精品解析：北京市景山学校2026-2027学年高二上学期开学数学试题

景山学校2026~2027学年度第一学期开学 高二数学 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解带绝对值的不等式化简集合再求即可. 【详解】或，， 所以或. 故选：D 2. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 3. 已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 4. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 5. 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法可得. 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可. 【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男）， 所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为. 故选：D 7. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，根据题意，得到，求得，求得函数的单调性与最值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由， 因为，其中， 若时，，其中， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以， 又由，且，即不恒成立， 所以C正确，A不正确； 若时，，其中， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以不恒成立， 又由，，此时，所以不恒成立， 所以B、D均不正确. 故选：C. 8. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：） A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知视力值求出的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值. 【详解】已知当，时，代入，解得. 小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解； 因为题中参考数据已知，； 所以. 所以. 故选：. 9. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，，画出图象即可． 【详解】解：， ①当时，其图象如下： 函数的图象与直线的公共点只有1个，不符合题意． ②当时，其图象如下： 函数的图象与直线的公共点不少于两个时，， 解得 ③当时，其图象如下： 结合图象，不符合题意． 综上所述：实数的取值范围是：． 故选：B． 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式，直接求解即可. 【详解】根据题意，，，故. 故答案为：. 12. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 【答案】 ①. 0，1； ②. . 【解析】 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【解析】 【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 15. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 16. 设函数（且）．给出下列四个结论： ①当时，存在，方程有唯一解； ②当时，存在，方程有三个解； ③对任意实数（且），的值域为； ④存在实数，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案. 【详解】当时，可得函数图象如下： 由；，，结合图象： 当时，函数单调递减，且； 当，函数单调递增，. 所以当时，方程有唯一解.故①正确； 当时，函数图象如下： 由；由图象可知， 当时，函数单调递减，； 当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递增，. 因为，因为，所以，即. 所以，当时，方程有三个解.故②正确； 如图： 由，再由， 此时在上单调递减，在上单调递增，且， 所以此时函数的值域不是.故③错误； 由①可得，当时，函数在上单调递增. 即：存在实数，使得在区间上单调递增.故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式，即可得集合，将代入不等式，即可得集合，最后根据补集、交集的定义计算即可； （2）根据得关于的不等式在上恒成立，利用判别式列不等式，求解即可； （3）根据，且，可得，则使得不等式成立，即可解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 由，解得，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 故的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，又因为， 所以，所以，解得， 故的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明：令， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造，求导可得，分析的符号可得的单调性，从而可证明； （2）当时，由（1）知，满足题意. 令，求导，分与讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由（1）知，满足题意. 令，则. 当时，若，， 则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数， 所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. 19. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： （1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； （2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可； （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可； （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【小问1详解】 设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． 【小问2详解】 B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. 【小问3详解】 ． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的极值点个数； （3）若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）利用三阶导数研究函数的单调性可知当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减（），结合极值点的概念即可求解； （3）由（2）知，当时，若，则，不符合题意；当时，可知，证得在上为上凸函数，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 令，则， 令，则， 又当时，，， 所以，函数在上单调递增，所以， 即，所以函数在上单调递减，且， 当即时，，即， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当即时，， 存在使得，即， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点. 综上，当时，在上无极值点；当时，在上有1个极大值点. 【小问3详解】 由，且，知， 由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 且，所以. 若，则，不符合题意； 当时，在上单调递增， 满足的情况； 由（2）知，， ，设， 则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上为上凸函数， 则，均有， 所以. 21. 已知非空集合，如果存在(且)，使得，则称集合具有性质. （1）分别判断下列集合是否具有性质并说明理由； ①； ②. （2）设m是正整数且，集合，求证：A具有性质； （3）求最小的正整数n，使得对于任意满足且的两个集合和，其中至少有一个集合具有性质. 【答案】（1）①具有性质，②不具有性质；（2）证明见解析；（3）105. 【解析】 【分析】（1）按照定义判断是否存在，使得成立即可； （2）结合题意，只需集合中的最小两数之和小于等于集合中最大的元素即可； （3）根据题意时，集合和至少有一个集合具有性质，即得最小的正整数n. 【详解】解：（1）依题意，如果存在，使得，则称集合A具有性质. ①集合中，，故该集合具有性质； ②集合中，最小数字之和，大于集合中的最大数字9，故不存在，使得，即该集合不具有性质； （2）假设集中的元素按照从小到大顺序排列， 要证，m是正整数且，具有性质，即证明，集合始终比集合多出个元素； 故，，依次类推，，则 故该集合具有性质； （3）因为，且，由题可知，集合和的元素个数至少要有10个元素，要使集合和，其中至少有一个集合具有性质，则需要集合和中最小的10个元素之和小于等于即可， 因为 所以将前20个数字均匀分成两组，至少有一组的十个数之和小于等于105， 故最小的正整数n为105. 【点睛】关键点点睛： 本题是集合新定义题，其解题关键在于理解定义的实质，才能运用定义进行判断证明，突破难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景山学校2026~2027学年度第一学期开学 高二数学 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 5. 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：） A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0 9. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知，则________． 12. 函数的定义域为_______． 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________． 14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 15. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 16. 设函数（且）．给出下列四个结论： ①当时，存在，方程有唯一解； ②当时，存在，方程有三个解； ③对任意实数（且），的值域为； ④存在实数，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）求证：当时，； （2）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 19. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： （1）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； （2）从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的极值点个数； （3）若且时，都有成立，直接写出的取值范围． 21. 已知非空集合，如果存在(且)，使得，则称集合具有性质. （1）分别判断下列集合是否具有性质并说明理由； ①； ②. （2）设m是正整数且，集合，求证：A具有性质； （3）求最小的正整数n，使得对于任意满足且的两个集合和，其中至少有一个集合具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $