2.5.2 圆的一般方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.5.2　圆的一般方程 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　对圆的一般方程的理解 1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　) A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　　D.第四象限 2.若点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,则实数a的取值范围为(　　) A.a<3　　　　B.a<-3 C.<a<3　　　　D.-<a<3 3.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为　　　　.  4.已知AB为圆C:x2+y2-2x+2y-3=0的直径,点A的坐标为(0,1),则点B的坐标为　　　　.  题组二　圆的一般方程的求解 5.过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圆的一般方程为　　　　　　　　.  6.在平面直角坐标系中,经过三点(0,1),(0,2),(1,3)的圆的方程为　　　　　　　　.  7.圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　　　　　　　　　.  8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆的一般方程为　　　　　　　　.  题组三　动点的轨迹问题 9.已知点M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=4　　　　B.x2-y2=4 C.x2+y2=4(x≠±2)　　　　　D.x2-y2=4(x≠±2) 10.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　) A.x2+y2+6x+5=0　　　　 B.x2+y2-6x+8=0 C.x2+y2-3x+2=0　　　　 D.x2+y2+3x+2=0 11.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,求点P的轨迹方程. 12.已知△ABC的边AB的长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程. 能力提升练 题组一　圆的一般方程的求解与应用 1.已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　B.6　　C.-1　　D.+1 2.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为(　　) A.7　　B.8　　C.9　　D.10 3.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为一个单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险? 题组二　动点的轨迹问题 4.已知点M(-3,4),若动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹是(　　) A.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆 B.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆 C.以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点 D.以(3,-4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点 5.若平面内两定点A,B之间的距离为2,动点P满足|PB|=|PA|,则tan∠ABP的最大值为(　　) A.　　B.1　　C.　　D. 6.过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是　　　　.  7.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点(A,P,Q三点均不重合). (1)求线段AP的中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　圆的方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a.又∵r2>0, ∴-a2-3a>0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限. 2.D　圆的方程x2+y2-2x-y-a=0可化为(x-1)2+=a+,因为点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,所以解得-<a<3,故选D. 3.答案　9π 解析　圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是, 由圆的性质,知直线x-y+1=0经过圆心, ∴-+1+1=0,解得k=4, ∴圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为=3, ∴该圆的面积为9π. 4.答案　(2,-3) 解析　由x2+y2-2x+2y-3=0得,(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心坐标为(1,-1).设B(x0,y0),又因为A(0,1),所以由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2,-3). 5.答案　x2+y2-4x+6y-12=0 解析　将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y+3)2=16,则圆心C的坐标为(2,-3),故所求圆的半径r=|CM|==5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-12=0. 6.答案　x2+y2-3x-3y+2=0 解析　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆过(0,1),(0,2),(1,3)三点, 所以解得 所以圆的方程为x2+y2-3x-3y+2=0. 7.答案　x2+y2-4x-4y-2=0 解析　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心坐标是, 由题意知解得 故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0. 8.答案　x2+y2+2x-4y+3=0 解析　根据题意,得圆心坐标为.∵圆心在直线x+y-1=0上,∴---1=0,即D+E=-2.①∵半径r==, ∴D2+E2=20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限,∴ 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 9.C　设P(x,y),由条件知PM⊥PN,且PM,PN的斜率肯定存在,故kMP·kNP=-1, 即·=-1, 所以x2+y2=4, 当P,M,N三点共线时,不能构成三角形, 所以x≠±2,故所求轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2). 10.C　设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y), ∵Q(3,0),∴∴ 又∵点P在圆x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0,故选C. 11.解析　设P(x,y),圆(x-1)2+y2=1的圆心为B,则B(1,0),由题意得|PA|2+12=|PB|2,∴(x-1)2+y2=2. 12.解析　以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D的坐标为(x0,y0), ∴① ∵|AD|=3, ∴(x0+2)2+=9.② 将①代入②,并整理得(x+6)2+y2=36. ∵点C不能在x轴上, ∴y≠0. ∴顶点C的轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). 能力提升练 1.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5, 因此圆心C的坐标为(-1,m),半径r==≥1,当且仅当m=-2时,半径最小,面积最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1, 圆心到坐标原点的距离d==>r,即原点在圆C外, 所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1.故选D. 2.C　由题意知,圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示: 作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3), 连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小,否则,在x轴上另取一点S',连接S'P,S'P',S'Q.因为点P与点P'关于x轴对称,所以|SP|=|SP'|,|S'P|=|S'P'|,所以|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|=|P'Q|<|S'P'|+|S'Q|=|S'P|+|S'Q|. 故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=-1=9. 3.解析　(1)由题图可知A(40,40),B(20,0), 设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)易知D(-20,-20),船D的航线所在直线l的斜率为1,故直线l的方程为x-y+20-20=0, 由(1),知圆C的圆心为C(10,30),半径r=10, 则圆心C到直线l的距离d==10,则d<r, 故该船有触礁的危险. 4.C　如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点的坐标为,线段MN的中点的坐标为. 所以从而 又因为点N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4. 当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=. 因此点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点.故选C. 5.B　以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), ∵|PB|=|PA|,∴=, 整理,得x2+6x+y2+1=0,即(x+3)2+y2=8, 即动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,2为半径的圆, 当点P在如图所示的P1或P2位置时,tan∠ABP的值最大,最大值为==1.故选B. 6.答案　[13-,13+] 解析　由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R),得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0,令解得所以直线过定点(1,-2),设定点为Q.由题意知,点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为C,易知C(-2,-1),半径r==,则|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,又因为|CN|==13,所以|MN|的取值范围是[13-,13+]. 7.解析　(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),x0≠2, 则∴其中x≠2. 又∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上, ∴(2x-2)2+(2y)2=4,∴(x-1)2+y2=1(x≠2), 故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2). (2)设PQ的中点为N(x,y), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|, 设O为坐标原点,则O为圆x2+y2=4的圆心,连接ON,则ON⊥PQ, ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 方法点拨　求与圆有关的轨迹方程问题 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$