第2章 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|平行与垂直的判定、斜率计算、简单应用|选择/填空/解答结合，基础题型对应核心考点，如充要条件判断、截距计算| |能力提升练|综合应用（几何图形、实际问题）、跨知识点结合|情境化问题（如光线反射、欧拉线），培养推理与应用意识，如折叠问题、四边形外接圆|

2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 基础过关练 题组一　两直线平行 1.(2025江苏南通第二中学调研)已知直线l1:x+2ay-1=0和直线l2:(3a-1)x-ay+1=0,则“a=”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024甘肃兰州新亚中学期中)已知A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2), D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为(　　) A.-1　　　　　B.0　　　　　C.1　　　　　D.0或1 3.(2024安徽亳州涡阳第三中学月考)已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则+的最小值为(　　) A.2　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.8 4.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为　　　　　　.  题组二　两直线垂直 5.(2025山东济南历城二中阶段练习)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x+y-4=0垂直,则cos2θ=(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 6.(2025江苏南京第十三中学期初调研)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2:y=-2x+1,l3:y=-x-.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为(　　) A.-10　　　　　B.-2　　　　　C.0　　　　　D.8 7.(2024甘肃酒泉四校联考期中)已知直线l经过点(2,-3),且与直线2x-y-5=0垂直,则直线l在y轴上的截距为(　　) A.-4　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.4 8.(2024广东江门鹤山鹤华中学月考)直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m),则直线l1与l2的位置关系是　　　　.  题组三　两直线平行与垂直的应用 9.(2025重庆荣昌中学校月考)在平面直角坐标系中,构造以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为其中三个顶点的平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点的是(　　) A.(-3,1)　　　　　B.(4,1)　　　　　C.(-2,1)　　　　　D.(2,-1) 10.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),则△ABC是　　　　三角形.(填“直角”“锐角”或“钝角”)  11.(2025江苏徐州第七中学月考)已知A(1,6),B(2,10),C(3,16),D(4,21)中的三个点在直线l:y=kx+m上,则k+m=　　　　.  12.(2025四川期中调研)已知在△ABC中,A(0,0),B(2,0),C(1,3),D,E分别在线段AC,AB上,且DE∥BC. (1)求AC边上的高所在直线的斜截式方程; (2)若△ADE的面积为△ABC的面积的,求直线DE的一般式方程. 能力提升练 题组　两直线平行与垂直的应用 1.()已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为(　　) A.(-2,-3)　　　　　B.(2,-3) C.(2,3)　　　 　　D.(-2,3) 2.(2024湖北武汉华中师大一附中月考)将一张画有直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 023,2 024)与点(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　 　　　B.2 025　　　　　 C.4 047　　　　　D.4 049 3.(多选题)(2025山东青岛第三十九中学期中)已知A(2,2),B(1,0),C(3,-2),且四边形ABCD是平行四边形,则(　　) A.直线AD的方程为x+y-4=0 B.v=(1,2)是直线CD的一个方向向量 C.|BC|=4 D.AB边上的高所在直线的方程可以为x+2y-6=0 4.(多选题)(2025福建厦门外国语学校期中)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 5.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线kx-y+2=0上不同的两点,则直线l1:x1x-y1y=1与直线l2:x2x-y2y=1的位置关系是(　　) A.相交　　　　　B.平行　　　　　C.重合　　　　　D.不确定 6.(2025湖南浏阳期中质量监测)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后来这条直线被称为“欧拉线”.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.2x-y-1=0　　　B.2x+y-=0 C.x+2y-3=0　　　D.x-2y+1=0 7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=　　　　.  8.(2025河北邯郸武安一中期中)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH所在直线的方程; (2)求点P关于直线QH的对称点P'的坐标. 9.(2025广西玉林月考)如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路(小路宽度不计),已知矩形花园的长AD为5 m,宽AB为3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,则能否在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直? 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 基础过关练 1.C　若l1∥l2,则2a(3a-1)-1×(-a)=a(6a-1)=0,解得a=或a=0.当a=时,l1:3x+y-3=0,l2:3x+y-6=0,满足l1∥l2,符合题意; 当a=0时,l1:x-1=0,l2:x-1=0,两直线重合,不符合题意. 综上所述,“a=”是“l1∥l2”的充要条件. 2.D　当直线AB与CD的斜率不存在,即m=0时,直线AB的方程为x=0,直线CD的方程为x=1,显然AB∥CD,满足题意; 当直线AB与CD的斜率存在,即m≠0时,直线AB的斜率k1==,直线CD的斜率k2===,因为直线AB与CD平行,所以k1=k2,即=,解得m=1或m=0(舍去),当m=1时,直线AB的方程为y=2x+1,直线CD的方程为y=2x-2,显然AB∥CD,满足题意. 综上所述,m=0或m=1. 3.D　∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0), ∴+=(2m+n)=4++ ≥4+2=8, 当且仅当=,即m=,n=时,等号成立, ∴+的最小值是8. 4.