2.2.3-2.2.4 直线的方向向量与法向量（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 2.2.4　直线的方向向量与法向量 基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　直线的一般式方程 1.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围是　　　　.  2.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线的方程为　　　　　　　　.  3.过点A(-2,)且与直线x-y+5=0成60°角的直线的一般式方程是　　　　　　　　　　　.  题组二　直线三种方程之间的转化 4.下列有关直线l:x+my-1=0(m∈R)的说法中正确的是(　　) A.直线l的斜率为-m　　　　 B.直线l的斜率为- C.直线l过定点(0,1)　　　　 D.直线l过定点(1,0) 5.已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=(　　) A.1　　　　B.-1 C.2或1　　　　D.-2或1 6.直线xsin α+y+1=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.∪　　　　D.∪ 7.已知直线4x+m2y-m=0(m>0),若此直线在x轴和y轴的截距的和取得最小值,则直线的方程为(　　) A.4x+2y-=0　　　　B.4x+y-1=0 C.2x-2y+1=0　　　　D.2x+2y-1=0 8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值. (1)直线l在x轴上的截距为-3; (2)直线l的倾斜角为45°. 题组三　直线的方向向量与法向量 9.若直线l的倾斜角等于135°,则下列向量中不是直线l的方向向量的是(　　) A.(2,2)　　　　B.(-3,3) C.(,-)　　　　D. 10.已知向量a=(1,3)是直线l的一个方向向量,点A(2,7)和点B(-1,y)均在直线l上,则y的值为(　　) A.-9　　B.10　　C.4　　D.-2 11.若直线l的一个法向量是,则其倾斜角为(　　) A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150° 12.若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为　　　　　　　.  能力提升练 题组　直线三种方程的应用 1.关于x,y的方程a2x-ay-1=0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是(　　) 2.已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-1与线段AB相交,则k的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　　 B. C.∪　　　　 D. 3.(多选)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论中正确的是(　　) A.直线l与直线l1的斜率互为相反数 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为-1 D.这样的直线l有两条 4.已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　　　　.  5.已知直线l:2x-2y+1=0,其法向量记为a,直线m的方向向量记为m,<a,m>=60°,且点A(1,2),B(4,-2)到直线m的距离相等,则直线m的方程为　　　　　　　　.  6.直线l过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为　　　　,当△AOB面积取最小值时,直线l的一般式方程是　　　　　　　.  7.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求: (1)BC边所在直线的方程; (2)经过BC的中点,且垂直于BC方向向量的直线方程; (3)经过AB的中点,且方向向量平行于的直线方程. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.答案　m≠0 解析　由题意得m与m2-m不同时为0,故m≠0. 2.答案　15x-3y-7=0 解析　因为直线的斜率存在,所以B≠0.由题意得所以所以该直线的方程为-5x+y+=0,即15x-3y-7=0. 3.答案　x=-2或x+y-1=0 解析　由直线方程x-y+5=0,可得此直线的斜率为,倾斜角为30°,则与该直线成60°角的直线的倾斜角为90°或150°, 又因为所求直线过点A(-2,), 所以所求直线方程为x=-2或y-=-(x+2), 即x=-2或x+y-1=0. 4.D　直线l:x+my-1=0可化为my=-(x-1).当m≠0时,直线l的方程可化为y=-(x-1),其斜率为-,过定点(1,0);当m=0时,直线l的方程为x=1,其斜率不存在,也过点(1,0).故选D. 5.C　依题意可知a≠0,当-2+a=0,即a=2时,直线ax+y-2+a=0化为2x+y=0,此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当-2+a≠0,即a≠2时,直线ax+y-2+a=0化为+=1,由直线在两坐标轴上的截距相等,可得=2-a,解得a=1或a=2(舍去).综上所述,a=2或a=1. 故选C. 6.D　将直线方程xsin α+y+1=0(α∈R)化为斜截式为y=-sin α·x-,故直线的斜率k=-sin α,∵sin α∈[-1,1],∴k∈,∴直线的倾斜角的取值范围为∪.故选D. 7.D　直线方程4x+m2y-m=0(m>0)可化为+=1,则此直线在x轴和y轴上的截距分别为,,且>0,>0,所以+≥2=1, 当且仅当m=2时,+取得最小值1,此时直线方程为4x+4y-2=0,即2x+2y-1=0.故选D. 8.解析　(1)由题意得解得m=-. 故当m=-时,直线l在x轴上的截距为-3. (2)由题意得解得m=. 故当m=时,直线l的倾斜角为45°. 9.A　由题意得直线l的斜率k=tan 135°=-1,因此直线l的方向向量是m(1,-1)(m∈R,m≠0),故选A. 10.D　由题意可知,=(-3,y-7),设=λa(λ∈R且λ≠0),∵a=(1,3),∴解得故选D. 11.C　由题意得直线l的一个方向向量为,因此其斜率k==-,则其倾斜角等于120°. 12.答案　2x-y+5=0 解析　由题意得kl=2,则直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. 能力提升练 1.D　由题意得直线的斜率为a,在y轴上的截距为-,直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为-1.对于A、C,直线的斜率和它在y轴上的截距同号,所以排除A、C;对于B,直线的斜率小于1,在y轴上的截距大于-1且小于0,所以排除B;对于D,直线的斜率小于-1,在y轴上的截距大于0且小于1,所以D可能成立.故选D. 2. D　直线l:y=k(x+2)-1恒过点P(-2,-1),则kPA==,kPB==,结合图形可得k的取值范围是.故选D. 3.ABC　由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故A,B均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y轴上的截距为-1,故C正确;易知这样的直线l只有一条,故D错误. 4.答案　8x-15y+6=0 解析　设所求直线的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,故tan α=, 故tan θ=tan 2α==, 从而可得直线l的方程为8x-15y+6=0. 5.答案　(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0 解析　由已知得a可以是(2,-2), 当直线m的斜率不存在时,不满足<a,m>=60°, 故直线m的斜率存在,设为k,所以m=(1,k), 则cos<a,m>===,解得k=2+或2-.易求得kAB==-,显然直线m不与直线AB平行. 故直线m过线段AB的中点, 所以直线m的方程为y=(2+)或y=(2-), 即(4+2)x-2y-10-5=0或(4-2)x-2y-10+5=0. 6.答案　8;x+4y-8=0 解析　设直线l的方程为+=1(a>0,b>0). 由点(4,1)在直线上得+=1. ∵a>0,b>0,∴1=+≥2=,当且仅当=,即a=8,b=2时取等号. 从而≥4,即ab≥16,∴S△AOB=ab≥8, ∴△AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0. 7.解析　(1)BC边所在直线方程为=,整理得x+2y-5=0. (2)易得BC的中点坐标为,因为所求直线垂直于BC的方向向量,所以=(-2,1)是所求直线的法向量,设所求直线方程为-2x+y+m=0,把代入,得m=,所以所求直线方程为-2x+y+=0,即4x-2y-5=0. (3)易知AB的中点坐标为(1,0), 所求直线的方向向量为=(-2,1), 又因为1×(-2)+2×1=0,可知所求直线的法向量为(1,2),设所求直线方程为x+2y+n=0,把(1,0)代入,得n=-1,故所求直线方程为x+2y-1=0. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$