第2章 2.3.2 两条直线的交点坐标（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层设计清晰，基础层聚焦核心概念应用，能力层深化综合思维，通过“单一知识点→综合应用→拓展创新”路径巩固两条直线交点坐标知识，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|两直线交点坐标计算、过交点直线方程求解|直接代入法（如第1题）、简单应用题（如第5题求顶点坐标），夯实运算基础| |能力提升练|对称问题、集合与直线综合、最值问题|多选题（如第2题）、动态情境题（如第5题面积最小化），发展逻辑推理与应用意识|

2.3.2　两条直线的交点坐标 基础过关练 题组一　两直线的交点及其应用 1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　) A.12　　　　　B.10　　　　　C.-8　　　　　D.-6 2.(2025广东东莞中学段考)若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(　　) A. B.∪ C.　D.∪ 3.(2025湖南长沙望城第二中学月考)已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为点(1,p),则m+n-p等于(　　) A.24　　　　　B.20　　　　　C.4　　　　　D.0 4.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为　　　　.  5.(2025江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟期中)已知△ABC的顶点A(6,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0.求: (1)顶点C的坐标; (2)直线BC的方程. 题组二　求过两直线交点的直线方程 6.(2024辽宁朝阳建平实验中学月考)经过直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y+1=0的交点,且经过原点的直线的方程是(　　) A.2x-y=0　　　　　B.2x+y=0 C.x-2y=0　　　　　D.x+2y=0 7.(2024广东江门期中)斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2的交点的直线方程为(　　) A.y=2x+1　　　　　B.y=2x-1 C.y=2x-2　　　 　　D.y=2x+2 8.(2025甘肃兰州第一中学月考)经过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　) A.x+y+1=0或2x-3y=0　　　　　 B.x-y-1=0或2x-3y=0 C.x-y-1=0　　　　　 D.2x-3y=0 9.(2025江苏常州金坛期中质量调研)求经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线的一般式方程. 能力提升练 题组一　过两条直线交点的直线方程及其应用 1.(2025甘肃武威期中)已知集合A=,集合B={(x,y)|ax-y-2=0},且A∩B=⌀,则a=(　　) A.2　　　　　B.-2 C.-或2　　　　　D.或2 2.(多选题)(2025陕西西安交通大学附属中学阶段练习)已知直线l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),则(　　) A.直线l恒过定点(-2,2) B.存在实数λ,使直线l在两坐标轴上的截距互为相反数 C.直线l的斜率一定存在 D.点A(1,1)到直线l的距离的最大值为 3.(多选题)(2025山东省实验中学期中)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能围成三角形,则实数m的取值可能为(　　) A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.2 4.(2025甘肃陇南第一中学月考)直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为　　　　　　.  5.(2024山东烟台龙口月考)已知定点P(6,4)与定直线l1:y=4x,过点P的直线l与l1交于第一象限内的点Q,与x轴正半轴交于点M,则使△OQM(O为坐标原点)的面积最小的直线l的方程为　　　　　　.  6.(2025重庆第八中学期中)已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0. (1)求证:无论m为何实数,直线l恒过定点M; (2)过(1)中的点M作一条直线l1,使其夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程. 题组二　对称问题及其应用 7.(2025辽宁沈阳120中学期中)若A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线的方程为y=x+1,则AC所在直线的方程为(　　) A.y=2x+4　　　　　B.y=x-3 C.x-2y-1=0　　　　　D.3x+y+1=0 8.(2025福建福州福九联盟期中联考)若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于直线l:x-y+1=0对称,则直线l2一定过点(　　) A.(2,0)　　　　　B.(0,-2)　　　　　C.(0,2)　　　　　D.(-2,0) 9.(2025四川成都树德中学期中)若入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为(　　) A.x-2y+3=0　　　　　B.2x-y+3=0 C.2x+y-3=0　　　　　D.2x-y+6=0 10.(2024上海复旦附中期中)一质点在矩形ABCD内运动,现从AB的中点O沿一确定的方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上(不包括端点)的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),则OP1所在直线的斜率的取值范围是　　　　.  答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.3　两条直线的位置关系 2.3.2　两条直线的交点坐标 基础过关练 1.B　将(2,-1)代入3x+my-1=0,得m=5,代入4x+3y-n=0,得n=5,所以m+n=10. 2.A　由题意知l1与l2不可能平行或重合,所以k≠-,联立得 即直线l1与直线l2的交点为, 由此交点位于第一象限,得解得-<k<, 即实数k的取值范围是. 3.D　由两直线垂直得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以直线mx+4y-2=0即10x+4y-2=0,因为垂足(1,p)同时满足两直线方程,所以将(1,p)分别代入两直线方程,得解得所以m+n-p=10-12+2=0. 4.答案　9 解析　易知直线l1,l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3). 由解得 故所求三角形的面积S=×(12-3)×|-2|=9. 5.解析　(1)易得BH所在直线的斜率kBH=, ∴AC边所在直线的斜率kAC=-2, ∴AC边所在直线的方程为y-1=-2(x-6),即2x+y-13=0, 解方程组得故顶点C的坐标为. (2)设B(m,n),则AB的中点为M. 把点M的坐标代入直线方程2x-y-5=0,得2m-n+1=0①, 把点B的坐标代入直线方程x-2y-5=0,得m-2n-5=0②, 由①②解得故点B. 所以直线BC的方程为=, 整理得46x-41y-43=0. 6.D　联立解得 则直线l1与l2的交点坐标为(-2,1), 易得过点(-2,1)与坐标原点(0,0)的直线方程为x+2y=0. 7.A　解方程组得所以两直线的交点坐标为(1,3),又因为所求直线的斜率为2,所以所求直线的方程为y-3=2(x-1),整理得y=2x+1. 8.B　由得所以直线2x+y-8=0与直线x-2y+1=0的交点坐标为(3,2).当所求直线经过原点时,直线的方程为y=x,即2x-3y=0;当所求直线不经过原点时,设直线的方程为+=1(λ≠0),把(3,2)代入,得3-2=λ,所以λ=1,所以直线的方程为x-y-1=0. 综上,所求直线方程为x-y-1=0或2x-3y=0. 9.解析　解方程组得所以两直线的交点坐标为(-2,2).因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,所以所求直线的斜率k=-,所以所求直线的方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0. 能力提升练 1.D　由=2可得2x-y-1=0(x≠2),则A={(x,y)|2x-y-1=0,x≠2},故集合A表示的是直线2x-y-1=0上除点(2,3)外的点.①当直线ax-y-2=0与直线2x-y-1=0平行时,满足A∩B=⌀,则a=2;②当直线ax-y-2=0过点(2,3)时,满足A∩B=⌀,则2a-5=0,解得a=. 综上所述,a=2或a=. 2.ABD　对于A,联立解得所以直线l恒过定点(-2,2),故A正确. 对于B,当λ=-4时,直线l:x=-2,其在y轴上的截距不存在,与题意不符; 当λ=-时,直线l:y=2,其在x轴上的截距不存在,与题意不符; 当λ≠-4且λ≠-时,令x=0,得y=,令y=0,得x=, 令=-,得λ=-或λ=1,符合题意,故B正确. 对于C,由B知λ=-4时,直线l:x=-2,斜率不存在,故C错误. 对于D,易知点A到直线l的距离的最大值为点A(1,1)与定点(-2,2)之间的距离,设B(-2,2),则=(-3,1),故距离的最大值为||=,故D正确. 3.ABC　设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为l1,l2,l3,斜率分别为k1,k2,k3,且k1=,k2=-,k3=m.当l3∥l1,即k3=k1,即m=时,l1,l2,l3不能构成三角形;当l3∥l2,即k3=k2,即m=-时,l1,l2,l3不能构成三角形;由得所以直线l1与l2的交点坐标为,当直线l3过直线l1,l2的交点时,l1,l2,l3不能构成三角形,则-m+-1=0,解得m=-. 综上所述,实数m的取值集合为. 4.答案　3x+y+1=0 解析　设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件得直线l与l2的交点B的坐标为(-2-x0,4-y0). 由 即 得即A(-2,5), 所以直线l的方程为=,即3x+y+1=0. 5.答案　x+y-10=0 解析　当直线l的斜率不存在时,其方程为x=6,由得即Q(6,24),易知M(6,0), 所以△OQM的面积为×6×24=72. 当直线l的斜率存在时,不妨设其方程为y-4=k(x-6),k≠0,令y=0,得x=6-,即M, 由得即Q,, 由题意可知所以k<0或k>4. △OQM的面积S=××=, 令3k-2=t(t<-2或t>10),则k=, 则S====,由t<-2或t>10,得-<<0或0<<, 又1--=-20+, 所以0<-20+≤,故S=≥=40, 所以当=-,即t=-5,k=-1时,△OQM的面积取得最小值. 因为40<72,所以使△OQM的面积最小的直线l的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0. 6.解析　(1)证明:整理直线l的方程得(x-y+2)+m(2x+y+7)=0, 令解得 故无论m为何实数,直线l恒过定点M(-3,-1). (2)当直线l1的斜率不存在或等于零时,显然不符合题意. 当直线l1的斜率存在,且不为零时,设直线l1的方程为y=k(x+3)-1(k≠0), 设直线l1与y轴、x轴的交点分别为A,B, 令x=0,则y=3k-1;令y=0,则x=-3, ∴A(0,3k-1),B. ∵夹在两坐标轴之间的线段被M点平分, ∴点M为线段AB的中点, ∴解得k=-, 则直线l1的方程为y=-x-2,即x+3y+6=0. 7.C　设B关于直线y=x+1的对称点为B'(x,y), 则解得∴B'(1,0). 易知B'在直线AC上, ∴直线AC的方程为=,即x-2y-1=0. 8.C　易知直线l1:y=kx-k+1恒过点(1,1),因为直线l1与l2关于直线l对称,所以直线l2一定过点(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点. 设此对称点的坐标为(a,b),则 解得所以直线l2一定过点(0,2). 9.B　设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3),则点A关于y轴的对称点A1,点B关于x轴的对称点B1(0,3)均在直线l3上,所以l3的方程为+=1,即2x-y+3=0. 10.答案　 解析　由题意,可得OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4, 设P1(1,b)(0<b<1),则==b, 因为点P4落在线段OA上(不包括端点),所以P4落到点O,点A处为两个满足题意的临界位置(不包括这两个位置). 当P4落到点O处时,因为点O为线段AB的中点,且质点从点O出发后又回到点O,所以P1为线段BC的中点,所以=b=; 当P4落到点A处时,点P4与点P3重合,如图所示, 设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b,所以|CP1|=1-b,|CP2|==-1,|DP2|=3-, 所以tan θ===b, 所以b=,所以=. 综上所述,OP1所在直线的斜率的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $