第2章 2.2.3 直线的一般式方程 2.2.4 直线的方向向量与法向量（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦直线的一般式方程及方向向量与法向量，通过基础巩固与能力提升分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|直线一般式方程（3题）、方程转化（5题）、方向向量与法向量（4题）|以选择、填空为主，强化概念辨析（如第1题m取值范围）和基础运算（如第2题求直线方程），培养推理意识| |能力提升练|直线方程综合应用（7题）|含多选、解答题，涉及数形结合（如第1题图形判断）、参数范围（如第7题斜率范围），深化几何直观与创新意识|

2.2.3 直线的一般式方程　2.2.4 直线的方向向量与法向量 基础过关练 题组一　直线的一般式方程 1.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围是　　　　　.  2.(2024广东东莞第七高级中学月考)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线的方程为　　　　　　　　.  3.过点A(-2,)且与直线x-y+5=0成60°角的直线的一般式方程是　　　　　　　　.  题组二　直线方程三种形式的相互转化 4.(多选题)(2025湖北宜昌协作体期中)已知直线l:2x-3y+1=0,则(　　) A.l不过原点 B.l在x轴上的截距为 C.l的斜率为 D.l与两坐标轴围成的三角形的面积为 5.(2025甘肃酒泉实验中学期中)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=(　　) A.1　　　　 　B.-1 C.2或1　　　　　D.-2或1 6.(2025山东烟台栖霞一中月考)直线xsin α+y+1=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 7.(2025吉林白山月考)设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值. (1)直线l在x轴上的截距为-3; (2)直线l的倾斜角为45°. 题组三　直线的方向向量与法向量 8.(2025浙江绍兴会稽联盟期中联考)下列是直线6x+4y-1=0的一个方向向量的是(　　) A.(2,-3)　　　　　B.(2,3)　　　　　 C.(-3,2)　　　　　D.(3,2) 9.(2025山东烟台期中)已知直线l的一个方向向量为(3,-2),且直线l过点(2,1),则l的方程为(　　) A.2x+3y+1=0　　　　　B.2x+3y-7=0 C.3x+2y-8=0　　　 　　D.3x+2y+4=0 10.(2025辽宁大连滨城高中联盟月考)若直线l的一个法向量是,则其倾斜角为(　　) A.30°　　　　　B.60°　　　　　C.120°　　　　　D.150° 11.(2025上海大学附属中学期中)若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为　　　　　　　.  能力提升练 题组　直线方程的应用 1.(2024重庆实验中学期中)关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是(　　) 2.(多选题)(2025甘肃兰州西北师范大学附属中学期中)下列说法正确的是(　　) A.a=(1,-1)是直线x+y-3=0的一个方向向量 B.过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=0 C.过不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为= D.已知点A(2,3),B(-2,-1),若直线l过点P(1,-2)且与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是∪[5,+∞) 3.(多选题)(2024江苏徐州第七中学月考)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是(　　) A.直线l与直线l1的斜率互为相反数 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为-1 D.符合要求的直线l有两条 4.(2025江苏宿迁沭阳如东中学阶段检测)已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　　　　.  5.已知直线l:2x-2y+1=0,其法向量记为a,直线m的方向向量记为m,<a,m>=60°,且点A(1,2),B(4,-2)到直线m的距离相等,则直线m的方程为　　　　　　　　.  6.(2025甘肃张掖部分学校月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求: (1)BC边所在直线的方程; (2)经过BC的中点,且垂直于BC方向向量的直线方程; (3)经过AB的中点,且方向向量平行于的直线方程. 7.(2024重庆江津二中期中)已知O为坐标原点,直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B. (1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积; (2)若△AOB的面积S满足12≤S<,求直线l的斜率k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 基础过关练 1.答案　(-∞,0)∪(0,+∞) 解析　由题意得m与m2-m不同时为0,故m≠0, 即m的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞). 2.答案　15x-3y-7=0 解析　因为该直线的斜率存在,所以B≠0.由题意得所以所以该直线的方程为-5x+y+=0,即15x-3y-7=0. 3.答案　x=-2或x+y-1=0 解析　直线x-y+5=0的斜率为,倾斜角为30°,则与该直线成60°角的直线的倾斜角为90°或150°, 又因为所求直线过点A(-2,), 所以所求直线方程为x=-2或y-=-(x+2), 即x=-2或x+y-1=0. 