练案11 2.1.3 方程组的解集-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[11] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.3 方程组的解集] A组基础巩固 :7.我国古代书籍《九章算术》中“盈不足”专讲盈亏问题 一、选择题 及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人 1.（2023·东营高一检测)三元一次方程组 出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四 [x+y=1, (钱)，问人数、物价各几何”，则本题中的人数是 y+z=5,的解集是 ,物价是 （钱). Lz+x=6 [x-y=2, A.{(1,0,4)} B.{(1,2,4) 8.已知方程组{y-z=3,的解也是方程3x+my+2z=0 C.(1,0,5) D.(4,1,0) [z+x=1 的解，则m的值为 2.已知(，)1(2,1)是方程组x-3y=-1, 的解 x+by=5 三、解答题 集，则a,b的值为 )9,解下列三元一次方程组： z=y+x, A.a=-1,b=3 ① B.a=1,b=3 C.a=3,b=1 D.a=3,b=-1 (1)2x-3y+2z=5, ② lx+2y+z=13 ③ 3.(2024·营口高一检测)我国古代数学著作《增删算 r2x+3y+z=11, ① 法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索 (2)x+y+z=0, ② 比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.” 3x-y-z=-2 ③ 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳 索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿 短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程 组是 ( [x=y+5. x=y-5, A.1 B |2x=y-5 2x=y+5 C.=y+5, D. x=y-5, 12x=y-5 [2x=y+5 3x2+y2=7, 4.方程组-3x+2y=6 解集为 )10.k为何值时，方程组 [y=+2 ① {(1,2} 1y2-4x-2y+1=0.② (1)有一个实数解，并求出此解； B.{(1,2),(-1,-2) (2)有两个不同的实数解； C.{(1,2),(1,-2)} (3)没有实数解. D.(2,1),(-2,1) 5.(多选题)关于x,y的方程组r+(2a-1)y=a+2a-l, 则 Ix +ay =2a, 下列说法正确的是 A.一定有解 B.可能有唯一解 C.可能有无穷多解 D.可能无解 二、填空题 6.若方程组 「2x+y=1-3k, 的解集满足x+y=0,则k lx+2y=2 的值为 —121 B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 a c 规定：bd 2-1 =ad-bc.例如，3 =2×0.-3× 1.已知lx-z+4|+|z-2y+11+|x+y-z+1川=0，则x 0 +y+z= (-1)=3. A.9 B.10 c.5 D.3 /3 =1, 2若相异两实数，y满足+y-2=0则女-2+y 2 x y2+x-2=0, 的值为 ) 解方程组 =8 -35 A.3 B.4 C.5 D.6 3 3.(多选题)给出以下说法，其中正确的为 =-3. 6 y A关于x的方程x+!=c+L的解是x=c(c≠0) B.方程组厂y+2=63, 的正整数解有2组 x2+yz=23 C已知关于，y的方程组+3y4-a其中-3≤a lx-y=3a, ≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a 的解 D.以方程组-2x=2, 的解为坐标的点(x,y)在第 2x+y=3 二象限 二、填空题 4已知关于x,y的方程组3r-y=5, l4ax+5by=-22和 亿84有相同的解，则(-a的值为 ax-by=8 5(2024:洋坊商一检测)若号：号，且x+y +z=102,则x= 三、解答题 6.(2024·潍坊高一检测)现有A,B两种型号台灯.若 购买2台A型台灯和6台B型台灯，共需610元；若 购买6台A型台灯和2台B型台灯，共需470元. (1)求A,B两种型号台灯每台分别多少元？ (2)采购员小红想采购A,B两种型号台灯共30台， 且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多 少台？ ,; —122对点训练2：：方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积， 3.B设甲杯中原有水α毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原 .x与2y是方程2-4z-21=0的两个根，解此方程得21= 有水c毫升， -3,32=7, 「a+c-40=2a,① 依题意有 rx=-3,rx=7, a+b+c+180=3b,② 或7，即或 2y=7 12y=-3,y=2 ②-①，得b-a=110,故选B. y=-2 所以原方程组的解集为{(-3，召)，(7，-2)》 4.{(-2,-2),(1,1)月 「x-y=0,① 1x2+y=2,② 例3：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x ②+①，得x2+x=2,解得x1=-2,x2=1, km,ykm和zkm 把x1=-2代人①，得少1=-2， 把2=1代入①，得2=1， x+y+z=70, rx=12, 所以原方程组的解集{(-2，-2)，(1,1). 由题意得 20+0+40=2.5,解得=54， 「xy=6, 5. (答案不唯一)由于这两组解都有：xy=2×3= 员+六+0=23， z=4, [x-y=-1 6,x-y=-1, 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km,平路是54km, 故可组成方程组为厂=6，，（答案不唯一）。 下坡路是4km, [x-y=-1 对点训练3：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y 练案[11] 千米 ①当甲、乙两人相遇前相距3干米时，得A组 基础巩固 3x+3y=30-3, rx+y=1①， l30-5x=2(30-5y), 解得4 ly=5. 1.C因为{y+z=5②， ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时， --.-.. Lz+x=6③. 得3r+3y=30+3, 所以①+②+③得2x+2y+2z=12, 130-5x=2(30-5y), 即x+y+z=6④ 「x= 16 ④-①得z=5; 3 ④-②得x=1:④-③得y=0. 解得{ 所以甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每 7 y=3 所以方程组的解集为{(1,0,5). 小时5千米或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时 2.B因为1(x,1(2,D是方程组a-3。-1的解集， lx+by=5 号千米 所以把=2，y=1代入方程组，得，3-山， 2+b=5, 例4：[-2,2]消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0, 所以as1, 当3-m2=0,即m=±5时，方程有解； b=3. 3.A 绳索长x尺，竿长y尺，由绳索比竿长5尺可得x=y+5; 当3-m2≠0，△=4m2+16(3-m2)≥0，即m≠±3且 -2≤m≤2时方程有解： 由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得)=y-5, 综上所述，-2≤m≤2. x=y+5. 课堂检测固双基 由此可得方程组{ 1 1.A由加减消元法可求得x=1,y=2,故所求方程组的解集为 l2x=y-5. {(1,2). r3x2+y2=7, ① 4.C 2B@+y=2, lx2-3x+2y2=6,② 次数是2，符合二元二次方程组， x+y=4 由①×②-②得5x2+3x-8=0, ②2r+y=7, 次数是2，符合二元二次方程组， Ly(x-y)=5 解得=一令或=1， ③可+5=，+5=x不是整式方程，所以不是二元二 把x=-号代人①得7-罗<0（无解）。 lxy-2=y 把x=1代入①得y2=4,∴y=±2. 次方程组， 所以方程组的解集为{(1,2)，(1，-2).。 @/x=-5, 2+y产有三个未知数且次数是3，不符合二元二次方程 5.ABC关于x,y的方程组 rax+(2a-1)y=a2+2a-1① 组，故选B. x+ay=2a②， -179 由x+ay=2a,可得ax+a2y=2a2③， ③-①得(a2-2a+1)y=a2-2a+1, 把x=1,代人①得y=3,方穆组的解为=， (y=3. 当a=1时，为恒等式，有无穷多解； 1 .k=0或k=1时，方程组有一个实数解。 当a≠1时，y=1,x=a,有唯一解. (2)当/0， 时，原方程组有两个不同的实数 6.1两式相加得3(x+y)=3-3k,由x+y=0,得3-3k=0,解 4=-16(k-1)>0 得k=1. 解，解得k<1且k≠0. r8x-y=3·解 ∴.k<1且k≠0时，原方程组有两个不同的实数解. 7.753 设人数为x,物价是y(钱)，则 y-7x=4, (3)当 k2≠0， 得7， 4=-16(k-1)<0 时，原方程组没有实数解，解得k y=53 >1, x-y=2, ① .当k>1时，方程组无实数解。 8.-5 y-z=3, ② :B组素养提升 z+x=1. ③ rx-z+4=0. ① ①+②，得x-z=5, ① 1.A由题意，得{z-2y+1=0, ② 将③④组成方程组+x=1 解得∫x3, lx+y-z+1=0. ③ x-z=5, z=-2 : ③-①，得y=3 把x=3代人①，得y=1. 把y=3代入②，得z=5. rx=3, 把z=5代入①，得x=1, 故原方程组的解是y=1, 所以x+y+z=1+3+5=9.故选A. z=-2 2.D两式作差消元得：(x-y)(x+y-1)=0→x+y=1(x≠ ! 代入3x+my+2z=0,得9+m-4=0,解得m=-5. y),反代回去得x2-x-1=0,同理可得y2-y-1=0,所以 9(1)将①代人②，③，消去，得4-y=5, y=-所以2-2y+y2=x(2-)+2+y(2-)=2(x+ L2x+3y=13 x+y=1, 解得=2把=2，y=3代人0，得：=5. y)-2y+2=2+2+2=6. [y=3. 3.BC对于A,关于x的方程x+↓=C+的解是x=c或x= 所以原方程组的解集为(2,3,5)} (2)①-②，得x+2y=11. ④ 之(c≠0)，放A说法不正确：对于B,方程组+=6， 的 (z+z=23 ①+③，得5x+2y=9. ⑤ 正整数解有2组， ④与⑤组成方程组任+2y=11, l5x+2y=9. 方程组厂y+=63,① lxz+1z=23,② 「x=-2 因为xy、z是正整数，所以x+y≥2，又因为23只能分解为23 解得 ×1,方程②即为(x+y)z=23,所以只能是z=1,x+y=23,将 23 「xy+y=63,③ z=1代入原方程组可得 x=2, 2代入②，得z=-2头 x+yr=23,④解得 或 y=21 把x=- 2, 4 41 「x=20 '所以这个方程组的正整数解是(2,21,1)、(20,3,1)， 所以原方程组的解集为(-之，孕，斗】} y=3. 10.将①代人②，整理得2x2+(2k-4)x+1=0, ③ 放B说法正确：对于C,关于K,y的方程组+3y4-0·其 Ix-y=3a, (1)当&=0时，-4x+1=0,解得x=子 中-3≤a≤1，解得=1+2a, .x+y=2+a,当a=1时，x+ [y=1-a, 方程组的解为 x=4 y=3,故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，故C说法 y=2, 「x= 当×0， 4 正确；对于D,解方程组 y-2x=2, 得 时，原方程组有一 (2x+y=3 点（）在 5 1△=(2k-4)2-4k2=-16(k-1)=0 y=2 个实数解，解得k=1. 第一象限，故D说法不正确.故选BC 当k=1时，方程组为 y=x+2①， 4.-8因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为 y2-4x-2y+1=0②， ①3x-y=5, 「4ax+5by=-22, ③为x2-2x+1=0,解得x=1, 2x+3y=-4;【ax-by=8. -180 a,b>0,.p2>Q 解方程组①，得 「x=1, y=-2. .P>Q. r4a-10b=-22 代人方程组②，得 知识点2：l.(1)a+c>b+c(2)ac>bc(3)ac<bc la+2b=8. (4)a>c(5)b<a2.(1)a>c-b(2)a+c>b+d(3)ao 解得a=2, >bd(4)a">b"(5)/a>b 1b=3 对应练习 所以(-a)=(-2)3=-8. (1)B(2)C(1)c2≥0，a≥b,.ac2≥bc2. 44,0 (2)A选项：a<b<0,则-a>-b>0,所以a2>b2,故错误；B 3 526已知得告-号② 达项合-台因为公>8e<6<0,所以-。 a 3 x+y+z=102,③ 0,b>0,所以台<号，放错误：C选项：a<6<0,同乘6得ab 0得y >,故正确；D选项：若c=0,则ac2=bc2,故错误 知识点3：已知条件结论出发逐步寻求否定 由2得5“4，同 对应练习 把④⑤代人③并化简，得12x-6=306, :1.(1)×(2)V(3)V(4)× 解得x=26. 2.a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0用分析法证明 6.(1)设A,B两种型号台灯每台分别x,y元，依题意可得 ≥山的步骤为要证珍≥b成立，只需证。+会 a2+62 r2x+6y=610, l6x+2y=470 解得下50， 2ab,也就是证a2+b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a- Ly=85 b)≥0显然成立，所以原不等式成立 所以A,B两种型号台灯每台分别50元，85元 关键能力攻重难 (2)设能采购B型台灯a台，依题意可得50(30-a)+85a≤ 例1：因为a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(63-ab2)=a2(a 2200,解得a≤20. -b)+2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 所以最多能采购B型台灯20台. 当a=b时，a-b=0,a3+b=a2b+ab2: C组创新拓展 当a≠b时，(a-b)2>0,由已知得a+b>0,所以a3+b> 3 根据规定，得 =3x-2y=1, ab+ab". 2 x 综上所述，a3+b≥a2b+ab2 =5x+3z=8, 对点训练1：因为(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x -35 -2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 r3x-2y=1,① z=3y-6z=-3,所以5x+3z=8,② =x-1-+1=x-1[(-)+] 3y-6z=-3,③ ②×2+③，得10x+3y=13.④ 又因为(x-+>0-1<0 3x-2y=1, 将①与④组成二元一次方程组 所以(x-1[(x-)广+4]<0，所以2-1<2-2x 10x+3y=13. 例2：(1)BC(2)C(1)取a=-2,b=-1,则a<b<0,但是 解这个方程组，得：=1 ly=1. 宁>-1=方A错误：因为a<6,6<0.所以山> a 把y=1代入③，得z=1, b2,B正确；因为a<b,c2+1>0,所以a(c2+1)<b(c2+ 所以原方程组的解集为(1,1,1)}. 1),C正确；取a=-2,b=-1,c=0,则a<b<0,但是 2.2不等式 a|cl=blcl,D错误 (2)2<a<3,-2<b<-1, 2.2.1不等式及其性质 故4<2a<6,1<-b<2,得5<2a-b<8. 对点训练2：(1)A(2)C(1)因为a>b>0,-c>-d>0,所以 必备知识探新知 -ac>-bd,所以ac<bd,故A正确，B错误； 知识点1：1.不等号2.a<ba=ba>b 对应练习 当a=2,6=1,c=-2d=-1时，音=名=-1，放C,D (1)D(2)C(1):s-t=a+62+4-(a+4b)=2-4b+4 错误。 =(b-2)2≥0，t≤3. (2)设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得 A+B=4,解 (2)p2=(a+b)2=a+b+2ab,Q2=(a+b)2=a+b. A-B=2, —181