课时分层作业18 点到直线的距离(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(十八)　点到直线的距离 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分 一、选择题 1．(教材P87习题2.4T1改编)已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D． 2．(教材P87练习T3改编)若两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，则l1与l2之间的距离是(　　) A．2 B． C． D． 3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 4．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A． B． C． D．3 5．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，5] C．(0，5] D．[0，] 二、填空题 6．过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝________． 7．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 8．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________． 三、解答题 9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程． 10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程． 11．直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为(　　) A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0 C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0 12．一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是(　　) A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0 C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0 13．已知a，b，c为直角三角形的三边长，c为斜边长，若点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________． 14．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为________． 15．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十八) 1．D　[根据题意，平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|2＝＋(－x)2＝2＋，则有|AB|≥， 则|AB|的最小值为，故选D．] 2．A　[两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行， 则＝≠，解得a＝4． 所以2x＋4y＋8＝0可化为x＋2y＋4＝0， 所以两直线间的距离d＝＝＝2．故选A．] 3．C　[由于直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝＝．] 4．B　[直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)， ∴M(0，2)． ∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上， ∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离， ∴d＝＝＝．故选B．] 5．C　[当两条平行直线l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]．] 6．2　[因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直， 所以kAB＝＝1，即a－b＝2， 所以|AB|＝＝＝2．] 7．5　[两条直线方程为x＝－2和x＝3，从而两条平行线间的距离为|3－(－2)|＝5．] 8．5　[由两点式得AB的直线方程为＝， 即3x－y－5＝0．再由点到直线的距离公式得点C到直线AB的距离为d＝＝．又|AB|＝＝．∴S△ABC＝＝5．] 9．解：　法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k． 又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0． 由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等， 得＝， 解得k＝0或k＝1． ∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0． 法二：当直线l过线段AB的中点时， 直线l与点A，B的距离相等． ∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)， ∴直线l的方程是x－y＋2＝0； 当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等． ∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0， ∴直线l的方程为y＝2． 综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2． 10．解：　由解得 所以中心坐标为(－1，0)． 所以中心到已知边的距离为＝． 设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0． 因为正方形中心到各边距离相等， 所以＝和＝． 所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0． 所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0． 11．C　[由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0．] 12．B　[点A(1，0)关于y轴的对称点A′(－1，0)在反射光线所在的直线上，因此反射光线所在直线的截距式方程为＝1，即2x－y＋2＝0，故选B．] 13．4　[因为a，b，c为直角三角形的三边长， c为斜边长，所以c＝． 又因为点M(m，n)在直线l：ax＋by＋2c＝0上， 所以m2＋n2表示直线l上的点到原点距离的平方， 所以m2＋n2的最小值为原点到直线l距离的平方， 由点到直线的距离公式可得d＝＝2， 所以m2＋n2的最小值为d2＝4．] 14．　[由得故P(1，2)． 直线l的方程可整理为x＋2＋a(y－1)＝0，故直线l过定点Q(－2，1)． 因为P到直线l的距离d|PQ|，当且仅当l⊥PQ时等号成立，所以dmax＝＝．] 15．解：　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则 解得 故A′(－2，8)． 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(－2，3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA|||AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得 故所求的点P的坐标为(12，10)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $