２.６.1 直线与圆的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　直线与圆的位置关系 1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　) A.相交且过圆心　　　　　B.相切 C.相离　　　　　D.相交但不过圆心 2.已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,0)　　　　B. C.　　　　D. 3.设m>0,则直线l:(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为　　　　　　.  4.直线l: x-1=m(y-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是　　　　　　　.  题组二　圆的切线与弦长问题 5.已知过点P(2,2)的直线与圆x2+(y-1)2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=(　　) A.-　　　　B. C.-2　　　　D.2 6.设圆心在x轴上的圆C与直线l1:x-y+1=0相切,且与直线l2:x-y=0相交于M,N两点,若|MN|=,则圆C的半径为(　　) A.　　　　B. C.1　　　　D. 7.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为　　　　　　　　.  8.已知圆C与x轴相切,圆心在直线y=3x上,且直线y=x被圆C截得的弦长为2,则圆C的方程为　　　　　　　　　.  9.不经过坐标原点的直线l:x+y+m=0被曲线C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦长为2,则m的值为　　　　.  题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 10.已知直线3x+4y-10=0与圆C:x2+y2-2x+4y-20=0相交于A,B两点,点P在圆C上,且满足S△PAB=4,则满足条件的点P的个数为(　　) A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 11.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,则实数m的取值范围是(　　) A.[-2,2]　　　　B.[-5,5] C.(-,)　　　　D.[-,] 12.已知A为直线l:3x-4y+m=0上一点,点B(4,0),若|AB|2+|AO|2=16(O为坐标原点),则实数m的取值范围是(　　) A.[-4,16]　　　　B.[-16,4] C.(-4,16)　　　　D.(-16,4) 13.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组一　直线与圆的位置关系 1.已知圆x2+y2=1与直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)相切,则+的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.10　　B.12　　C.13　　D.16 2.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是(　　) A.0<k<　　　　B.-<k<0 C.0<k<　　　　D.0<k<5 3.当曲线y=与直线kx-y+2k+4=0有两个不同的交点时,实数k的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 4.已知圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中不正确的是(　　) A.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与θ,使得圆M上有3个点到直线l的距离为 5.若圆C:x2+y2-2x+4y-13=0上到直线l:x+y+b=0的距离等于的点只有2个,则实数b的取值范围为　　　　　　　　.  题组二　圆的切线与弦长问题 6.过点P(-1,0)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的两条切线,设两切点分别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是(　　) A.x2+(y-1)2=2　　　　B.x2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+y2=4　　　　D.(x-1)2+y2=1 7.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,当△AOB的面积最大时,k=　　　　.  8.已知直线y=2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1=0交于A,B两点,直线mx+y+2=0垂直平分弦AB,则m的值为　　　　　　,弦AB的长为　　　　　　.  题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 9.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　) A.　　　　B. C.π　　　　D. 10.已知点M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点P,使得·=0,则称该直线为“相关点直线”.给出下列直线:①y=x+3;②y=x;③y=2;④y=2x+1,其中为“相关点直线”的是(　　) A.①③　　B.②④　　C.②③　　D.③④ 11.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是(　　) A.y-x的最大值为-2　　　　 B.x2+y2的最大值为7+4 C.的最大值为　　　　 D.x+y的最大值为2+ 12.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为(　　) A.8　　　　B.4 C.24　　　　D.16 13.已知直线l:mx-y-2m+2=0(m∈R),圆C:x2+y2-2x-6y+8=0. (1)若直线l与圆C相切,求切点的坐标; (2)若直线l与圆C交于A,B两点,且|OA|=|OB|,求△ABC的面积. 14.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切. (1)求圆的方程; (2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4)?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　圆心坐标为(1,-1),半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离d==<r,又因为直线不过圆心,所以直线与圆相交但不过圆心. 2.D　由x2+y2-2y-2m=0,得x2+(y-1)2=2m+1,∵直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离, ∴解得-<m<-.∴实数m的取值范围是,故选D. 3.答案　相切或相离 解析　圆心到直线l的距离d=,圆O的半径r=,∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴d≥r,故直线l和圆O相切或相离. 4.答案　相交或相切 解析　易知直线l过定点(1,1),设为A.又∵点A在圆上,∴当直线l的斜率存在时,l与圆相交,当直线l的斜率不存在时,l与圆相切,∴直线l与圆相交或相切. 5.B　设圆x2+(y-1)2=5的圆心为C,则C(0,1),半径r=.因为22+(2-1)2=5,所以点P(2,2)在圆C上,所以过点P的圆C的切线与直线PC垂直,又因为切线与直线ax-y+1=0垂直,所以a=kPC=.故选B. 6.C　直线x-y+1=0与x-y=0间的距离d==,设圆C的半径为r,则r2=(r-d)2+,解得r=1. 7.答案　3x-4y+10=0或x=2 解析　因为22+42=20>4,所以点P在圆外. 当直线l的斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0. 由题意知圆心坐标为(0,0),半径为2. 因为圆心到切线的距离等于半径,所以=2,解得k=,故直线l的方程为3x-4y+10=0. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,也满足条件. 故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2. 易错警示 　　本题要注意到点P在圆外,因此所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解. 8.答案　(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9 解析　因为圆C与x轴相切,且圆心C在直线y=3x上,故设圆C的方程为(x-b)2+(y-3b)2=9b2. 又因为直线y=x被圆C截得的弦长为2,所以+()2=9b2,解得b=±1,故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9. 9.答案　-4 解析　由题意知曲线C是圆心坐标为(1,1),半径为2的圆,∴圆心到直线l的距离d=, ∴2=2=2,解得m=0或m=-4.∵直线l:x+y+m=0不经过坐标原点,∴m=-4. 10.D　圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=25,故圆心为C(1,-2),半径r=5,则圆心C到直线3x+4y-10=0的距离d==3,|AB|=2=8,设点P到直线AB的距离为h,则S△PAB=·|AB|·h=4,所以h=1,因为直线AB两侧圆上的点到直线AB的最大距离分别为8和2,所以满足条件的点P的个数为4,故选D. 11.D　圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心C(-1,2),半径r=2,∴圆心C到直线2x+y+m=0的距离d==,∵|AB|=2,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤,故选D. 12.B　设A(x,y),由题意得(x-4)2+y2+x2+y2=16,即(x-2)2+y2=4, 又因为点A在直线l上,所以直线l与圆(x-2)2+y2=4有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解得-16≤m≤4,故选B. 13.答案　(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析　设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则圆心(0,0)到直线的距离为=,解得k=±,故切线方程为y=±(x+2),设两条切线分别与直线x=2交于M,N(不妨令M在x轴上方). 当点B位于点M上方或点N下方时,满足题意. 将x=2代入y=(x+2),得y=4,故点M的坐标为(2,4); 将x=2代入y=-(x+2),得y=-4,故点N的坐标为(2,-4). 故a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞). 能力提升练 1.D　依题意得=1,所以a2+3b2=1,所以+=(a2+3b2)=10++≥10+6=16,当且仅当a2=b2=时等号成立,所以+的最小值为16.故选D. 2.A　圆的方程可化为(x+2)2+y2=32, ∴圆心坐标为(-2,0),设为C,半径r=3. 令x=0,得y=±, 如图所示,设A(0,),则kMA==. ∵过点M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴0<k<,故选A. 3.C　对方程y=变形得y2=4-x2(y≥0),即x2+y2=4(y≥0),所以曲线y=表示圆x2+y2=4的上半圆;对直线方程变形得y=k(x+2)+4,该直线过定点(-2,4)(设为P),且斜率为k,如图所示.当直线kx-y+2k+4=0与半圆y=相切时,=2,解得k=-,当直线kx-y+2k+4=0过点(2,0)时,4+4k=0,解得k=-1.由图可知,当曲线y=与直线kx-y+2k+4=0有两个不同的交点时,k∈.故选C. 4.B　因为圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点(0,0),直线l:y=kx也恒过定点(0,0),所以对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点,故A中命题正确;因为圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圆心M(cos θ,sin θ)到直线y=kx的距离d===|sin(θ-φ)|≤1(其中tan φ=k),所以对任意实数θ,直线l与圆M不一定相切,但是对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,故B中命题错误,C中命题正确;当d=时,r-d=,此时圆M上有3个点到直线l的距离为,因此存在实数k与θ,使得圆M上有3个点到直线l的距离为,故D中命题正确.故选B. 5.答案　(-7,-3)∪(5,9) 解析　圆C:x2+y2-2x+4y-13=0,即(x-1)2+(y+2)2=18,所以圆C的圆心为C(1,-2),半径r=3,设圆心C(1,-2)到直线l:x+y+b=0的距离为d,由题意得2<d<4,即2<<4,解得-7<b<-3或5<b<9,所以b的取值范围为(-7,-3)∪(5,9). 6.A　由题易知P,A,B,C四点共圆,圆心为PC的中点(0,1),半径为|PC|=×=,则过点A,B,C的圆的方程是x2+(y-1)2=2. 7.答案　±1 解析　易知圆心为O(0,0),半径r=1, 直线l的方程y=kx+1可化为kx-y+1=0, 则圆心O(0,0)到直线l的距离d=, ∴|AB|=2=2, ∴S△AOB=×2×==, 又∵|k|+≥2=2, 当且仅当|k|=,即k=±1时取等号, ∴S△AOB≤,∴当△AOB的面积最大时,k=±1. 8.答案　; 解析　由题意可知,直线mx+y+2=0与直线y=2x+1垂直,所以2×(-m)=-1,可得m=,所以直线mx+y+2=0为x+y+2=0,即x+2y+4=0.因为方程x2+y2+ax+2y+1=0表示的曲线为圆,所以a2+22-4×1>0,解得a≠0.圆x2+y2+ax+2y+1=0的圆心坐标为,易知圆心在直线x+2y+4=0上,所以-+2×(-1)+4=0,解得a=4,所以圆的方程为x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心坐标为(-2,-1),半径为2,所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2=. 9.C　由题意得圆心到直线的距离d==.又∵圆的半径r=1,∴直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2=,∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°,∴劣弧是整个圆周的,∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半,即×2πr=π. 10.B　由题意可知,点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆,其方程是x2+y2=1. 解法一:①把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,∴Δ=9-4×4=-7<0,∴直线与圆相离, ∴直线y=x+3不是“相关点直线”. 同理,通过联立直线和圆的方程,可得直线②y=x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离.所以②④符合题意.故选B. 解法二:①圆心(0,0)到直线y=x+3,即x-y+3=0的距离为=>1,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”. 同理,通过比较圆心到直线的距离与半径的大小,可得直线②y=x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离.所以②④符合题意. 故选B. 解题关键 　　点P在直线上且·=0,说明点P也在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切,所以问题转化为判断直线与圆的位置关系. 11.CD　方程x2+y2-4x+1=0表示的曲线为圆,其标准方程为(x-2)2+y2=3.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得--2≤z≤-2,所以y-x的最大值为-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点间距离的平方,易知原点与圆心间的距离为2,则原点与圆上的点间的最大距离为2+,所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4,故B中说法正确;对于C,设=k,则y=kx,把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,则Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-≤k≤,所以的最大值为,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,≤,解得-+2≤m≤+2,所以x+y的最大值为+2,故D中说法错误.故选CD. 12.A　因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,所以圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d==2>2,所以直线2x+y+10=0与圆x2+y2=4相离.因为点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四边形PAOB的面积S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×|PA|×r=2|PA|=2,为使四边形PAOB的面积最小,只需|PO|最小,又因为|PO|min为圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d,所以四边形PAOB的面积的最小值为2=8.故选A. 13.解析　由x2+y2-2x-6y+8=0,得(x-1)2+(y-3)2=2, 可得圆心C的坐标为(1,3),半径r=. (1)若直线l与圆C相切,则=, ∴m=1,∴直线l的方程为x-y=0, 联立得 ∴切点的坐标为(2,2). (2)∵A,B为直线与圆的交点,∴|CA|=|CB|, 取AB的中点D,连接CD,OD,则CD⊥AB, 又∵|OA|=|OB|,∴OD⊥AB,∴O,C,D三点共线. 又∵直线OC的斜率为3,∴直线AB的斜率为-,则m=-,∴直线l的方程为-x-y++2=0,即x+3y-8=0,∴圆心C(1,3)到直线l的距离为=. 在Rt△CAD中,|CA|=r=,|CD|=, ∴|AD|==,∴|AB|=. ∴S△ABC=××=. 14.解析　(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5, 所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25. (2)把ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+(10a-2)x+1=0. 直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,故Δ=(10a-2)2-4(a2+1)>0, 即12a2-5a>0,由a>0,解得a>,所以实数a的取值范围是. (3)设存在符合条件的实数a,由于a≠0,则直线l的斜率为-, 所以l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0. 由于直线l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=. 因为∈,所以存在实数a=,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4). 9 学科网（北京）股份有限公司 $$