三角函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数图像性质与综合应用，通过基础到综合的题型设计，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|考查周期、对称轴、单调区间等基础性质及图像变换|从三角函数定义到图像性质，构建概念到应用的逻辑链| |多选题|3题|综合图像分析判断对称性、零点及方程解|整合图像与性质，强化多维度推理能力| |填空题|3题|三角不等式、方程及零点问题求解|深化三角运算与函数性质的关联应用| |解答题|5题|涉及周期、值域、图像变换及向量综合|形成从单一性质到综合应用的递进逻辑，提升问题解决能力|

高中数学人教A版必修一三角函数 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B B B D AC AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用对称性可判断D的正误． 【详解】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故最小正周期为， 故A错误； 对于B，由A可得，故， 而，故的图象不关于点对称， 故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为， 故的图象向左平移个单位长度得不到的图象，故C错误； 对于D，， 而， 所以与的图象关于轴对称，故D正确； 故选：D ． 2．A 【分析】先利用诱导公式对函数解析式进行变形，再利用余弦函数图像性质求出单调递减区间. 【详解】解：． 由题知， 解得， ∴函数的单调递减区间为． 故选：A. 3．C 【分析】先利用向量数量积的坐标运算公式代入已知条件，得到关于正余弦值的方程，再利用余弦差角公式化简方程.又因为，所以结合余弦函数的特殊值，确定的取值. 最后将求得的代入，再利用正切函数的特殊值计算结果. 【详解】因为向量， 所以， 即， 又因为，所以，所以，可得， 所以， 故选：C. 4．A 【详解】由三角函数坐标定义知，角θ的终边经过点， 所以，， ， 当时，，， 则； 当时，，， 则； 综上. 5．B 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简即可. 【详解】 . 6．B 【分析】三角函数图像平移遵循“左加右减”，偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可. 【详解】由题，， 因为为偶函数，所以，即， 则 7．B 【分析】正弦型函数在对称轴处取最值，因此对称轴处的相位必须等于，据此列方程解出的通式，再结合取最小正参数即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是． 8．D 【分析】利用函数周期性，图象经过点以及单调性分析求解即可. 【详解】由图象可知，函数的周期，所以符合题意， 又函数经过点，且在该点附近单调递增， 所以由得：，解得：， 又，所以当时，， 所以函数的解析式为. 9．AC 【分析】根据的性质逐一分析选项即可 【详解】A项，由图可知振幅，所以周期，，A正确； B项，由A项可得，代入点得，所以. 又因为，所以取,得，B错误； C项，由B项可得，当时，，是最小值，所以是对称轴，C正确； D项，当时，，而，所以不是对称中心，D错误. 10．AC 【分析】先根据三角函数平移变换规则和偶函数性质求出参数，得到的解析式，再结合正弦型函数的零点、对称性、方程解的个数、单调性逐一判断选项即可. 【详解】 首先求的解析式：函数向左平移个单位后得： . 因为是偶函数，所以相位满足， 结合，取得，故. 选项A：代入，得，因此是的一个零点，A正确； 选项B：代入，得， 因此不是的对称轴，B错误； 选项C：当时，，在该区间的解为， 对应，共3个解，C正确； 选项D：当时，，而在上单调递减， 因此在该区间单调递减，D错误. 11．ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 12． 【分析】由诱导公式将函数解析式进行化简，再由函数图像写出解集即可. 【详解】作出在的简图． 满足的的范围是，即不等式的解集为． 故答案为：. 13．/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 14．/ 【分析】通过正切函数零点和无定义点条件，分情况写出的表达式，代入后，筛选出符合条件的解即可. 【详解】因为为的最小正零点，所以令，即， 当时，；当时，； 因为b为的定义域之外的最小正数，所以令，即， 当时，； 若，则； 若，则（舍去）. 综上所述，. 15．(1)最小正周期；单调递减区间； (2)最大值为；最小值为. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；解不等式，可得出函数的单调递减区间； （2）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值和最大值. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期； 由，得. 即函数的单调递减区间为； （2）因为，所以，所以， 当即时，函数取最小值，； 当即时，函数取最大值，. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 16．(1) (2) 【分析】（1）通过三角函数恒等变换化简 ，然后根据平移和偶函数的性质求解得； （2）根据解得，然后结合公式求解； 【详解】（1） ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. （2）因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 17．(1)最小正周期，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）首先利用向量数量积公式，结合二倍角公式和两角和差公式，将化简为，再利用周期公式求出周期，利用正弦函数的图象和性质求解函数的单调递增区间； （2）首先求出，再利用已知，可求出的取值范围，又在上的值域为，结合正弦函数的图象，建立的不等式，进而求出的取值范围. 【详解】（1）由向量，，得 ； 函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，，， 当时，， 由在上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是. 18．(1)最小正周期为，递增区间为 (2). (3) 【分析】（1）利用余弦函数单调增区间列不等式求解即可； （2）函数化简后利用正弦函数对称中心求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）因为，余弦函数单调增区间为， 所以， 所以的单调增区间为 （2）化简，则，正弦函数的对称中心为， 所以令，即函数的对称中心为. （3）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为. 19．(1)； (2) 【分析】(1)利用向量点积展开后通过二倍角公式和辅助角公式化简为标准的正弦型函数，再套用正弦函数周期、单调性、值域结论直接求解； (2)将零点问题转化为在区间内有解问题，利用正弦函数的对称性求解所有解的和，再反推变量的和. 【详解】（1）由题，， 即，周期， 令，解得， 则严格增区间为， 值域. （2）令，即，设，方程在内有四个解， 设解为满足（关于对称），， 所以， 又，所以所有零点之和为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一三角函数 一、单选题 1．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 2．函数的单调递减区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知向量，且，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．若角θ的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 5．计算：（     ） A．1 B． C． D． 6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B． C．-1 D．1 7．函数关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 8．已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是（   ） A．为函数的一个零点 B．函数的图象关于对称 C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递增 11．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．不等式，的解集为_____________． 13．已知∈（0，），且满足，，则______. 14．已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______. 四、解答题 15．已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 16．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 17．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求函数的对称中心 (3)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 19．已知，令函数 (1)求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； (2)函数，求函数在区间内所有零点之和. 学科网（北京）股份有限公司 $