答案　2x+3y-1=0 解析　由题意可设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5).令x=0,得y=-;令y=0,得x=-,∴-+=,∴c=-1,∴所求直线的方程为2x+3y-1=0. 5.C　易知直线3x+y-4=0的斜率为-3,因为直线l与直线3x+y-4=0垂直,所以直线l的斜率为, 又θ为直线l的倾斜角,所以tan θ=, 则解得cos2θ=. 6.A　因为l1∥l2,所以直线l1的斜率k==-2,解得m=-8,此时直线l1:y=-2x-12,符合题意.因为l2⊥l3,所以×(-2)=-1,解得n=-2,所以m+n=-10. 7.B　易知直线2x-y-5=0的斜率为2,故直线l的斜率为-,根据点斜式可得直线l的方程为y-(-3)=-(x-2),整理得y=-x-2,当x=0时,y=-2,故直线l在y轴上的截距为-2. 8.答案　垂直 解析　①当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1).此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1⊥l2. ②当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1).此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2. ③当m≠±1时,直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.此时k1·k2=-1,∴l1⊥l2. 综上可知,直线l1与l2的位置关系是垂直. 9.A　由题意得,kOA=1,kAB=-,kOB=0. 设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,kOC=-≠kAB,所以四边形OBAC不是平行四边形.当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=kOB,kBC=1=kOA,所以四边形OBCA是平行四边形.同理可验证点C的坐标为(-2,1)或(2,-1)时,满足题意. 10.答案　直角 解析　因为AB边所在直线的斜率kAB==2,CB边所在直线的斜率kCB==,AC边所在直线的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形. 11.答案　6 解析　由题可得kAB==4,kAC==5,kAD==5,所以A,C,D在同一条直线上,即直线l,方程为y-6=5·(x-1),即y=5x+1,所以k=5,m=1,所以k+m=6. 12.解析　(1)由题知直线AC的斜率k1==3, 所以AC边上的高所在直线的斜率为-=-, 所以AC边上的高所在直线的方程为y-0=-(x-2), 化成斜截式为y=-x+. (2)因为△ADE的面积为△ABC的面积的,D,E分别在线段AC,AB上,且DE∥BC, 所以==,则E为AB的中点,即E(1,0), 因为直线BC的斜率为=-3, 所以直线DE的斜率也为-3, 所以直线DE的方程为y-0=-3(x-1),化为一般式为3x+y-3=0. 能力提升练 1.D　设D(x,y),由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD, 则解得 所以点D的坐标为(-2,3). 2.C　记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB==-1. 由题意知,过点(2 023,2 024)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=4 047. 3.ABD　设D(x,y),由四边形ABCD是平行四边形,可得=,即(1-2,0-2)=(3-x,-2-y),解得x=4,y=0,所以D(4,0), 则kAD==-1,故直线AD的方程为y-0=-1(x-4),即x+y-4=0,故A正确; kCD==2,所以v=(1,2)是直线CD的一个方向向量,故B正确; =(3-1,-2-0)=(2,-2),则|BC|=||==2,故C错误; kAB==2,则AB边上的高所在直线的斜率为-,易得直线x+2y-6=0的斜率k=-,且过A(2,2),故D正确. 4.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A正确; 对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,皆符合题意,所以B不正确; 对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C正确; 对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D不正确. 5.A　若直线l1:x1x-y1y=1与直线l2:x2x-y2y=1的斜率都存在,则其斜率分别为,, 结合P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线kx-y+2=0上不同的两点,可以把这两个斜率看成直线kx-y+2=0上不同的两点与原点所连直线的斜率的倒数,记原点为O, 则kOP≠kOQ,所以≠,故两直线相交; 若直线l1:x1x-y1y=1与直线l2:x2x-y2y=1的斜率中有一个不存在,则另一个必定存在,故两直线相交. 综上,直线l1与l2的位置关系为相交. 6.C　由△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),可知△ABC的重心为,即(1,1). 易得AB边所在直线的斜率为0,BC边所在直线的斜率不存在,故BC⊥AB,所以△ABC的外心为AC边上的中点,即,即, 所以△ABC的欧拉线方程为=,即x+2y-3=0. 7.答案　±1 解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1). 由l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆及点C在线段OB上知,l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°. ①由l1⊥l2知,1×3k+3×(-1)=0,解得k=1. ②由∠BCD+∠BAD=180°得,∠BAD=∠OCD. 设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD, ∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°),即α1=270°-α2,∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===,即tan α1·tan α2=1, ∴-×3k=1,∴k=-1. 综上所述,k的值为±1. 8.解析　(1)点P(6,4)关于x轴的对称点P0的坐标为(6,-4),易知反射光线所在的直线过点P0和Q, 又==-1, 所以直线P0Q的方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2, 所以反射光线QH所在直线的方程为y=-x+2. (2)设P'(m,n),根据P点和P'点关于直线QH对称,得直线PP'与直线QH的斜率之积为-1,且线段PP'的中点在直线QH上, 则解得 所以点P关于直线QH的对称点P'的坐标为(-2,-4). 9.解析　可以在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直. 如图所示,以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系. 由|AD|=5 m,|AB|=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0)(0≤x≤5), 因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1, 即·=-1,解得x==3.2, 所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM互相垂直. 7 学科网（北京）股份有限公司 $