第2章 2.6.1 直线与圆的位置关系（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 本同步练通过“基础过关+能力提升”分层设计，以位置关系判断为起点，经切线弦长计算过渡到综合应用，梯度进阶培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|位置关系判断、切线方程、弦长计算|以恒过定点问题（题1）、切线方程求解（题6）巩固概念，题量11题，聚焦基础运算| |能力提升练|动态位置关系、最值问题、跨学科情境|通过太极图斜率最值（题9）、四边形面积最小化（题10）深化模型意识，题量14题，融入探究性解答题|

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 基础过关练 题组一　直线与圆的位置关系 1.(2025浙江宁波中学期中)已知直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0,圆O:x2+y2=3,则直线l与圆O的位置关系是(　　) A.相交　　　　　B.相切 C.相离　　　　　D.无法确定 2.已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,0)　　　　　B. C.　　　　D. 3.(2025山东菏泽期中)直线l:x-ay-6=0与圆x2+y2-12x-4y-36=0的交点个数为(　　) A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.1或2 题组二　圆的切线与弦长问题 4.(2024福建福州八县(市)协作校期中)若直线l:y=x+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|=(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.4 5.(2025福建师范大学附属中学期中)圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短的弦的长度为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.4 6.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为　　　　　　　　.  7.已知圆C与x轴相切,圆心在直线y=3x上,且直线y=x被圆C截得的弦长为2,则圆C的方程为　　　　　　　　　.  题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 8.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,则实数m的取值范围是　　(　　) A.[-2,2]　　　　　B.[-5,5] C.(-,)　　　　　D.[-,] 9.(2024四川广安友谊中学期中)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.下图可近似看成放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)内的动点,则的最小值为(　　) A.-　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D.- 10.(2025安徽江淮名校期中)已知直线l:kx-y+1-k=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,以下说法不正确的是(　　) A.l与圆C不一定存在公共点 B.圆心C到l的距离的最大值为 C.当l与圆C相交时,-<k<0 D.当k=-1时,圆C上有三个点到l的距离为 11.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组一　直线与圆的位置关系 1.已知圆x2+y2=1与直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)相切,则+的最小值为(　　) A.10　　　　　B.12　　　　　C.13　　　　　D.16 2.(2024重庆乌江新高考协作体期中)无论实数t取何值,直线tx+y+t-1=0与圆(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共点,则实数m的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.[,+∞) C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-∞,-]∪[,+∞) 3.(2023河南安阳三十九中月考)当曲线y=与直线kx-y+2k+4=0有两个交点时,实数k的取值范围是(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 4.(2024福建厦门联考)已知圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中不正确的是(　　) A.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与θ,使得圆M上有3个点到直线l的距离为 5.若圆C:x2+y2-2x+4y-13=0上到直线l:x+y+b=0的距离等于的点只有2个,则实数b的取值范围为　　　　　　　　.  题组二　圆的切线与弦长问题 6.()过点P(-1,0)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的两条切线,设两切点分别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是(　　) A.x2+(y-1)2=2　　　　　B.x2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+y2=4　　　　　D.(x-1)2+y2=1 7.(2024浙江杭州重点中学期中)已知圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x-my+2m=0与圆C相交于A,B两点,若圆C上存在点P,使△ABP为正三角形,则实数m的值为(　　) A.-　　　　　B.　　　　　C.-或0　　　　D.或0 8.(2025河北石家庄精英中学期中)直线l:x-my+m-1=0被圆O:x2+y2=4截得的弦长最短时,实数m=　　　　.  9.已知直线y=2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1=0交于A,B两点,直线mx+y+2=0垂直平分弦AB,则m的值为　　　　　,弦AB的长为　　　　　.  题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 10.(2025河南信阳期中)已知圆C:x2+y2-2x-4y-4=0,P为直线l:x+y+2=0上一点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A和B,当四边形PACB的面积最小时,直线AB的方程为(　　) A.5x+5y+3=0　　　　　B.5x-5y+3=0 C.5x+5y-3=0　　　　　D.5x-5y-3=0 11.(多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是(　　) A.y-x的最大值为-2　　　　　 B.x2+y2的最大值为7+4 C.的最大值为　　　　　 D.x+y的最大值为2+ 12.(2025湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟期中联考)已知圆C:x2+y2-4x-2my+4=0和C1:y=x+2,C2:y=|x-2|+2,若C与C1恰有一个公共点,则实数m=　　　　;若C与C2恰有两个公共点,则实数m的取值范围是　　　　.  13.已知直线l:mx-y-2m+2=0(m∈R),圆C:x2+y2-2x-6y+8=0. (1)若直线l与圆C相切,求切点的坐标; (2)若O为坐标原点,直线l与圆C交于A,B两点,且|OA|=|OB|,求△ABC的面积. 14.(2025河南洛阳期中)已知圆C的圆心在y轴上,点P在圆上,当P的坐标为时,P到直线3x+4y+12=0的距离最大. (1)求直线4x-3y+8=0被圆C截得的弦长; (2)经过原点,且斜率为k(k≠0)的直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. ①求证:+为定值; ②已知Q(1,2),若|QA|2+|QB|2=22,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 基础过关练 1.A　直线l:(m+1)x+(m-1)y+2m=0可化为m(x+y+2)+x-y=0, 由解得即直线l恒过点(-1,-1), 因为(-1)2+(-1)2<3,所以点(-1,-1)在圆O:x2+y2=3的内部,所以直线l与圆O相交. 2.D　由x2+y2-2y-2m=0,得x2+(y-1)2=2m+1, ∵直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离, ∴解得-<m<-. ∴实数m的取值范围是. 3.C　整理x2+y2-12x-4y-36=0得(x-6)2+(y-2)2=76, 所以圆x2+y2-12x-4y-36=0的圆心坐标为(6,2),半径r=2, 易得直线l:x-ay-6=0恒过点(6,0),由圆心(6,2)与点(6,0)的距离为2,且2<2,可知点(6,0)在圆的内部,故直线l与圆一定有两个交点. 4.B　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2, 所以圆心到直线l:y=x+2的距离d==,所以|AB|=2=2. 5.B　由x2+y2-2x-2y-1=0得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=3, 设M为圆x2+y2-2x-2y-1=0的圆心,直线AB为经过坐标原点的直线,且A,B为直线AB与圆的交点,如图,连接MO,MB, 易得|MB|=,|MO|=,当AB⊥MO时,AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦,所以最短的弦的长度为2=2. 6.答案　3x-4y+10=0或x=2 解析　因为22+42=20>4,所以点P在圆外. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0. 由题意知圆心坐标为(0,0),半径为2,圆心到切线的距离等于半径,所以=2,解得k=,故直线l的方程为3x-4y+10=0. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,也满足条件. 故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2. 易错警示　本题需要注意到点P在圆外,因此所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解. 7.答案　(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9 解析　因为圆C与x轴相切,且圆心C在直线y=3x上,故设圆C的方程为(x-b)2+(y-3b)2=9b2. 又因为直线y=x被圆C截得的弦长为2,所以+()2=9b2,解得b=1或b=-1,故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9. 8.D　圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心C(-1,2),半径r=2,∴圆心C到直线2x+y+m=0的距离d==,∵|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤,即m的取值范围是[-,]. 9.C　记A(2,0),则表示直线AP的斜率,记为k, 如图所示,当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小, 设lAP:y=k(x-2),则=1,解得k=-或k=0(舍去), 所以的最小值为-. 10.C　直线l:kx-y+1-k=0即k(x-1)-(y-1)=0,所以直线l过定点(1,1),记为A. 由圆C的方程得圆C的圆心为C(-1,2),半径为1. 对于A,由图易知直线l与圆C不一定有公共点,故A中说法正确; 对于B,当直线l变化时,圆心C到直线l的距离的最大值为|AC|,且|AC|==,故B中说法正确; 对于C,若直线l与圆C相交,则<1,解得-<k<0,故C中说法错误; 对于D,当k=-1时,直线l:x+y-2=0,圆心C到直线l的距离d==, 又圆C的半径为1,而1-=,所以圆C上到直线l的距离为的点有三个,故D中说法正确. 11.答案　(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析　设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),记为l,则圆心(0,0)到直线l的距离为=,解得k=或k=-,故切线方程为y=±(x+2),设两条切线分别与直线x=2交于M,N(不妨令M在x轴上方). 当点B位于点M上方或点N下方时,满足题意. 将x=2代入y=(x+2),得y=4,故点M的坐标为(2,4); 将x=2代入y=-(x+2),得y=-4,故点N的坐标为(2,-4). 故a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞). 能力提升练 1.D　依题意得=1,所以a2+3b2=1,所以+=(a2+3b2)=10++≥10+6=16,当且仅当a2=b2=时等号成立,所以+的最小值为16. 2.D　直线tx+y+t-1=0即t(x+1)+y-1=0,所以直线过定点(-1,1),因为直线与圆恒有公共点,所以点(-1,1)在圆内或在圆上,所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,解得m≤-或m≥, 所以m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞). 3.C　对方程y=变形得y2=4-x2(y≥0),即x2+y2=4(y≥0),所以曲线y=表示圆x2+y2=4的上半圆.对直线方程变形得y=k(x+2)+4,该直线的斜率为k,过定点(-2,4),记为P.当直线kx-y+2k+4=0与半圆y=相切时,=2,解得k=-,当直线kx-y+2k+4=0过点(2,0)时,4+4k=0,解得k=-1.由图可知,当曲线y=与直线kx-y+2k+4=0有两个交点时,k∈. 4.B　易得圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点(0,0),直线l:y=kx也恒过定点(0,0),所以对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点,故A中命题正确;因为圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圆心M(cos θ,sin θ)到直线y=kx的距离d===|sin(θ-φ)|≤1(其中 tan φ=k),所以对任意实数θ,直线l与圆M不一定相切,但是对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,故B中命题错误,C中命题正确;当d=时,r-d=,此时圆M上有3个点到直线l的距离为,因此存在实数k与θ,使得圆M上有3个点到直线l的距离为,故D中命题正确. 5.答案　(-7,-3)∪(5,9) 解析　圆C:x2+y2-2x+4y-13=0,即(x-1)2+(y+2)2=18,所以圆C的圆心为C(1,-2),半径r=3,设圆心C(1,-2)到直线l:x+y+b=0的距离为d,由题意得2<d<4,即2<<4,解得-7<b<-3或5<b<9,所以b的取值范围为(-7,-3)∪(5,9). 6.A　由题易知P,A,B,C四点共圆,圆心为PC的中点(0,1),半径为|PC|=×=,则过点A,B,C的圆的方程是x2+(y-1)2=2. 7.C　圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2,圆心C到直线l的距离d==,|AB|=2=2,由△ABP为等边三角形,可得P到直线AB的距离为|AB|=,过P作直线n∥l,设直线n:x-my+t=0,t≠2m,可得直线n与圆C相切,即有=2,解得t= -1±2,则直线l,n间的距离为=,由|AB|>0,得m<,所以m=0或m=-. 8.答案　-1 解析　直线l的方程可化为x-1+(1-y)m=0,所以直线l过定点(1,1),记为A. 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2, 因为12+12<4,所以点A在圆O内. 