+y2+y-2x=0(x≠2),因为(2,0)满足该方程,所以点Q的轨迹方程为x2+y2+y-2x=0. 7.证明　如图所示,以O为坐标原点,直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 设☉O的半径为r(r>0),|OE|=m,则☉O的方程为 x2+y2=r2,设C(m,b1),D(m,b2). 则有m2+=r2,m2+=r2, 即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的两个不等实根,解方程得b=±, 则CD的中点坐标为,即(m,0).故E(m,0)是CD的中点,即E是CD的中点. 8.证明　如图所示,以C为坐标原点,CA所在的直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,0),设A(3a,0),B(0,3b),P(x,y),a>0,b>0,x>0,y>0. 因为S△PCA=S△PBC=S△PAB, 所以S△PCA=S△ABC,S△PBC=S△ABC, 即×3a×y=××3a×3b,×3b×x=××3a×3b,所以x=a,y=b. 所以符合条件的点P的坐标为(a,b). 此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2, 所以|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$