第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦直线点斜式与斜截式，以题组分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|点斜式概念与基础计算|含倾斜角、截距等基础题，如求过定点直线方程，培养抽象能力| |题组二|斜截式性质与辨析|通过多选题（如直线图形判断）深化性质理解，发展推理意识| |题组三|综合应用与问题解决|结合面积、线段长度等实际情境（如三角形面积最值），体现模型意识|

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 基础过关练 题组一　直线的点斜式方程 1.(2025江苏镇江一中等十三校联盟期中)已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2,),则l在y轴上的截距为(　　) A.-1　　　　　B.-　　　　　C.1　　　　　D. 2.直线y=k(x-1)(k∈R)是(　　) A.过点(1,0)的一切直线 B.过点(-1,0)的一切直线 C.过点(1,0)且除x轴外的一切直线 D.过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线 3.(2025安徽宣城绩溪中学段考)过点(1,)且倾斜角是直线x-2y+1=0的倾斜角的两倍的直线方程为　　　　　　;已知直线y=kx+2-3k(k≠0),则此直线所经过的定点的坐标为　　　　.  4.(2025江西宜春赣西外国语学校月考)将直线y=x+-1绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　.  5.已知直线l的斜率为,与y轴的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30,求直线l的方程. 6.(2024辽宁沈阳第二中学检测)已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求: (1)直线AB的方程; (2)直线AC和BC的方程. 题组二　直线的斜截式方程 7.(多选题)(2023河北石家庄十五中月考)直线(m2+2m)x+(2m2-m+3)y=4m+1在y轴上的截距为1,则m的值可以是(　　) A.-2　　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.2 8.(多选题)(2024甘肃白银会宁第三中学期中)已知直线l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a,则它们的图形可能为(　　) 9.(多选题)(2025吉林长春外国语学校期中)对于直线l:x=my+1,下列说法正确的是(　　) A.直线l恒过定点(1,0) B.直线l可能不存在斜率 C.m=时,直线l的倾斜角为60° D.m=2时,直线l在y轴上的截距为 10.在y轴上的截距为-6,且与y轴成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　　.  11.(2025河北石家庄二中月考)过点P(3,4)且与坐标轴围成的三角形的面积为1的直线l的斜截式方程是　　　　　　　　.  12.(2024河南郑州外国语学校期中)已知某直线过点(-10,10),且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍,求该直线的方程. 题组三　直线的点斜式和斜截式方程的应用 13.(2025湖南师范大学附属中学入学考试)直线y=kx+b经过点(1,8),且被两坐标轴截得的线段长为5,则k的所有可能取值之和为(　　) A.14　　　　　B.16　　　　　C.18　　　　　D.20 14.(2025山西晋中期中质量检测)已知直线l:(2a+3)x+(1-a)y+7+3a=0,a∈R. (1)求直线l恒过的定点的坐标; (2)若直线l经过第一、二、三象限,求实数a的取值范围. 15.(2025山东淄博高青第一中学期中)已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R). (1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等,求k的值; (2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 基础过关练 1.B　易得直线l的斜率为tan 60°=,又直线l过点(2,),所以直线l的点斜式方程为y-=(x-2),当x=0时,y=-,所以l在y轴上的截距为-. 易错警示　截距不同于日常生活中的距离,距离是一个非负数,而直线在y轴上的截距为直线与y轴交点的纵坐标,是一个实数,可正、可负、可为零. 2.D　直线y=k(x-1)(k∈R),即y-0=k(x-1)(k∈R)表示过点(1,0),且斜率为k的直线,不包含过点(1,0)且斜率不存在的直线x=1. 3.答案　y=4x-3;(3,2) 解析　易知直线x-2y+1=0的斜率为,设其倾斜角为α,则tan α=,则所求直线的斜率为tan 2α===4,所以所求直线的方程为y-=4(x-1),即y=4x-3. 将直线方程y=kx+2-3k(k≠0)转化为点斜式方程为y-2=k(x-3),可知该直线所经过的定点的坐标为(3,2). 4.答案　y-=(x-1) 解析　由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°,∴该直线绕点(1,)沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°, ∴所求直线的斜率为tan 60°=, 又由题可知直线过点(1,), ∴直线的点斜式方程为y-=(x-1). 5.解析　由题意可设直线l:y=(x+b)(b>0), 则直线l与y轴、x轴的交点坐标分别为,(-b,0), ∴+==30,解得b=12, ∴y=(x+12),整理得5x-12y+60=0. 6.解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1. (2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°, 所以kAC=tan 45°=1. 又因为直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=x-1,即y=x. 由题意知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°, 所以kBC=tan 135°=-1. 又因为直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-(x-5),即y= -x+6. 7.CD　由题意得直线过点(0,1),将(0,1)代入直线方程,得2m2-m+3=4m+1,即2m2-5m+2=0,解得m=2或m=,均符合题意. 8.AB　对于A,由l1可知,a>0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,符合题意;对于B,由l1可知,a>0,b<0,由l2可知,-b>0,a>0,符合题意;对于C,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b<0,a>0,不成立;对于D,由l1可知,a<0,b>0,由l2可知,-b>0,a>0,不成立. 9.AB　对于A,直线l:x=my+1,令y=0,则x=1,所以直线l恒过定点(1,0),故A正确; 对于B,当m=0时,直线l:x=1,其斜率不存在,故B正确; 对于C,当m=时,直线l:x=y+1,即y=x-,所以直线l的斜率为,倾斜角为30°,故C错误; 对于D,当m=2时,直线l:x=2y+1,令x=0,得y=-,所以直线l在y轴上的截距为-,故D错误. 10.答案　y=x-6或y=-x-6 解析　由题意得直线的倾斜角为60°或120°,所以斜率为或-. 又因为直线在y轴上的截距为-6, 所以直线的方程为y=x-6或y=-x-6. 11.答案　y=2x-2或y=x+ 解析　由题意知直线l的斜率存在,且不为0,设为k(k≠0),则直线l的方程为y-4=k(x-3), 令x=0,得y=4-3k,令y=0,得x=, 故所围成的三角形的面积为|4-3k|=1,即(3k-4)2=2|k|. 当k>0时,上式可化为9k2-26k+16=0,解得k=2或k=,所以直线l的方程为y-4=2(x-3)或y-4=(x-3),即y=2x-2或y=x+; 当k<0时,上式可化为9k2-22k+16=0,方程无解. 综上,直线l的斜截式方程是y=2x-2或y=x+. 12.解析　当直线过坐标原点时,满足题意,所求直线的斜率为=-1,所以直线方程为y=-x; 当直线不过坐标原点时,由题意得直线的斜率存在,设直线方程为y-10=k'(x+10),与x轴交点的横坐标为--10,在y轴上的截距为10k'+10,所以--10=4(10k'+10),解得k'=-或k'=-1(舍去),所以直线方程为y-10=-(x+10),即y=-x+. 综上,所求直线方程为y=-x或y=-x+. 13.C　因为直线y=kx+b经过点(1,8),所以k+b=8, 则直线y=kx+b即y=kx+8-k. 令x=0,则y=8-k, 令y=0,则x=1-, 则(8-k)2+=, 整理得k4-16k3-60k2-16k+64=0, 即(k+2)(k3-18k2-24k+32)=0, 即(k+2)2(k2-20k+16)=0, 解得k=-2(二重根)或k=10+2或k=10-2, 故k的所有可能取值之和为18. 14.解析　(1)整理直线l的方程得(2x-y+3)a+3x+y+7=0,联立解得 所以直线l恒过的定点的坐标为(-2,-1). (2)当直线l的斜率不存在,即a=1时,直线l的方程为x=-2,只经过第二、三象限,不符合题意; 当直线l的斜率存在,即a≠1时,y=x+, 因为l经过第一、二、三象限, 所以即 解得a>1或a<-. 综上所述,当直线l经过第一、二、三象限时,a的取值范围是∪(1,+∞). 15.解析　(1)当k=0时,直线l的方程为y=2,与x轴无交点,不符合题意; 当k≠0时,直线l的方程为y=kx+2+4k, 令x=0,则y=2+4k, 令y=0,则x==--4, 由题意得2+4k=--4,即4k++6=0, 即2k2+3k+1=0,解得k=-或k=-1,经检验,均成立. 综上,k的值为- 或-1. (2)由题可知k>0,由(1)知A,B(0,4k+2), 故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16, 当且仅当4k=,即k=时取等号,故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4. 7 学科网（北京）股份有限公司 $