设直线l与圆O交于M,N两点,则当OA⊥l时,|MN|取最小值,所以kOAkl=-1,即1×=-1,所以m=-1. 9.答案　; 解析　由题意可知,直线mx+y+2=0与直线y=2x+1垂直,所以2×(-m)=-1,解得m=,所以直线mx+y+2=0为x+y+2=0,即x+2y+4=0.因为方程x2+y2+ax+2y+1=0表示的曲线为圆,所以a2+22-4×1>0,解得a≠0.圆x2+y2+ax+2y+1=0的圆心坐标为,易知圆心在直线x+2y+4=0上,所以-+2×(-1)+4=0,解得a=4,所以圆的方程为x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心坐标为(-2,-1),半径为2,所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2×=. 10.A　不妨令yA>yB,连接PC,如图所示, 由x2+y2-2x-4y-4=0得(x-1)2+(y-2)2=9, 所以圆C的圆心为C(1,2),半径r=3. 因为|AP|==, 所以四边形PACB的面积S=2×|AP|·|AC|=3. 所以当|PC|最小时,四边形PACB的面积S也最小,易知当PC⊥l时,|PC|最小, 易知直线l的斜率为-1,所以直线PC的斜率为1,故直线PC的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 联立解得即P. 所以直线AB的方程为(x-1)+(y-2)=9,化简得5x+5y+3=0. 名师点睛　若过圆外一点(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线,则切点弦所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 11.CD　方程x2+y2-4x+1=0表示的曲线为圆,其标准方程为(x-2)2+y2=3.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得--2≤z≤-2,所以y-x的最大值为-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点间距离的平方,易知原点与圆心间的距离为2,则原点与圆上的点间的距离的最大值为2+,所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B中说法正确;对于C,设=k,则y=kx,把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,则Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-≤k≤,所以的最大值为,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值为+2,故D中说法错误. 12.答案　-4±4;(1,+∞) 解析　由题意可知,圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2,圆心为C(2,m),半径为|m|,故m≠0, 若C与C1恰有一个公共点,则=|m|,解得m=-4+4或m=-4-4. 解法一:因为C与C2均关于直线x=2对称,且C2与直线x=2的交点为(2,2), 所以C与C2恰有两个公共点,等价于C与C2在(2,+∞)内只有1个公共点,且C不过点(2,2),当x>2时,y=x, 联立消去y得x2-(2+m)x+2=0, 即关于x的方程x2-(2+m)x+2=0在(2,+∞)上仅有一解,且解不为2, 则或 解得m>1, 所以实数m的取值范围是(1,+∞). 解法二:同解法一得C与C2在(2,+∞)内只有1个公共点,且C不过点(2,2), 所以点(2,2)在圆C:x2+y2-4x-2my+4=0内, 即22+22-8-4m+4<0,解得m>1, 所以实数m的取值范围是(1,+∞). 13.解析　由x2+y2-2x-6y+8=0,得(x-1)2+(y-3)2=2, 所以圆心C的坐标为(1,3),半径r=. (1)若直线l与圆C相切,则=, ∴m=1,∴直线l的方程为x-y=0, 联立∴ ∴切点的坐标为(2,2). (2)∵A,B为直线与圆的交点,∴|CA|=|CB|, 取AB的中点D,连接CD,OD,则CD⊥AB, 又∵|OA|=|OB|,∴OD⊥AB,∴O,C,D三点共线. 又∵直线OC的斜率为3,∴直线AB的斜率为-,则m=-,∴直线l的方程为-x-y++2=0,即x+3y-8=0,∴圆心C(1,3)到直线l的距离为=. 在Rt△CAD中,|CA|=r=,|CD|=, ∴|AD|==,∴|AB|=2|AD|=. ∴S△ABC=××=. 14.解析　(1)由题意,设圆心C(0,a), 当P的坐标为时,kPC==, ∵当P的坐标为时,P到直线3x+4y+12=0的距离最大,∴PC与直线3x+4y+12=0相互垂直, ∴·=-1,解得a=1, ∴C(0,1),∴|PC|=3,即半径为3, 则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=9, ∴圆心C到直线4x-3y+8=0的距离为=1, ∴所求弦长为2×=4. (2)由(1)得圆C:x2+(y-1)2=9,设直线l的方程为y=kx(k≠0),与圆的方程联立, 得y2-2y-8=0,显然Δ>0, ∴y1+y2==,y1y2=-=-. ①证明:+==-,为定值. ②∵|QA|2+|QB|2=(x1-1)2+(y1-2)2+(x2-1)2+(y2-2)2=(+)-2(x1+x2)+(+)-4(y1+y2)+10 =(+)-(y1+y2)+10 =(y1+y2)2-(y1+y2)-2y1y2+10 =-+26=22, ∴-=-4,∴k=1,∴直线l的方程为y=x. 7 学科网（北京）股份有限公司 $