第2章 2.4 点到直线的距离（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层设计清晰，从基础到综合梯度合理，通过题组训练巩固点到直线距离等知识，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|两点间距离、点到直线距离、平行直线间距离及初步综合应用|基础题型为主，结合具体坐标计算与参数问题，如第5题含参数直线距离范围，夯实运算能力| |能力提升练|距离公式综合应用与跨知识点整合|情境化问题设计，如光线反射（第3题）、动点距离最小值（第2题），培养几何直观与推理意识|

2.4　点到直线的距离 基础过关练 题组一　两点间的距离 1.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上的中线的长为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.11　　　　　D.3 2.(2025海南学业水平诊断)点P(1,-1)到直线l:mx-m+y-1=0(m∈R)的距离的最大值为(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.5 3.已知点P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.2 题组二　点到直线的距离 4.已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.2 5.(2025辽宁名校联盟月考)点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m为任意实数)的距离的取值范围是(　　) A.[0,5]　　　　　B.[0,2]　　　　　 C.[0,4]　　　　　D.[0,] 6.(2025江苏盐城亭湖高级中学月考)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　.  题组三　两条平行直线间的距离 7.(2025江苏常州高级中学期中)已知直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:(m-1)x-8y+1-m=0(m∈R)平行,则l1与l2之间的距离为(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.5 8.(2025江苏徐州第七中学月考)设P,Q分别是直线3x+4y-10=0与直线6x+8y+5=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为(　　) A.3　　　　　B.6　　　　　C.　　　　　D. 9.(2024陕西咸阳普集高级中学期中)若平面内两条平行直线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=(　　) A.-1　　　　　B.2　　　　　C.-1或2　　　　　D.-2或1 题组四　距离公式的综合应用 10.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为(　　) A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3 11.(2025山东济南历城第二中学调研)已知x,y∈R,则函数f(x,y)=+|3x+4y-5|的最小值为(　　) A.2　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 12.(2025甘肃兰州皋兰一中期中)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　) A.x-2y-13=0　　　　　B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0　　　　　D.x-2y-6=0 13.(2025广东东莞翰林高级中学期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(3,0),B(-1,-3),C(1,1). (1)求BC边上的中线所在直线的方程; (2)求BC边上的高线所在直线的方程; (3)求△ABC的面积. 能力提升练 题组　距离公式的综合应用 1.(2024广东深圳宝安调研)已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为(　　) A.(0,5]　　　 　　B.(0,5)　　　　　 C.(0,+∞)　　　　　D.(0,] 2.(2025福建福州部分学校教学联盟测试)若动点A,B分别在直线l1:x+y-6=0和l2:x+y-2=0上,则AB的中点M与坐标原点之间的距离的最小值为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 3.(2025江苏南京东山高级中学月考)已知点A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为(　　) A.2　　　　　B.6　　　　　C.　　　　　D.2 4.(多选题)(2024清华大学强基计划)已知直线l:ax+by+c=0,不同的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),x=,下列选项中正确的有(　　) A.若x>1,则l与射线PQ相交 B.若x=1,则l与射线PQ平行 C.若x=-1,则l与射线PQ垂直 D.点Q可以在l上 5.(2025甘肃武威第一中学月考)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,则下列直线中,是“切割型直线”的有　　　　.(填序号)  ①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1. 6.(2025广东湛江第二十一中学期中)著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉,形少数时难入微”,事实上,很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)之间的距离.结合上述观点,可得+的最小值为　　　　.  7.(2025广东佛山S6高质量发展联盟期中联考)如图所示,一个面积为8的平行四边形ABCD,A为坐标原点,B点的坐标为(2,-1),C,D两点均在第一象限内. (1)求直线CD的方程; (2)若|BC|=,求点D的坐标. 8.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P点位于第一象限;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶?若能,求出P点的坐标;若不能,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.4　点到直线的距离 基础过关练 1.B　设BC边的中点为D(x,y),则x==4,y==-2,即D(4,-2), 所以|AD|==2. 2.A　易知直线l:mx-m+y-1=0恒过定点(1,1), 则当点P(1,-1)与定点(1,1)所在直线垂直于直线l时,满足题意, 此时距离的最大值为=2. 3.B　∵P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β), ∴|PQ|= = = =. ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2],∴|PQ|的最大值为2. 4.C　∵l1⊥l2,∴a×1+1×(-1)=0,解得a=1, ∴直线l1的方程为x+y-1=0, ∴点(1,2)到直线l1的距离d==. 5.B　整理直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0,得(x+y+4)+(-3x-y+4)m=0, 由得所以直线l恒过点(4,-8),记为点B, 易知点A到直线l的距离的最大值为|AB|,且|AB|==2,此时直线l垂直于AB,如图中l1; 点A到直线l的距离的最小值为0,此时直线l经过点A,如图中l2. 