2.3.2 两条直线的交点坐标（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.3.2　两条直线的交点坐标 基础过关练 题组一　两直线的交点 1.已知直线kx-y+1=0和x-ky=0相交,且交点在第二象限,则实数k的取值范围为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-1,0)　　　　B.(0,1] C.(0,1)　　　　D.(1,+∞) 2.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为　　　　.  题组二　根据交点求参数的值或取值范围 3.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　) A.12　　B.10　　C.-8　　D.-6 4.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m+n-p等于(　　) A.24　　　　B.20 C.4　　　　D.0 5.已知△ABC的顶点A(6,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0.求: (1)顶点C的坐标; (2)直线BC的方程. 题组三　求过两直线交点的直线方程 6.经过直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y+1=0的交点,且经过原点的直线的方程是(　　) A.2x-y=0　　　　B.2x+y=0 C.x-2y=0　　　　D.x+2y=0 7.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为(　　) A.y=2x+1　　　　B.y=2x-1 C.y=2x-2　　　　D.y=2x+2 8.经过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　) A.x+y+1=0或2x-3y=0　　　　 B.x-y-1=0或2x-3y=0 C.x-y-1=0　　　　 D.2x-3y=0 9.求经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线的一般式方程. 能力提升练 　　　　　　　　　　　　 题组一　过两条直线交点的直线系及其应用 1.已知集合A=,集合B={(x,y)|ax-y-2=0},且A∩B=⌀,则a=(　　) A.2　　　　B.-2 C.-或2　　　　D.或2 2.(多选)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是(　　) A.l2始终过定点 B.若l1∥l2,则a=1或a=-3 C.若l1⊥l2,则a=0或a=2 D.若a>0,则l1始终不过第三象限 3.(多选)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值可能为(　　) A.-　　　　B.- C.　　　　D.2 4.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为　　　　.  5.已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)与两坐标轴围成四边形.当a=　　　　时,围成的四边形面积取得最小值,最小值为　　　　.  6.已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0. (1)求证:无论m为何实数,直线l恒过定点M; (2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程. 题组二　对称问题及其应用 7.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为(　　) A.y=2x+4　　　　B.y=x-3 C.x-2y-1=0　　　　D.3x+y+1=0 8.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(　　) A.(4,-2)　　　　B.(0,4) C.(-2,4)　　　　D.(0,2) 9.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为(　　) A.x-2y+3=0　　　　B.2x-y+3=0 C.2x+y-3=0　　　　D.2x-y+6=0 10.将一张画有直角坐标系的图纸对折,使点A(0,2)与B(4,0)重合,若此时点C(0,4)恰与点D重合,则点D的坐标是　　　　.  答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.A　易得k≠±1.联立kx-y+1=0与x-ky=0, 得x=,y=,则解得-1<k<0. 故选A. 2.答案　9 解析　易知直线l1,l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3). 由解得 故所求三角形的面积S=×(12-3)×|-2|=9. 3.B　将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10. 4.D　由两直线垂直得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以原直线mx+4y-2=0可写为10x+4y-2=0,又因为垂足(1,p)同时满足两直线方程,所以将(1,p)代入两直线方程,得解得所以m+n-p=10-12+2=0,故选D. 5.解析　(1)易得BH所在直线的斜率kBH=, ∴AC边所在直线的斜率kAC=-2, ∴AC边所在直线的方程为y-1=-2(x-6),即2x+y-13=0, 解方程组得故顶点C的坐标为. (2)设B(m,n),∵AB的中点为M,A(6,1), ∴M. 把点M的坐标代入直线方程2x-y-5=0,得2m-n+1=0,① 把点B的坐标代入直线方程x-2y-5=0,得m-2n-5=0,② 由①②解得故点B. 易知直线BC的方程为=, 化简,得46x-41y-43=0. 6.D　联立解得则直线l1与l2的交点坐标为(-2,1), ∴过点(-2,1)与原点(0,0)的直线方程为x+2y=0. 7.A　解方程组得所以两直线的交点坐标为(1,3),又因为所求直线的斜率为2,所以所求直线的方程为y-3=2(x-1),整理,得y=2x+1.故选A. 8.B　由解得所以直线2x+y-8=0与直线x-2y+1=0的交点坐标为(3,2).当所求直线经过原点时,直线的方程为y=x,即2x-3y=0;当所求直线不经过原点时,设直线的方程为+=1(λ≠0),把(3,2)代入,得3-2=λ,所以λ=1,此时,直线的方程为x-y-1=0. 综上,所求直线方程为x-y-1=0或2x-3y=0.故选B. 9.解析　由方程组解得所以交点坐标为(-2,2).因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,故所求直线的斜率k=-,由点斜式得,所求直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0. 能力提升练 1.D　由=2可得2x-y-1=0(x≠2),故A={(x,y)|2x-y-1=0,x≠2},故集合A表示的是直线2x-y-1=0上除点(2,3)外的点构成的集合.①当直线ax-y-2=0与直线2x-y-1=0平行时,满足A∩B=⌀,此时a=2;②当直线ax-y-2=0过点(2,3)时,满足A∩B=⌀,则2a-5=0,解得a=. 综上所述,a=2或a=.故选D. 2.ACD　易得l2:a(x-2y)+3y-1=0过定点,故A正确; 当a=1时,l1,l2重合,故B错误; 由l1⊥l2,得1×a+a×(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正确; 若a>0,则l1:y=-x+1始终过(0,1),且斜率为负,∴l1始终不过第三象限,故D正确. 故选ACD. 3.ABC　设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为l1,l2,l3,斜率分别为k1,k2,k3,且k1=,k2=-,k3=m,当l3∥l1时,k3=k1,即m=,此时l1,l2,l3不能构成三角形;当l3∥l2时,k3=k2,即m=-,此时l1,l2,l3不能构成三角形;由解得所以直线l1与l2的交点为,当直线l3过直线l1,l2的交点时,l1,l2,l3不能构成三角形,此时-m+-1=0,解得m=-. 综上所述,实数m的取值集合为,故选ABC. 4.答案　3x+y+1=0 解析　设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0).联立 即解得即A(-2,5),所以直线l的方程为=,即3x+y+1=0. 5.答案　; 解析　设l1,l2的斜率分别为k1和k2, ∵0<a<2,∴k1=∈(0,1),k2=-∈. 两直线l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2(y-2),都恒过点C(2,2),如图所示: 易知直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2-a),直线l2与x轴的交点B的坐标为(2+a2,0), ∴S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=(2-a)×2+×(2+a2)×2=a2-a+4=+. ∴当a=时,四边形OACB的面积最小,最小值为. 6.解析　(1)证明:直线l的一般式方程整理,得(x-y+2)+m(2x+y+7)=0, 令解得 故无论m为何实数,直线l恒过定点M(-3,-1). (2)当直线l1的斜率不存在或等于零时,显然不符合题意. 当直线l1的斜率存在,且不为零时,设直线l1的方程为y=k(x+3)-1(k≠0), 设直线l1与y轴、x轴的交点分别为A,B, 令x=0,则y=3k-1;令y=0,则x=-3, ∴A(0,3k-1),B. ∵夹在两坐标轴之间的线段被M点平分, ∴点M为线段AB的中点, ∴解得k=-, 则直线l1的方程为y=-x-2,即x+3y+6=0. 7.C　设B关于直线y=x+1的对称点为B'(x,y), 则解得∴B'(1,0). 易知B'在直线AC上, ∴直线AC的方程为=,即x-2y-1=0. 8.D　由l1:y=k(x-4),得直线l1过定点A(4,0). 又∵l1与l2关于点(2,1)对称,因此,点A(4,0)关于点(2,1)对称的点B(x0,y0)一定在直线l2上. 则解得 ∴直线l2恒过定点(0,2),故选D. 9. B　设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).如图所示,则点A关于y轴的对称点A1,点B关于x轴的对称点B1(0,3)均在直线l3上,其方程为+=1,即2x-y+3=0,故选B. 10.答案　 解析　设对折前线段AB的中点为M,则M(2,1). 又∵kAB==-,∴线段AB的垂直平分线的斜率为2,因此,线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2). 设D(a,b),则kCD==-, ∴a=-2b+8.① 又∵线段CD的中点在线段AB的垂直平分线上, ∴-1=2,即b=2a-10.② 由①②解得因此D. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$