第2章 2.2.2 直线的两点式方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦直线两点式与截距式方程，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念辨析到实际问题解决的知识巩固，适配新授课分层教学需求，培养数学建模与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|两点式方程直接应用|以坐标代入（如第1题求直线方程）、方程形式判断（如第2题）为主，强化公式记忆与直接应用| |技能应用|截距式方程综合运算|含参数讨论（如第6题截距相等求参数）、截距关系应用（如第7题截距倍数关系），培养分类讨论思维| |综合拓展|方程与几何/实际问题结合|结合函数建模（如第10题行李票费用）、几何面积优化（如第15题草坪设计），体现数学眼光与模型意识|

2.2.2　直线的两点式方程 基础过关练 题组一　直线的两点式方程 1.(2025吉林白城实验高级中学期中)若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 009,b)在直线l上,则b的值为(　　) A.2 019　　　　　B.2 018　　　　C.2 017　　　　　D.2 016 2.(2025河北邢台月考)已知直线l的两点式方程为=,则(　　) A.直线l经过点(5,2) B.直线l的斜截式方程为x=y- C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y-2=(x-5) 3.(2025北京顺义第一中学期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),则边AC所在直线的方程为　　　　　,边AB所在直线的方程为　　　　　　.  4.(2024江苏启东中学月考)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点E(-1,1),其中A(-2,0),B(1,1).求: (1)点D的坐标及AD所在直线的方程; (2)平行四边形ABCD的面积. 题组二　直线的截距式方程 5.(2025天津第四十五中学月考)若直线+=1过第一、三、四象限,则(　　) A.a>0,b>0　　　　　B.a>0,b<0　　　　　 C.a<0,b>0　　　　　D.a<0,b<0 6.(2025山西阳泉第一中学阶段练习)若直线ax+2y-1+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a的值为(　　) A.2　　　　　B.1或0　　　　　C.2或1　　　　　D.2或0 7.(2025福建福州第三中学期中)已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程是(　　) A.2x-y=0 B.2x+y-4=0或x-2y+3=0 C.2x-y=0或2x+y-4=0 D.2x-y=0或x-2y+3=0 8.(2025天津实验中学阶段调查)直线l经过点P(-4,6),与x轴、y轴分别交于A,B两点,当P为AB的中点时,直线l的方程为(　　) A.3x-y-4=0　　　　　B.-3x-2y+24=0 C.x-y+8=0　　　　　D.3x-2y+24=0 9.(2025甘肃庆阳第一中学月考)已知直线l过点P(3,2),若直线l在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程. 题组三　直线的两点式和截距式方程的应用 10.(2024贵州三新改革联盟联考)某地汽车客运公司规定乘客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定质量,则需要购买行李票,行李票费用y(单位:元)与行李质量x(单位:kg)的关系如图所示,则乘客最多可免费携带的行李质量为(　　) A.20 kg　　　　　B.25 kg　　　　　C.30 kg　　　　　D.80 kg 11.直线-=1与-=1(m,n≠0)的图形可能是(　　) 12.(2024福建龙岩连城第一中学月考)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点P(x,y),则xy的最大值是　　　　.  13.(2025山东济宁实验中学模块测试)一束光线从点A射出,射向点B(0,1)后被y轴反射,分别求入射光线和反射光线所在直线的方程. 14.(2024福建莆田第四中学期中)已知函数f(x)=logm(x-1)+1(m>0且m≠1)的图象与直线l都过定点M,且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点. (1)当|BM|=2|AM|时,求直线l的方程; (2)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程. 15.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪,且△AEF的内部为文物保护区域,不能占用,经过测量,|AB|=100 m,|BC|=80 m,|AE|=30 m,|AF|=20 m,应该如何设计才能使草坪的面积最大? 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 基础过关练 1.A　由直线的两点式方程得直线l的方程为=,即y=2x+1,将(1 009,b)代入方程,得b=2×1 009+1=2 019. 2.C　由题意知,直线l经过两点(8,9),(2,5),故其斜率为=,由>0知其倾斜角为锐角,故C正确;直线l的点斜式方程为y-5=(x-2),整理可得斜截式方程为y=x+,令x=5,可得y=7,故A,B,D错误. 3.答案　x-2y+8=0;x+y-4=0 解析　由直线的两点式方程,得边AC所在直线的方程为=,即x-2y+8=0. 同理,边AB所在直线的方程为=,即x+y-4=0. 4.解析　(1)由题意知E为BD的中点, ∴D点的坐标为(-3,1), ∴AD所在直线的方程为=,即x+y+2=0. (2)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD∥x轴,且|BD|=1-(-3)=4,作AH⊥BD于点H,则|AH|=1. 因此S▱ABCD=2S△ABD=2××4×1=4. 5.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0. 6.C　由题意可知a≠0, 令y=0,则x=,令x=0,则y=. 因为直线在两坐标轴上的截距相等,所以=. 整理得2(1-a)=a(1-a),即(1-a)(2-a)=0,解得a=2或a=1. 7.C　当直线l过原点时,其斜率为=2, 则直线l的方程为y=2x,即2x-y=0; 当直线l不过原点时,设其方程为+=1(a≠0), 将(1,2)代入直线方程,得+=1,解得a=2, 则直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0. 综上,直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0. 易错警示　在解决与两截距有关的问题时,要注意过原点的直线是否符合题意,防止遗漏导致错误. 8.D　设A(a,0),B(0,b), ∵P为AB的中点,∴解得 ∴直线l的方程为+=1,整理得3x-2y+24=0. 9.解析　当l与坐标轴平行或过原点时,不符合题意,所以可设l的方程为+=1(ab≠0),则 解得或则直线l的方程为+=1或+=1,整理得2x+y-8=0或x+3y-9=0. 10.C　由题图知点A(60,6),B(80,10),则直线的两点式方程为=,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即乘客最多可免费携带30 kg的行李. 11.B　直线-=1在x轴、y轴上的截距分别是m、-n,直线-=1在x轴、y轴上的截距分别是n、-m,因此四个截距中两正两负,对照选项知B正确. 12.答案　3 解析　易得直线AB的方程为+=1,则x=3-y, ∴xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4],∴当y=2,即P点的坐标为时,xy取得最大值,为3. 13.解析　由题意得入射光线所在直线即直线AB,其方程为+=1,即2x-y+1=0. 易知A关于y轴的对称点M在反射光线所在直线上,又因为B(0,1)也在反射光线所在直线上,所以反射光线所在直线的方程为=,即2x+y-1=0. 综上,入射光线所在直线的方程为2x-y+1=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-1=0. 14.解析　(1)对于函数f(x)=logm(x-1)+1,令x-1=1,得x=2,又f(2)=1,所以函数f(x)的图象过定点M(2,1),故直线l过定点M(2,1). 如图,作MN⊥OA于点N,则N(2,0). 当|BM|=2|AM|时,由三角形相似可得===, 故A(3,0),B(0,3), 所以直线l的方程为+=1,即x+y-3=0. (2)解法一:根据题意,设直线l的方程为+=1,A(a,0),B(0,b),由(1)知直线l过定点M(2,1),故a>2,b>1,且+=1,则b=,所以△AOB的面积S=ab=a·,整理得a2-2Sa+4S=0(*), 可知关于a的一元二次方程必有解,所以Δ=4S2-16S≥0,解得S≥4或S≤0(舍去), 所以S的最小值为4,将S=4代入(*)式,得a2-8a+16=0,解得a=4(二重根),所以b==2, 所以当△AOB的面积最小时,直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. 解法二:同解法一可知+=1(a>2,b>1), 则1=+≥2, 化简得ab≥8,当且仅当=,即时取等号, 所以△AOB的面积S=ab≥4,所以S的最小值为4, 此时直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. 解法三:由题意可知直线l的斜率存在且小于0,由(1)知直线l过定点M(2,1),故可设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0), 令y=0,得x=2-,即A;令x=0,得y=1-2k,即B(0,1-2k), 所以S△AOB=|OA|·|OB|=·(1-2k) == ≥=4, 当且仅当=-4k,即k=-时取等号. 所以△AOB的面积的最小值为4, 此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 15.解析　当矩形草坪的顶点不在线段EF(不包括端点)上时, 过点F作FM⊥BC于M, 则|DF|=60 m,S矩形DCMF=100×60=6 000(m2); 过点E作EN⊥DC于N, 则|CN|=70 m,S矩形EBCN=80×70=5 600(m2). 故此时矩形草坪的最大面积为6 000 m2. 当矩形草坪的顶点在线段EF(不包括端点)上时,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20). 易得线段EF所在直线的方程为+=1. 在线段EF上任取一点P(m,n)(0<m<30),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR的内部即为要建的矩形草坪,设矩形PQCR的面积是S m2,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n), 因为+=1,所以n=20, 故S=(100-m)=-(m-5)2+(0<m<30), 当m=5,即点P的坐标为时,S取得最大值,为. 综上,当矩形的一个顶点P为线段EF上靠近F点的六等分点,其他顶点在线段CD或BC上时,草坪的面积最大. 7 学科网（北京）股份有限公司 $