所以点A到直线l的距离的取值范围是[0,2]. 6.答案　4x-y-2=0或x=1 解析　当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,显然点A(2,3),B(0,-5)到直线l的距离相等,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根据题意得=,即|k-1|=|7-k|,即k-1=±(7-k),解得k=4,∴直线l的方程为4x-y-2=0. 综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1. 7.A　∵直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:(m-1)x-8y+1-m=0(m∈R)平行, ∴3×(-8)-(-4)(m-1)=0,解得m=7, ∴直线l2:6x-8y-6=0,即3x-4y-3=0,与l1不重合,符合题意, 所以l1与l2之间的距离d==2. 8.D　根据题意得=≠,所以两直线平行,直线方程6x+8y+5=0可化为3x+4y+=0,易知两平行直线间的距离即|PQ|的最小值,所以|PQ|min==. 9.A　当a=1时,l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,两直线不平行,不符合题意. 当a≠1时,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-,由题知=-,整理可得a2-a-2=0,即(a-2)(a+1)=0,解得a=2或a=-1.当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,由两平行直线之间的距离公式得=,符合题意;当a=2时,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+=0,由两平行直线之间的距离公式得=≠,不符合题意. 综上可得a=-1. 10.C　由得即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|==>2,所以满足条件的直线l有2条. 11.C　设点A(x,y),B(1,4)和直线l:3x+4y-5=0,点A,B到直线l的距离分别为d1,d2, 函数f(x,y)的几何意义为A(x,y)到B(1,4)的距离与A(x,y)到直线l:3x+4y-5=0的距离的和, 则f(x,y)=|AB|+d1≥d2==, 作BC垂直于直线l,垂足为点C,则当且仅当点A在线段BC上时取等号. 故函数f(x,y)的最小值为. 12.A　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,因为l1与l2之间的距离是2,所以=2,又因为m>0,所以m=7,则直线l1:x-2y+7=0,设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7,-3),则2=,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0. 13.解析　(1)设BC边的中点为D,则D,即D(0,-1), 由两点式可得直线AD:=,即x-3y-3=0,即BC边上的中线所在直线的方程为x-3y-3=0. (2)易得kBC==2,所以BC边上的高线所在直线的斜率k==-, 由点斜式可得BC边上的高线所在直线的方程为y=-·(x-3),即x+2y-3=0. (3)由(2)可知kBC=2,由点斜式可得直线BC:y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, 易知BC边上的高是点A到直线BC的距离,记为h, 所以h==, 又|BC|==2, 所以S△ABC=×2×=5. 能力提升练 1.A　易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|==5. 故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5]. 2.B　根据题意,可得M的集合为与直线l1和l2的距离都相等的直线,则中点M与坐标原点之间的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m≠-2,m≠-6),由=,可得|m+6|=|m+2|,解得m=-4,故l:x+y-4=0,所以中点M与坐标原点之间的距离的最小值为=2. 3.C　由题意得直线AB的方程为x+y=3,设点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2),点P1(0,-2)关于直线AB的对称点为P2(a,b),光线在x轴上的反射点为点Q,在直线AB上的反射点为点M,连接P1Q,P1P2,MP2,如图, 则kAB·=-1·=-1①,且线段P1P2的中点在直线x+y=3上,所以+=3②, 联立①②,解得a=5,b=3,即P2(5,3), 易知P1,Q,M在同一条直线上,P,M,P2在同一条直线上,则光线所经过的路程为|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|==. 4.AB　因为|x|==,所以|x|为P,Q两点到直线l的距离的比值, 若x>1,则|x|>1,即点P,Q在直线l的同侧,且点P到直线l的距离大于点Q到直线l的距离,所以l与射线PQ相交,故A正确. 若x=1,则|x|=1,即P,Q两点到直线l的距离相等,且位于直线l的同侧,所以l与射线PQ平行,故B正确. 若x=-1,则|x|=1,即P,Q两点到直线l的距离相等,且位于直线l的两侧,此时l与射线PQ不一定垂直,故C不正确. 若点Q在直线l上,则ax2+bx2+c=0,结合题设及分母不为0可知,点Q不可以在直线l上,故D不正确. 5.答案　②③ 解析　可通过求点M到直线的距离d来分析.①d==3>4,④d==>4,故①④中直线上不存在点P使|PM|=4,故①④不是“切割型直线”;②d=2<4,所以在该直线上可以找到两个不同的点,使其与点M之间的距离等于4,故②是“切割型直线”;③d==4,所以该直线上存在一点,使其与点M之间的距离等于4,故③是“切割型直线”. 6.答案　5 解析　设f(x)=+, 则f(x)=+, ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)与两定点A(2,4),B(1,3)之间的距离之和.设点A(2,4)关于x轴的对称点为A',连接MA',AA',如图所示: 易得A'的坐标为(2,-4).求f(x)的最小值,可转化为求|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|==5,当且仅当B,M,A'三点共线时等号成立, 所以f(x)=+的最小值为5. 7.解析　(1)因为ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以kCD=kAB=-, 设直线CD的方程为y=-x+m(m>0),即x+2y-2m=0. 因为四边形ABCD的面积为8,|AB|==, 所以直线AB与CD间的距离d==,即点A到直线x+2y-2m=0的距离为, 则=,解得m=±4,又m>0, 所以m=4,故直线CD的方程为x+2y-8=0. (2)设点D的坐标为(a,b), 因为|BC|=,所以|AD|=, 所以解得或 所以点D的坐标为或(2,3). 8.解析　(1)l2的方程即2x-y-=0, ∴l1与l2之间的距离d==, ∴=,又∵a>0,∴a=3. (2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上, 且=×,解得c=或c=, ∴l':2x-y+=0或2x-y+=0. 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得 =·,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵点P位于第一象限,∴3x0+2=0不符合题意. 联立 解得x0=-3,y0=,与条件①不符,应舍去. 联立解得x0=,y0=. ∴P为同时满足三个条件的点. 7 学科网（北京）股份有限公司 $