4.ACD　因为2×0-3×0+1≠0,所以l不过原点,A正确; 令y=0,得x=-,所以l在x轴上的截距为-,B错误; 将方程2x-3y+1=0化为斜截式,得y=x+,所以l的斜率为,C正确; 将方程2x-3y+1=0化为截距式,得+=1, 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为××=,D正确. 5.C　依题意可知a≠0,当-2+a=0,即a=2时,直线ax+y-2+a=0可化为2x+y=0,此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当-2+a≠0,即a≠2时,直线ax+y-2+a=0可化为+=1,由直线在两坐标轴上的截距相等,可得=2-a,解得a=1或a=2(舍去). 综上所述,a=2或a=1. 6.D　易知该直线的斜率存在,将直线方程xsin α+y+1=0(α∈R)化为斜截式,得y=-sin α·x-,故直线的斜率k=-sin α, ∵α∈R,∴sin α∈[-1,1],∴k∈, ∴直线的倾斜角的取值范围为∪. 7.解析　(1)由题意得解得m=-. 故当m=-时,直线l在x轴上的截距为-3. (2)由题意得解得m=. 故当m=时,直线l的倾斜角为45°. 8.A　直线方程可化为y=-x+,即直线的一个方向向量为, 结合选项知,向量(2,-3)与向量平行,所以(2,-3)是直线6x+4y-1=0的一个方向向量. 9.B　因为直线l的一个方向向量为(3,-2),所以可设其方程为2x+3y+c=0,将(2,1)代入,得c=-7, 故直线l的方程为2x+3y-7=0. 10.C　由题意得直线l的一个方向向量为, 因此其斜率k==-,则其倾斜角为120°. 11.答案　2x-y+5=0 解析　由题意得kl=2,则直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 能力提升练 1.D　由题意得直线的斜率为a,在y轴上的截距为-,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1. 对于A,C,直线的斜率和它在y轴上的截距同号,所以排除A,C;对于B,直线的斜率小于1,在y轴上的截距大于-1且小于0,所以排除B;对于D,直线的斜率小于-1,在y轴上的截距大于0且小于1,所以D可能成立. 2.AD　A选项中,直线x+y-3=0的斜率为-1, 故a=(1,-1)是直线x+y-3=0的一个方向向量,A正确. B选项中,当直线在x轴和y轴上的截距均为0时,设直线方程为y=kx,将(1,1)代入,得k=1,则直线方程为y=x; 当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,设直线方程为+=1(a≠0),将(1,1)代入得+=1,解得a=2,则直线方程为x+y-2=0. 综上,所求直线方程为y=x或x+y-2=0,B错误. C选项中,由直线的两点式方程可知过不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为=,C错误. D选项中,画出图形如下: kPA==5,kPB==-, 若直线l过点P(1,-2)且与线段AB有公共点,则k≥kPA或k≤kPB, 故k的取值范围是∪[5,+∞),D正确. 3.ABC　由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故A,B正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C正确;易知符合要求的直线l只有一条,故D错误. 4.答案　8x-15y+6=0 解析　设所求直线的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,易得tan α=, 故tan θ=tan 2α==, 所以直线l的方程为y-2=(x-3),即8x-15y+6=0. 5.答案　(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0 解析　由已知得a可以是(2,-2), 当直线m的斜率不存在时,不满足<a,m>=60°, 故直线m的斜率存在,设为k,则m可以为(1,k), 所以cos<a,m>===,解得k=2+或k=2-. 又kAB==-,所以直线m与直线AB不平行,故直线m过线段AB的中点, 所以直线m的方程为y=(2+)或y=(2-)·,即(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0. 6.解析　(1)BC边所在直线的方程为=,整理得x+2y-5=0. (2)易得BC的中点坐标为,因为所求直线垂直于BC的方向向量,所以=(-2,1)是所求直线的一个法向量,设所求直线方程为-2x+y+m=0,把代入,得m=,所以所求直线方程为-2x+y+=0,即4x-2y-5=0. (3)易知AB的中点坐标为(1,0),所求直线的一个方向向量为=(-2,1), 又1×(-2)+2×1=0,所以所求直线的一个法向量为(1,2),设所求直线方程为x+2y+n=0,把(1,0)代入,得n=-1,故所求直线方程为x+2y-1=0. 7.解析　(1)因为直线l的斜率为-2,且过点P(3,2), 所以直线l的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8, 所以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A(4,0),B(0,8),故△AOB的面积为×4×8=16. (2)根据题意,可知直线l的斜率存在且不为0,设为k, 则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k≠0), 整理得y=kx+2-3k,所以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A,B(0,2-3k),由解得k<0. △AOB的面积S=··(2-3k)=, 因为12≤S<,所以6≤<,整理得24k≥-18k2-8>51k,解得-<k<-, 故直线l的斜率k的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $