２.５.1 圆的标准方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 基础过关练 　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　对圆的标准方程的理解 1.方程x=表示的图形是(　　) A.两个半圆　　　　B.两个圆 C.圆　　　　D.半圆 2.圆(2x-1)2+(2y+4)2=9的周长等于(　　) A.6π　　　　B.3π C.　　　　D.9π 3.方程(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x-y=0对称 D.关于直线x+y=0对称 4.方程|y|-1=所表示的曲线的长度是(　　) A.6π　　　　B.2π C.2π+4　　　　D.6π+12 题组二　求解圆的标准方程 5.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程是(　　) A.(x-1)2+(y+1)2=25 B.(x+1)2+(y-1)2=25 C.(x-1)2+(y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1　　　　 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1　　　　 D.x2+(y-3)2=1 7.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离等于半径,则圆C的方程是　　　　　　　　.  8.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　.  9.已知点A(1,-2),B(-1,4),求: (1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程. 题组三　点与圆的位置关系 10.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.点P在圆内　　　　　B.点P在圆外 C.点P在圆上　　　　　D.不确定 11.若点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上,则圆的标准方程是　　　　　　　　.  12.已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为　　　　　.  13.已知点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,则实数a的取值范围为　　　　　.  14.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系. 题组四　圆的标准方程的应用 15.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是　　　　.  16.已知半径为1的圆经过点M(3,4),则其圆心到原点O的距离的最小值为　　　　.  17.已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上任意一点,且点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值. 18.如图所示,河道上有一座圆拱桥,正常水位时,拱圈的最高点距水面9 m,拱圈内水面宽22 m,船体在水面以上的部分高6.5 m,船顶部宽4 m,此时船可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7 m,船已经不能通过桥洞,船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,则船身至少降低多少米才能顺利通过桥洞?(精确到0.01 m,参考数据≈99.38) 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1(x≥0),由此确定其表示的图形为半圆,故选D. 2.B　圆的方程可化为+(y+2)2=,所以圆的半径为,因此圆的周长为2π×=3π. 3.D　易得圆心坐标为(-a,a),圆心在直线y=-x上,所以该圆关于直线x+y=0对称. 4.B　由|y|-1=, 得|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1. 将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3(y≥1或y≤-1), 所以曲线为两个半径均为的半圆, 所以曲线的长度为2π×=2π.故选B. 5.B　由题意得圆心坐标为(-1,1),半径r=|AB|=×=5, 所以圆的标准方程是(x+1)2+(y-1)2=25.故选B. 6.A　设圆心坐标为(0,b),则=1,∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1. 7.答案　(x+5)2+y2=5 解析　设圆心坐标为(a,0)(a<0),则=,所以a=-5,故圆C的方程为(x+5)2+y2=5. 8.答案　(x-4)2+y2=1 解析　圆(x-3)2+(y+1)2=1的圆心坐标为(3,-1),设其关于直线x+y-3=0对称的点的坐标为(a,b), 则解得 故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1. 9.解析　(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 即AB的中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=. 则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)解法一:易知直线AB的斜率为-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0. 由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线的交点为圆心,联立两直线方程得圆心的坐标是(3,2). 则圆的半径r==2. 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法二(待定系数法): 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 则可得 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 10.B　由(m2)2+52=m4+25>24,得点P在圆外. 11.答案　(x+2)2+y2=10 解析　∵点(1,1)在圆(x+2)2+y2=m(m>0)上, ∴(1+2)2+1=m,∴m=10,故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10. 12.答案　[0,1) 解析　由题意知 解得0≤a<1. 13.答案　(-∞,0)∪ 解析　由于(x-a)2+(y+a)2=2a2表示圆,故a≠0,因为点A(2,1)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的外部,所以(2-a)2+(1+a)2>2a2,即-2a+5>0,解得a<,因此实数a的取值范围为(-∞,0)∪. 14.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|==5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外. 15.答案　+1 解析　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为+1. 16.答案　4 解析　设圆心为C(x,y),则=1,即(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|==5, 所以|OC|≥4,即圆心到原点的距离的最小值为4. 17.解析　根据题意,得圆C的圆心C(3,4),半径r=1. 设P(x,y),坐标原点为O, 则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2 =2x2+2y2+2=2()2+2 =2[]2+2 =2|OP|2+2, 又因为|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4, 所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34. 18.解析　在正常水位时,设拱圈所在圆的圆心为C,以水面与桥横截面的交线所在直线为x轴,过拱圈的最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示: 则A,B,D三点的坐标分别为(-11,0),(11,0),(0,9), 又因为圆心C在y轴上,故可设C(0,b),b<0. 因为|CD|=|CB|,所以(9-b)2=112+b2, 所以b=-, 所以拱圈所在圆的方程为x2+=. 当x=2时,y≈8.82,8.82-2.7=6.12(m),即水位暴涨后,要想船身能顺利通过桥洞,其在水面以上的高度最高为6.12 m, 6.5-6.12=0.38(m),所以船身至少降低0.38 m才能顺利通过桥洞. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$