三角函数：求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数最值两类核心问题，通过例题与变式构建从基础到综合的训练体系，强化数学思维与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求含sinx(型)函数的值域和最值|10题（5例+5变式）|涉及周期、图像平移、对称轴等综合条件的最值求解|从基本sinx型函数到结合三角函数性质的综合应用，体现概念生成到拓展的逻辑| |求含sinx（型）的二次式的最值|10题（5例+5变式）|含参数二次式、零点问题及恒成立条件下的最值探究|从二次式基本值域到复杂情境应用，构建换元转化与推理运算的思维链条|

三角函数：求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值专项训练 三角函数：求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值专项训练 考点目录 求含sinx(型)函数的值域和最值 求含sinx（型）的二次式的最值 考点一 求含sinx(型)函数的值域和最值 例1．（2026·江西赣州·二模）设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 例3．（2026·河北雄安·三模）函数的最大值为________． 例4．（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 例5．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的最小正周期为，. (1)求和； (2)若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 变式1．（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 变式3．（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 变式4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 变式5．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 考点二 求含sinx（型）的二次式的最值 例1．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 例2．（25-26高三上·广东清远·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例3．25-26高三上·上海奉贤·月考）函数的最大值与最小值之和为___________． 例4．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数的最大值为__________. 例5．（25-26高二下·天津河东·期末）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，则在上的值域为___________． 变式4．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 变式5．（25-26高三上·甘肃金昌·月考）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数：求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值专项训练 三角函数：求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值专项训练 考点目录 求含sinx(型)函数的值域和最值 求含sinx（型）的二次式的最值 考点一 求含sinx(型)函数的值域和最值 例1．（2026·江西赣州·二模）设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最值即可求解； 【详解】由可得，， 所以，. 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 例3．（2026·河北雄安·三模）函数的最大值为________． 【答案】/ 【分析】结合辅助角公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 即，则，即， 解得，故函数的最大值为. 例4．（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 例5．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的最小正周期为，. (1)求和； (2)若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数周期公式求，代入已知点结合的取值范围求解； （2）根据图象平移规则得到解析式，结合正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）已知函数最小正周期，， 由，得，解得， 将 代入 ，得 ，即， 因此 ，，即，， 又，令，得，满足条件， 故，； （2）由（1）知， 将图象向左平移个单位长度， 得， 当 时，， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值， 所以在的最小值为. 变式1．（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 变式2．（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参数，最后求解最小值. 【详解】因为，其中， 又因为函数的图象向左平移个单位为偶函数， 即为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以， 当，即，所以. 所以. 变式3．（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 【答案】 【详解】，其中，所以的最大值为. 变式4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最大值为2，且其图象的一条对称轴为，则__________. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式结合三角函数最大值的性质得到的可能取值，再利用对称轴处函数取最值的性质，代入计算验证得到符合条件的值. 【详解】对于 ，其中，其最大值为， 又最大值为2，所以，解得. 又， 因为是的一条对称轴，所以， 若，则，舍去； 若 ，则 ，符合； 所以. 变式5．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为 ，根据对称中心间距确定周期 从而求出 ，最后代入 计算函数值. （2）根据自变量 的范围求出相位 的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最大值和最小值的点并求解. 【详解】（1） 根据题意，解得，即， 因为，所以，则， ． （2）据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 考点二 求含sinx（型）的二次式的最值 例1．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 例2．（25-26高三上·广东清远·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以当时取到最大值，当时取到最小值， 所以的值域为． 例3．25-26高三上·上海奉贤·月考）函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【分析】通过换元将三角函数转化为二次函数，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，判断函数在闭区间上的单调性，从而由端点取得最值. 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 例4．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】应用换元法结合正弦函数值域结合二次函数得出最大值. 【详解】设，则，对称轴为， 所以当，单调递减，当，单调递增， 当时，，当时，， 所以函数的最大值为. 例5．（25-26高二下·天津河东·期末）已知函数的最小正周期为，函数的图象关于直线对称． (1)求，的值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的图象性质求解. （2）由（1）求出，再利用正弦函数单调性列出不等式求解. （3）分别求出在给定区间上函数的最大值和的最小值，再利用恒成立不等式列式求出的范围. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， 由函数的图象关于直线对称，得，而， 所以. （2）由（1）得，由，得， 由，得；由，得， 所以当时，的单调递增区间是. （3）将的图象向左平移个单位长度，得函数， 当时，，，因此； 由，恒成立，得， 函数，由，得， 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此； 当时，，则，解得，因此， 所以实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，故. 变式2．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 因为，则， 设，则在上单调递减， 所以当时，. 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，则在上的值域为___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系将原函数转化为关于的二次函数，再利用换元法，及二次函数的性质即可求解． 【详解】由，， 令，，则原函数转化为二次函数，， 又该二次函数开口向下，且对称轴为， 当时，取得最大值，； 当时，；当时，，即， 所以在上的值域为． 变式4．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用函数零点的等价条件及正弦函数的性质即可求解. 【详解】已知函数在区间内有且仅有个零点， 即方程在上有两个不等的实数解， 令，则，则， 当时，每个都对应两个值； 当或时，每个都对应一个值； 当时，每个都对应三个值； 当时，，则有两个的值，满足题意；    当时，每个都有两个与它对应，当时，函数都有两个与对应， 此时方程在上有四个不等的实数解，不满足题意； 当时，或，则或有四个的值，不满足题意； 当时，每个与一一对应，当时，函数都有两个与对应，满足题意； 当时，，则有一个的值，不满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 变式5．（25-26高三上·甘肃金昌·月考）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦展开式化简可得答案；   （2）转化为，令，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】（1）当时，， 则 ， 当且仅当时，函数的最小值为； （2）， 整理得 ， 即， ， ， 可得，即求， 令，令， 函数在上递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 则， 则，则. 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $