第2章 2.1 直线的斜率（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线的斜率同步练，新授课场景。以“基础过关练”为载体，通过概念辨析-公式应用-综合拓展的梯度设计，覆盖倾斜角与斜率核心知识，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解|倾斜角定义、斜率与倾斜角关系|通过辨析倾斜角范围（2题）、斜率正负（3题）夯实基础，培养几何直观| |公式应用|斜率公式直接计算与简单应用|结合数列（8题）、函数图象（12题）提升运算能力，体现数学思维| |综合拓展|跨知识与实际情境应用|通过台球反弹（16题）、平行四边形顶点（17题）培养应用意识，深化模型观念|

第2章　平面解析几何初步 2.1　直线的斜率 基础过关练 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) A.30°　　　　　 B.60° C.30°或150°　　　　　D.60°或120° 2.(2025河北衡水二中月考)已知直线l的斜率的范围为[-1,1],则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　) A.0°≤α≤45°或135°≤α≤180° B.45°≤α≤135° C.45°<α<135° D.0°≤α≤45°或135°≤α<180° 3.(多选题)(2025甘肃天水秦安二中等校月考)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是(　　) A.k1<k3<k2　　　　　B.k3<k2<k1　　　　　 C.α1<α3<α2　　　　　D.α3<α2<α1 4.(2024安徽淮北第十二中学期中)若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列命题中正确的是(　　) A.若α1<α2,则k1<k2 B.若α1=α2,则k1=k2 C.若k1<k2,则α1<α2 D.若k1=k2,则α1=α2 5.(2024安徽合肥第九中学阶段检测)已知直线l经过坐标原点,其倾斜角为α,若将直线l绕坐标原点逆时针旋转45°得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45°　　　　　B.α-135° C.135°-α　　　　　D.α+45°或α-135° 6.(2025山东省实验中学月考)若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,求该正方形的两条相邻的边所在直线的斜率之和. 题组二　直线的斜率公式 7.(2025湖南长沙望城开学考试)若直线l过点A(1,2),B(3,4),则直线l的倾斜角为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 8.(2025广东深圳红山中学测试)在等差数列{an}中,a5-a2=6,若直线l过点M(m,am),N(n,an)(m≠n,m,n∈N+),则直线l的斜率为(　　) A.-3　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.3 9.(2025湖北黄冈黄梅第一中学月考)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2]　　　　　B.(0,4) C.[2,4)　　　　　D.(0,2)∪(2,4) 10.(2025甘肃白银会宁二中月考)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围为(　　) A.　　　　　B.[0,1] C.[0,2]　　 　　　D. 11.(2025江苏南京第十三中学期中)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为(　　) A.1　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.-3 12.(2025江西鹰潭余江第一中学阶段验收)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则 ,,的大小关系为(　　) A. < < 　　　　　 B. < < C. < < 　　　　　 D. < < 13.(2025浙江宁波中学期中)在平面直角坐标系中,已知某直线沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴负方向平移2个单位长度后又回到原位置,则此直线的斜率k=　　　　　.  14.(2025陕西西安第八十五中学期中)已知点A(-3,2),B(1,3),直线l过定点(-2,0),且直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　.  15.(2025江苏苏州吴江平望中学月考)若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是　　　　.  16.台球运动中的反弹球是常见的技法,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球经过台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当、方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(台边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　.  17.(2025湖南长沙长郡中学模块测试)已知坐标平面内的三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). (1)求直线AB的斜率和倾斜角; (2)若A,B,C,D四点可以成为平行四边形的四个顶点,且点D在第一象限内,求点D的坐标; (3)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.1　直线的斜率 基础过关练 1.D　如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°. 2.D　由题意得tan α∈[-1,1],0°≤α<180°, 结合正切函数的单调性可知0°≤α≤45°或135°≤α<180°. 3.AD　由题图知k2>k3>0,k1<0,则k1<k3<k2,>α2>α3>0,<α1<π,则α3<α2<α1. 4.D　根据正切函数在和上的单调性知A,C错误;若α1=α2=,则k1,k2均不存在,故B错误;若直线l1,l2的斜率k1=k2, 则tan α1=tan α2,又α1,α2∈∪,所以α1=α2,故D正确. 5.D　直线l的倾斜角的取值范围为0°≤α<180°.当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°. 6.解析　如图,以O为原点建立平面直角坐标系,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3, 设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3, 由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°, 故kOA=tan(θ-45°)===, kOC=tan(θ+45°)===-2, 所以kOA+kOC=-2=-. 故该正方形的两条相邻的边所在直线的斜率之和为-. 7.C　设直线l的倾斜角为α,则0≤α<π.由题可得kl==1,即tan α=1,所以直线l的倾斜角为. 8.C　设等差数列{an}的公差为d,因为在等差数列{an}中,a5-a2=6,所以d==2,因为直线l过点M(m,am),N(n,an)(m≠n,m,n∈N+),所以直线l的斜率为=d=2. 9.B　当直线的斜率存在,即m≠2时,kAB<-1或kAB>1,即<-1或>1,∴0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在,即m=2时,α=,符合题意. 综上,实数m的取值范围是(0,4). 易错警示　已知倾斜角的取值范围求斜率的范围时,若倾斜角的取值范围中含有90°,则斜率的范围分成两段. 10.C　如图,当直线l的倾斜角为0°时,斜率为0,当直线l经过原点时,斜率为2, 由l不经过第四象限可知,直线l的斜率的取值范围为[0,2]. 11.C　易知表示过点P(x,y)与点C(3,0)的直线的斜率, 因为点P在线段AB上,且kAC==-3,kBC==-,所以-3≤≤-, 所以的最大值为-. 12.B　作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示. 由图可知,y轴右侧曲线上的点与原点连线的斜率随x的增大而减小, 因为a>b>c>0,所以 < < . 13.答案　- 解析　取直线l上任意一点,记为P(x0,y0),若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,则P点移动到P1(x0+3,y0)的位置,再沿y轴负方向平移2个单位长度,则P1移动到P2(x0+3,y0-2)的位置. 由题意可知,P,P2都在直线l上, ∴直线l的斜率k==-. 14.答案　(-∞,-2]∪[1,+∞) 解析　设C(-2,0),则kAC==-2,kBC==1,由图可知,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞). 15.答案　 解析　设直线的倾斜角为α,斜率为k, 则k=tan α==<0,∴-3<a<1,∵关于a的函数m=3a2-4a的图象开口向上,对称轴为直线a=, ∴当a=时,m取得最小值,为-. 又∵当a=-3时,m=39,当a=1时,m=-1, ∴实数m的取值范围是. 16.答案　 解析　设P(x,0),由题可知kPA=-kPB,即=-, 解得x=,所以点P的坐标为. 17.解析　(1)易得直线AB的斜率为=1,所以倾斜角为. (2)如图,当点D在第一象限内时,由四边形ABDC为平行四边形可知,AB∥CD,AC∥BD,则直线AB与CD的倾斜角相同,直线AC与BD的倾斜角相同,又因为其斜率均存在,故kAB=kCD,kAC=kBD. 设D(x,y),x>0,y>0,则解得 故点D的坐标为(3,5). (3)易得为直线BE的斜率. 当点E与点C重合时,直线BE的斜率最小,为kBC==-; 当点E与点A重合时,直线BE的斜率最大,为kAB=1. 故直线BE的斜率的取值范围为,即的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $