2.1.3方程组的解集同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养运算能力、模型意识及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程组解集的概念与基本表示|以直接求解题型为主，如单选1-2，巩固抽象能力| |中档|解的存在性、参数影响及简单应用|结合错解分析（单选3）、古代数学问题（单选5），发展推理意识| |提升|综合参数问题与实际情境应用|设置含参同解问题（单选6、11）、运输优化情境（解答题16），体现模型意识与应用意识|

2.1.3方程组的解集同步练（北京专用） 一、单选题 1．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由代入法求解后，再用集合表示出解集即可. 【详解】由，可得， 代入， 得， 整理得， 解得或， 当时，解得； 当时，解得； 所以原方程组的解集为. 故选：D. 2．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入解出再求解即可 【详解】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 3．甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【详解】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 4．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 5．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长尺，竿子长尺，下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列方程即可求解. 【详解】设绳索长尺，竿子长尺，由题意得到， 故选：A 6．若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解得，再把代入，求解即可. 【详解】由题意联立方程为：，解得， 把代入得，解得. 故选：B 7．已知非零实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组即可求解的关系，进而可求解. 【详解】由两式子相加可得，所以，所以 ， 故选：C 8．关于，的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 【答案】A 【分析】当时，与重合，当时，与相交，即可求出结果． 【详解】当时，与重合，解集是 无限集，则D正确； 当时，有单元素集合，则B，C正确； 故选：A 9．若关于，的方程组的解集为，则（    ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】由题可得，即得. 【详解】∵关于，的方程组的解集为， ∴，解得，， ∴. 故选：D. 10．方程组的解集的是（    ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【答案】A 【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解 【详解】由题意 将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得： 代入第一个式子，可得 故方程组的解集为：{(1，－2，3)} 故选：A 11．已知关于x，y的方程组和有相同的解集，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先取两个方程组不含参数的方程联立求解得方程的根，再代入另外两个含参的方程即可得解. 【详解】解方程组可得, 将代入，解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了方程组的求解，属于基础题. 二、填空题 12．已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【分析】在方程组中消去，得出，由题意知该方程只有一解，按照和分类讨论，利用判别式法求解即可. 【详解】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 13．若关于的方程组.唯一解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过将方程组中的两个方程相加消去，得到关于的方程，再根据方程有唯一解的条件来确定的取值范围. 【详解】由题意可得，化简得：， 因为方程组有唯一解，所以关于的方程有唯一解， 即，解得. 故答案为：. 14．若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数______． 【答案】2 【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 三、解答题 15．解关于x，y的方程组． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，后运用二元一次方程组的解法解题即可. 【详解】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 16．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 【答案】(1)甲车型8辆，乙车型10辆 (2)甲，乙，丙三种车型分别为或 【分析】（1）分别设出需甲车型辆，乙车型辆，再根据条件得到方程组，解方程组即可得出结果； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，根据条件得到，再利用均为整数这一条件即可求出结果. 【详解】（1）设需甲车型辆，乙车型辆， 由题得，解得， 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆， 由题得，，消得到，所以， 又均为正整数，得到或， 当时，，当时， ， 所以，甲，乙，丙三种车型分别为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.1.3方程组的解集同步练（北京专用) 一、单选题 1.方程组x2+y2=5的解集为() 2x-y=3 A.{2,1 后副 c.2,1, D21,层 2.方程组 3x+y2=7,的解集为() x2-3x+2y2=6 a层g112 B.{1,2,1,-2 C.{1,2,-1,-2 D.{2,1,-2,1 mx+y=5 3.甲乙两位同学求方程 2Xy53)的解柴A时，甲因看错了m解得A=(子-2以， 乙因看错了n解得A={(3,-7)},则m,n的值分别为() A.-4,3 B.4,3 C.-3,4 D.3,4 4.下列关于方程 y=kx+1 y=2kx+3 的解的说法中正确的是(). A.该方程一定有唯一解 B.该方程没有解 C.k=0时，方程有无数解 D.k≠0时，方程有唯一解 5.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比 竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为： “现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量 竿，就比竿短5尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长X尺，竿子长y尺，下列所列方程 组正确的是（) 试卷第1页，共3页 x-y=5 y-x=5 A 1 x-y=5 y-1 =5 B. 2*y=5 C. y-2x=5 D. ax-by=5 6.若关于x,y的方程组 2x+y=-1 ax+by=3与k-2y=-3 的解集相等，则α、b的值为 () A.a=4,b=-1B.a=-4,b=-1 C.a=4,b=1 D.a=-4,b=1 x-2y-3z=0 7.已知非零实数x,y,z满足2xy+32=0 则x:y:z=() A.1:1:3 B.3:3:1 c.3:3:(-1) D.1:1:-3 ax-3y=6 8.关于x,y的方程组 3x-2y=4 的解集，不正确的说法是() A.可能是空集 B.必定不是空集 C.可能是单元素集合 D.可能是无限集 9.若关于x,y的方程组 mx+4y=7 3x-my=n 的解集为1,2，则m-n=() A.4 B.-4 C.6 D.-6 x+2y+z=0, 10.方程组2x-y-z=1,的解集的是() 3x-y-z=2 A.{(1,-2,3)}B.{(1,0,1)} C.{(0,-1,0)}D.{(0,1,-2)} 5x+y=3x-2y=5 11.已知关于x,y的方程组 x+5y=4和5x+by=1有相同的解集，则a,b的值为 () a=1 A.b=2 B. a=-4 b=-6 a=-6 a=14 C.b=2 D.b=2 二、填空题 12.已知关于X,y的方程组y4X=0解集中只有一个元素，则实数k= y-kx-1=0 试卷第2页，共3页 13.若关于x,y的方程组 2x-y=1 mx+y=3唯一解，则实数m的取值范围是 14.若关于x、y的二元一次方程组y二2x+3 y=kx+1 的解集为⑦，则实数k= 三、解答题 mx+y=1-m 15.解关于x,y的方程组 2x+y=4+m 16.水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运 载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几 辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），己知它们的总辆数 为16，分别求出三种车型的辆数 试卷第3页，共3页