第2章 2.5.1 圆的标准方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 以“基础过关练”为核心，通过四题组分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|圆的标准方程概念理解|以选择、填空题为主，如方程表示图形判断，强化几何直观与抽象能力| |题组二|圆的标准方程求解|包含选择、填空、解答题，涉及直径、对称圆等，提升运算能力与推理意识| |题组三|点与圆的位置关系|结合选择、解答题，如位置判断及充要条件分析，发展逻辑推理与空间观念| |题组四|圆的标准方程应用|融入阿氏圆、拱桥问题等，通过解答题培养模型意识与应用能力，体现数学与现实联系|

2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 基础过关练 题组一　对圆的标准方程的理解 1.(2025广东惠州中学期中)方程x=表示的图形是(　　) A.两个半圆　　B.两个圆 C.圆　　D.半圆 2.圆(2x-1)2+(2y+4)2=9的周长等于(　　) A.6π　　　　　B.3π　　　　　C.　　　　　D.9π 3.(2025四川绵阳中学期中)方程|y|-1=所表示的曲线的长度是(　　) A.6π　　　　　 B.2π C.2π+4　　　　　D.6π+12 4.(2025甘肃天水第一中学月考)若直线l:2x+y-1=0是圆C:(x+a)2+y2=1的一条对称轴,则a=　　　　.  题组二　求解圆的标准方程 5.(2025天津红桥期中)已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程是　　(　　) A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1　　　　　 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1　　　　　 D.x2+(y-3)2=1 7.(2025江苏盐城七校联考期中)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=3,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+2)2=3 B.(x+2)2+(y+2)2=3 C.(x+2)2+(y-2)2=3 D.(x-2)2+(y-2)2=3 8.(2025陕西西安第三中学期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,0),B(0,5),C(2,0),那么△ABC的外接圆的方程是　　　　　　　.  9.(2025甘肃白银靖远第四中学期中)已知点A(1,-2),B(-1,4),求: (1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程. 题组三　点与圆的位置关系 10.(2025河北石家庄精英中学期中)点P(0,3)与圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0<a<1)的位置关系为(　　) A.点P在圆外 B.点P在圆上 C.点P在圆内 D.与a的取值有关,无法确定 11.(2025广东五校开学考试)“1<b<2”是“点B(0,b)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=2内”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.若点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上,则圆的标准方程是　　　　　　　　.  13.(2025宁夏银川一中月考)已知点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  14.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系. 题组四　圆的标准方程的应用 15.(2025甘肃兰州第一中学期中)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离的比值为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B间的距离的比值为,当P,A,B三点不共线时,△PAB的面积的最大值是(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.2 16.(2024河北石家庄四中月考)圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是　　　　.  17.已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,且点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值. 18.河道上有一座圆形拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船身在水面以上的部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少米才能顺利通过桥洞?(结果精确到0.01 m,参考数据:≈99.38) 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 基础过关练 1.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1(x≥0),所以其表示的图形为半圆. 2.B　圆的方程可化为+(y+2)2=,所以圆的半径为,因此圆的周长为2π×=3π. 3.B　由|y|-1=,得|y|-1≥0, 所以y≥1或y≤-1. 将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3(y≥1或y≤-1), 所以曲线为两个半径均为的半圆, 所以曲线的长度为2π×=2π. 4.答案　- 解析　易知圆C的圆心C(-a,0).因为直线l是圆C的一条对称轴,所以点C(-a,0)在直线l上,所以2×(-a)-1=0,解得a=-. 5.B　由题意得圆心坐标为(-1,1),半径r=|AB|=×=5, 所以圆的标准方程是(x+1)2+(y-1)2=25. 6.A　设圆心坐标为(0,b),则=1,∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 7.A　设C2(a,b),易知圆C1的圆心为C1(-1,1),半径r1=. 由C1与C2关于直线x-y-1=0对称,得圆C2的半径r2=, 且解得 所以圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=3. 8.答案　(x-1)2+= 解析　根据△ABC的三个顶点可知△ABC为直角三角形,所以△ABC外接圆的圆心为斜边BC的中点,即点, 半径r=|BC|=×=, 所以所求圆的方程为(x-1)2+=. 9.解析　(1)当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 所以AB的中点(0,1)为圆心,半径为|AB|=, 则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)解法一:易知直线AB的斜率为-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.由题意可知圆心在线段AB的垂直平分线上, 又圆心在直线2x-y-4=0上,所以两直线的交点为圆心,联立两直线方程得圆心的坐标是(3,2), 则圆的半径r==2. 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则解得 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 10.A　易知圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0<a<1)的圆心坐标为(-a,2),半径为,点P(0,3)与圆心(-a,2)之间的距离为, 因为0<a<1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,故a2+1>2a>0,则>,所以点P在圆(x+a)2+(y-2)2=2a(0<a<1)外. 11.A　由点B(0,b)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=2内,得(0-1)2+(b-2)2<2,解得1<b<3,所以“1<b<2”是“点B(0,b)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=2内”的充分不必要条件. 12.答案　(x+2)2+y2=10 解析　∵点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上, ∴(1+2)2+1=m,∴m=10,故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10. 13.答案　(-∞,0)∪ 解析　由于(x-a)2+(y+a)2=2a2表示圆,故a≠0,因为点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,所以(2-a)2+(1+a)2>2a2,即-2a+5>0,解得a<,因此实数a的取值范围为(-∞,0)∪. 14.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|==5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25. 因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外. 15.D　以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), ∵=,∴=, 两边同时平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴动点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(除去点(3±2,0)), ∴△PAB的面积的最大值是×2×2=2. 16.答案　+1 解析　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,则直线与圆相离,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为+1. 17.解析　根据题意,得圆C的圆心为C(3,4),半径r=1. 设P(x,y),坐标原点为O, 则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2 =2x2+2y2+2=2()2+2 =2[]2+2=2|OP|2+2, 又因为|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4, 所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34. 18.解析　在正常水位时,设拱圈所在圆的圆心为C,以水面与桥横截面的交线所在直线为x轴,过拱圈的最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示: 由题意得A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9), 因为圆心C在y轴上,所以设C(0,b),b<0. 因为|CD|=|CB|,所以=, 所以b=-, 所以拱圈所在圆的方程为x2+=. 当x=2时,y≈8.82,8.82-2.7=6.12(m),即水位暴涨后,要想船身能顺利通过桥洞,其在水面以上的高度最高为6.12 m, 因为6.5-6.12=0.38(m),所以船身至少降低0.38 m才能顺利通过桥洞. 7 学科网（北京）股份有限公司 $