2026年高二数学秋季开学学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修二】

**基本信息** 2026年高二开学学情自测卷聚焦人教A版必修第二册，以复数、向量、统计、立体几何等为核心，通过环保志愿者统计、正方体动点等问题设计，考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数共轭、向量共线、统计百分位数等|基础概念辨析，如向量命题判断| |填空题|5/25|异面直线所成角、斜二测画法、正三棱柱体积等|空间几何与概率结合，如正方体动点多结论判断| |解答题|6/85|四棱锥体积与线面平行、环保志愿者统计分析、解三角形与角平分线等|综合性强，如统计题结合环保情境，立体几何存在性问题考查推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 3．下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（    ） A． B． C． D． 4．在钝角中，若，，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与互斥 D． 7．已知非零向量，，满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，，若与相互独立，则___________． 12．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 13．如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 14．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 15．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是 ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 17．（13分）已知向量． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 18．（14分）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． (1)估计这组数据的中位数； (2)求这100名志愿者中，年龄在内的人数； (3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 19．（15分）在中，． (1)求； (2)若，的平分线与交于点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 21．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且. (1)当时， （ⅰ）求角； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，且，，求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.复数(1+i)(2-i)的共轭复数为() A.3+i B.3-i C.-3+i D.-3-i 2.下列命题正确的是() A.a月bl,ab,则a= B.0没有方向 C.若a/b,b/l,则a/1e D.若a=b,则a/仍 3.下表为某地区2020-2025年的生产总值(GDP)”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的） 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 生产总值(GDP)/万亿元 2.780 3.070 3.240 3.730 3.870 由于不小心，该地区的2023年生产总值(GDP)数据被污染了，但知道表中数据的第60百分位数与第75百 分位数之和为7.190，则该地区的2023年生产总值(GDP)为() A.3.680 B.3.460 C.3.705 D.3.550 4在钝角1BC中，若c=5a,4-名则合（) A月 B.1 c D.2 5.已知a,b是不共线的向量，且AB=a+2,BC=-5a+6i,CD=7a-2b,则() A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回地依次随机取出两个球. 事件A=“第一次取出的球的数字是1”，事件B=“第二次取出的球的数字是2”，事件C=“两次取出的球的 1/7 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数字之和是4”，则() A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.B与C互斥 D.pc) 7.己知非零向量ā，，c满足a+万+=0，则“(a-1c”是“同=的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.满足4-子BC-6,AC-k的△ABC恰有两解，则实数女的取值范国是() A.（23,6 B.(6,43) c.(2W5,45) D.(0,6) 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E是AB的中点，F是BC1上的动点，则EF+FC的最 小值为() D B A.22 B.V5+√2 C.V5+22 D.10 10.在aiBc中，4B=4c=5,m日-}0是a4BC的内心，若OF-o丽+0c,其中ye0则。 则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为() A.15V6 B.16 c. D.3W万 8 3 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分 11.已知P(A)=0.6,P(B)=0.9,若A与B相互独立，则P(AUB)= 12.在长方体ABCD-EFGH中，AB=2√3，AD=2,则异面直线AB和EG所成角的大小是 13.如图，△AB'C'是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中OA=OB=OC=1,则△ABC的面积为 B C 14.如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器ABC-4BG,其中盛有一定体积的水.若侧 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面AAB,B水平放置时，水面恰好经过D点，且CA=4CD,那么当底面ABC水平放置时，水面高为 D B 15.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P是线段B,C上一动点，则下列说法正确的是 D B D B ①.DP//平面ABD ②.当P为线段BC的中点时，直线AP与直线DC所成角的正切值为√2 ③.随着PB,的长度变长，直线D,P与平面BCCB所成角先变大再变小 ④.DP⊥AC 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/BC,∠BAD=90°，AD=2BC, PA=AD=AB=2,E为PD的中点. (1)求棱锥P-ABCD的体积： (2)求证：EC∥平面PAB. 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(13分)己知向量a=(←1,2)，b=(4,m). ()若a1/B,求的值： (2)若a1(2a+b,求向量a与的夹角的余弦值. 18.(14分)“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心.为增强居民的环境 保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：[20,25)， [25,30),[30,35),[35,40),[40,45],整理得到如下频率分布直方图. 颊率 组距 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01 0202530354045年龄（岁） (①)估计这组数据的中位数： (2)求这100名志愿者中，年龄在[35,45]内的人数： (3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参 加该活动且年龄在[35,45]内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2 名志愿者中至少有1名年龄在[40,45]内的概率. 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(15分)在△ABC中，2 acos B=2c-√3b. (1)求A; (2)若c=2√3，∠ABC的平分线与AC交于点D,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为 已知，使得△ABC存在且唯一，求BD的长。 条件O:aABC的面积为35， 2 条件②：b=√3a: 条件③：sinC=2cosB 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AB=2,AD=2√3， 点E在线段PD上，且PE=1. E ,‘A B C (1)设平面PBCO平面PAD=m,证明：BC/I; (2)证明：AE⊥平面PCD: (3)线段CA上是否存在点M,使得EM/平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长：若不存在，请说明 理由. 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点P为△4BC内的一点，且∠APB=∠BPC=2亚 (1)当a cos C+V3 asin C-b-c=0时， (i)求角A; (i)若PA.PB+PB.PC+PC.PA=-1,a=2,求b+c的值： (2②)若AB.AC=0,且P⑧=4PAG∈R),PC=tPA6∈R),求5+5的最小值. 7/7 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则复数的共轭复数为． 2．下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A：因为，则的方向可能相反， 所以不一定相等，故A错误； 对于选项B：的方向是任意的，故B错误； 对于选项C：若，对任意向量，均有， 此时不一定共线，故C错误； 对于选项D：若，则； 若，则的方向相同，可得； 综上所述：若，则，故D正确. 3．下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该地区的年生产总值为，数据升序排列为： ， ，向上取整为4，则第百分位数为第4个数据，即为， ，向上取整为5，则第百分位数为第5个数据，即为， ，解得． 4．在钝角中，若，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由正弦定理，可得， 因，则或， 又因为钝角三角形，（否则不合题意），即， 故，由可得. 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与互斥 D． 【答案】C 【详解】样本空间，共包含12个等可能的基本事件. 事件包含的样本点为，共3个，故. 事件包含的样本点为，共3个，故. 事件包含的样本点为，共1个，故，因，故与不相互独立，A错误. 事件包含的样本点为，共2个，故，D错误. 事件包含的样本点为，共1个，故，因为，故与不相互独立，B错误. 事件与没有公共样本点，即，故与互斥，C正确. 7．已知非零向量，，满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，所以，所以； 当时，， 所以. 所以“”是“”的充分必要条件. 8．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数的确定方法，确定当有两个解时，需满足，由此得到的范围. 【详解】若三角形有两个解，则，即， 所以的取值范围是. 9．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解. 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 10．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解. 【详解】由， x，， 根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.    在中，设内角所对的边分别为， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设的内切圆半径为，则，解得， 所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，，若与相互独立，则___________． 【答案】0.96 【详解】由于，，且与相互独立， 故， 故． 12．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】/ 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 13．如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 【答案】 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以△ABC的面积为. 14．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 【答案】 【详解】设底面正三角形的边长为，其面积为 当侧面水平放置时，水面与交于，与交于，由水面平行于侧面得，故， 由得相似比，因此 水的横截面积为梯形ABED的面积： 正三棱柱侧棱长为，故水的体积为 当底面ABC水平放置时，设水面高度为，水形成底面积为、高为的正三棱柱，因此 代入得 15．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是 ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 【答案】①③④ 【分析】利用正方体性质证面面平行判断线面平行，判断①选项，平移直线找异面直线所成角求正切值判断②选项，找出线面角分析变化及利用体对角线性质判断线线垂直，从而判断③④选项. 【详解】在①选项中，连接、，交点为， 连接、，交点为，连接、、， 因为正方体中，、，， ，所以平面平面， 因为平面，所以平面，①正确， 在②选项中，当为线段的中点时，取中点，连接、， 因为，所以就是直线与直线所成角， 设正方体棱长为，则，，， ，在中，，②错误， 在③选项中，因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小， ③正确， 在④选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，④正确. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 【详解】（1）由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. （2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点，    所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面. 17．（13分）已知向量． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，然后由向量的模计算公式可得答案； （2）由向量加减法坐标运算结合向量垂直坐标表示可得，然后由向量夹角坐标计算公式可得答案. 【详解】（1）因，， 则， 从而； （2），因， 则，从而. 则向量与的夹角的余弦值为 . 18．（14分）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． (1)估计这组数据的中位数； (2)求这100名志愿者中，年龄在内的人数； (3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 【答案】(1) (2) 30 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图以及中位数的概念求解即可. （2）根据频率以及总人数求解即可. （3）先根据抽样比求得所抽取的志愿者在各小组的分配人数，分别用字母表示每位被抽取的志愿者，写出样本空间和所求事件包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图，年龄低于30岁的频率为， 年龄低于35岁的频率为， 假设中位数为t，则t在中，，解得，即中位数约为． （2）年龄在的频率为， 所以年龄在内的人数为人. （3）由题意可知，年龄在内的人数为人； 年龄在内的人数为人， 分层随机抽样的抽样比为， 所以年龄在内抽人，记为a，b，c，d． 年龄在内抽人，记为e，f． 从这6人中选2人的样本空间为 ，共包含30个样本点． 设事件为“至少有1名年龄在内”， 则 ，包含18个样本点， 所以， 即2名环保知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为. 19．（15分）在中，． (1)求； (2)若，的平分线与交于点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①，；选条件③， 【详解】（1）因为，在中，由正弦定理，得． 又因为，所以． 由，得．因为，所以 （2）若选条件①： 因为，，所以． 因为，所以． 在中，由余弦定理，得，解得． 由，得，于是． 因为的平分线为，所以． 在中，由，，解得 若选条件②：在中利用余弦定理可得：， 代入，可得， 从而或，当时，注意到，该三角形存在； 当时，注意到，该三角形存在，则选条件②时，三角形不唯一； 若选条件③： 因为，，所以． 即．即．所以． 又因为，所以，． 因为，所以，． 又因为， 所以在中，由，，解得 20．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 又平面，平面平面， 所以 (2)证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面． (3)存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，． 21．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且. (1)当时， （ⅰ）求角； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，且，，求的最小值. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2). 【分析】（1）（ⅰ）利用正弦定理边化角，消去，结合和差公式和辅助角公式可解； （ⅱ）根据列方程求解可得； （2）利用余弦定理表示出，根据勾股定理得的关系，借助基本不等式即可得解. 【详解】（1）（ⅰ）由正弦定理边化角得， 因为， 所以， 即， 因为，所以， 即，因为， 所以，得； （ⅱ）因为，所以， 记， 则，即， 又，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以. （2）记，则， 在中，由余弦定理得： ，， ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以，整理得， 根据题意，所以， 记，则，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B B C C C B C C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11． 0.96 12．/ 13. 2 14． 15. ①③④(写对1个给3分，写对2个给4分，全对5分） 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【详解】（1）由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积....................6分 （2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点，    所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面....................13分 17．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，， 则， 从而；...................6分 （2），因， 则，从而. 则向量与的夹角的余弦值为 ....................13分 18．（14分） 【答案】(1) (2) 30 (3)， 【详解】（1）由频率分布直方图，年龄低于30岁的频率为， 年龄低于35岁的频率为， 假设中位数为t，则t在中，，解得，即中位数约为．...................3分 （2）年龄在的频率为， 所以年龄在内的人数为人....................6分 （3）由题意可知，年龄在内的人数为人； 年龄在内的人数为人， 分层随机抽样的抽样比为， 所以年龄在内抽人，记为a，b，c，d． 年龄在内抽人，记为e，f． 从这6人中选2人的样本空间为 ，共包含30个样本点． 设事件为“至少有1名年龄在内”， 则 ，包含18个样本点， 所以， 即2名环保知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为....................14分 19．（15分） 【答案】(1) (2)选条件①，；选条件③， 【详解】（1）因为，在中，由正弦定理，得． 又因为，所以． 由，得．因为，所以...................6分 （2）若选条件①： 因为，，所以． 因为，所以． 在中，由余弦定理，得，解得． 由，得，于是． 因为的平分线为，所以． 在中，由，，解得...................15分 若选条件②：在中利用余弦定理可得：， 代入，可得， 从而或，当时，注意到，该三角形存在； 当时，注意到，该三角形存在，则选条件②时，三角形不唯一； 若选条件③： 因为，，所以． 即．即．所以． 又因为，所以，． 因为，所以，． 又因为， 所以在中，由，，解得...................15分 20．（15分） 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 又平面，平面平面， 所以...................4分 (2)证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面．...................9分 (3)存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，．...................15分 21．（15分） 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2). 【详解】（1）（ⅰ）由正弦定理边化角得， 因为， 所以， 即， 因为，所以， 即，因为， 所以，得；...................7分 （ⅱ）因为，所以， 记， 则，即， 又，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以. （2）记，则， 在中，由余弦定理得： ，， ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以，整理得， 根据题意，所以， 记，则，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为....................15分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷01 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题4分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][CD] 10[A][B][C]D] 款 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 之 舒 12. 相 14 15 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数字第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) B 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 频率 组距 0.02 0.01“ 0202530354045年龄（岁） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)单$熊点潍 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 0 & ! (女SI)·0z :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）。。。。。 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 : : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题共40分） : : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1.复数(1+i)(2-i1)的共轭复数为() : A.3+i B.3-i C.-3+i D.-3-i : 2.下列命题正确的是() A.a曰b,a/i,则a=b B.0没有方向 O c.若a/b,bl忙，则a/1e D.若a=b,则a/仍 3 下表为“某地区2020-2025年的生产总值(GDP)”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）. 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 照 生产总值(GDP)/万亿元 2.780 3.070 3.240 3.730 3.870 : : 由于不小心，该地区的2023年生产总值(GDP)数据被污染了，但知道表中数据的第60百分位数与第75 : 百分位数之和为7.190，则该地区的2023年生产总值(GDP)为() A.3.680 B.3.460 C.3.705 D.3.550 4在钝角△4ABC中，若c=V3a,AE石，则2三( a A. B.1 C.2 D.2 : : 5. 己知a,b是不共线的向量，且AB=a+2b,BC=-5a+6i,CD=7a-2b,则() : A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 : 试题第1页（共6页） : : 6学科网·上好课 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回地依次随机取出两个 球事件A=“第一次取出的球的数字是1”，事件B=“第二次取出的球的数字是2”，事件C=“两次取出的球 的数字之和是4”，则() A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.B与C互斥 D.(C)= 7.已知非零向量a,,满足a+b+c=0,则"a-)上"是=凤的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 起A=?,BC=6,AC=k的△4BC恰有两解，则实数k的取值范围是() A.（2W3,6) B.(6,43 c.2W3,43) D.(0,6) 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E是AB的中点，F是BC1上的动点， 则EF+FC的最小值为() D A.2W2 B.5+√2 C.V5+2W2 D.10 10.在aABC中，4B=AC=5,sim8=专0是△1BC的内心，若OP=xOB+oC,其中x,ve[0列， 则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为() A.15V6 6 D.3√7 8 B.3 C. 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知P(A)=0.6,P(B)=0.9,若A与B相互独立，则P(AUB)= 12.在长方体ABCD-EFGH中，AB=2N3,AD=2,则异面直线AB和EG所成角的大小是 13.如图，△AB'C'是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中OA'=OB'=O'C'=1,则△ABC的面积为 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 14.如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器ABC-AB,C1,其中盛有一定体积的水.若 侧面AABB水平放置时，水面恰好经过D点，且CA=4CD,那么当底面ABC水平放置时，水面高为 B 15.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点P是线段B,C上一动点，则下列说法正确的是」 D C B D B ①.DP/I平面ABD ②.当P为线段B,C的中点时，直线AP与直线DC所成角的正切值为√2 ③.随着PB的长度变长，直线DP与平面BCCB,所成角先变大再变小 ④.DP⊥AC 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/BC,∠BAD=90°，AD=2BC, PA=AD=AB=2,E为PD的中点 B (1)求棱锥P-ABCD的体积： 试题第3页（共6页） (2)求证：EC∥平面PAB. 年 张 河 游 17.(13分)已知向量ā=(-1,2)，b=(4,m) ()若a1亿，求的值： (2)若a⊥(2a+b),求向量a与的夹角的余弦值. 习 时 性 试题第4页（共6页） 18.(14分)“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心.为增强居民的环 境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组： [20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],整理得到如下频率分布直方图. 频率 组距 0.07 : 0.06 0.0 0.024 0.01 0202530354045年龄（岁） (1)估计这组数据的中位数： (2)求这100名志愿者中，年龄在[35,45]内的人数： (3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从 参加该活动且年龄在[35,45]内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这 2名志愿者中至少有1名年龄在[40,45]内的概率， 不 O 斟 斟 : .: 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 19.(15分)在△ABC中，2 acos B=2c-V3b. (1)求A: (2)若c=2√5，∠ABC的平分线与AC交于点D,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作 为已知，使得△ABC存在且唯一，求BD的长. 条件①：△ABC的面积为 V3 2 条件②：b=√5a: 条件③：sinC=2cosB 注：如果选择的条件不符合要求，第()问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 试题第6页（共6页） 66学科网·上好课 20.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AB=2,AD=2√3， 点E在线段PD上，且PE=1. (1)设平面PBCO平面PAD=m,证明：BC/m; (2)证明：AE⊥平面PCD; (3)线段CA上是否存在点M,使得EM/平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说 明理由， 试题第7页（共6页） 21.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点P为△ABC内的一点，且 APB=∠BPC= (1)当acos C+V3 asinC-b-c=0时， (i)求角A: (iⅱ)若PAPB+PB.PC+PC.PA=-1,a=2,求b+c的值： 2)若A正AC=0,且PB=4PAG∈R),PC=屯，PA6,∈R),求+t的最小值， 年 张 游 如a子mmf 习 的 性 试题第8页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修第二册 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（   ） A．，则 B．没有方向 C．若，则 D．若，则 3．下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（    ） A． B． C． D． 4．在钝角中，若，，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与互斥 D． 7．已知非零向量，，满足，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知，，若与相互独立，则___________． 12．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 13．如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 14．如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过D点，且，那么当底面水平放置时，水面高为__________． 15．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是 ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 17．（13分）已知向量． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 18．（14分）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． (1)估计这组数据的中位数； (2)求这100名志愿者中，年龄在内的人数； (3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 19．（15分）在中，． (1)求； (2)若，的平分线与交于点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 21．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且. (1)当时， （ⅰ）求角； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，且，，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $