北京市中央民族大学附属中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷，通过细胞分裂速度、志愿服务时长等真实情境及数列逆序变换创新题型，梯度考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高三起点能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|集合、函数性质、概率计算等|基础概念辨析，如第5题充要条件判断| |填空题|6/30|定义域、切线方程、方差比较等|第13题志愿服务组合考查计数原理| |解答题|5/70|统计分布列、函数单调性、数列变换|第18题阅读量数据统计（数据意识），第21题逆序变换证明（创新思维）|

民大附中2026~2027学年度第一学期开学 高三数学试卷 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，则= A． B． C． D． 2．设函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 3．某一批种子的发芽率为．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．记函数的导函数为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 8．一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 9．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．函数的定义域为 . 12．若函数在处的切线与直线平行，则 ． 13．某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示： 岗位 环保宣讲 器材收纳 校史讲解 食堂清扫 图书整理 时长 20分钟 20分钟 25分钟 30分钟 40分钟 每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有 种. 14．函数.若，则的值为 ；若有两个零点，则的取值范围是 . 15．记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则. 其中所有正确结论的序号是 . 16．设，函数给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则. 其中所有正确结论的序号是 . 3、 解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．已知集合，或. （I）若，求的取值范围； （II）若，求的取值范围. 18．某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （I）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （II）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （III）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 19． 已知函数． （I）判断f（x）在区间上的单调性，并加以证明； （II）设，若对恒成立，求a的最小值． 20．已知函数，其中． （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数存在两个不同的极值点，，证明：． 21．已知项数列，满足对任意的有. 变换满足对任意，有，且对有，称数列是数列的一个排列. 对任意，记，，如果是满足的最小正整数，则称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换. （I）已知数列，数列，求，； （II）证明：对于项数列，不存在阶逆序变换； （III）若项数列存在阶逆序变换，求的最小值. 试卷第1页，共3页 2026.8开学考 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A A B B D C 11． 12．0 13．20 14． 15．①②④ 16．①③ 17．（1）由集合，或.， ，解得. 的取值范围是,；    （2），， 或，即或.   的取值范围是,,. 18．（1）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，           所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为． （2）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为；           从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为．           由题设，的可能取值为0，1，2．           且； ； ．           所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望． （3）． 理由：设原女生的8个阅读量分别为， 原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8， 则 所以 19．（1）因为，且，所以，所以在区间上单调递减； （2）因为，所以， 又因为当，时，， 由（1）知在区间上的单调递减， 所以对恒成立， 等价于对恒成立， 等价于对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 令，得， 所以当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以a的最小值为. 20．（1）当时,函数的定义域为，           且．           由，得．           随着的变化，，的变化情况如下： 2 _ 0 + 极小值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意，得，． 由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根， 即方程存在两个不同的正实数根，，           所以，即．           又因为，，，， 所以 ．           令，其中，           由，得在上单调递增， 所以，即 21．（1）由于，，故，，，. 所以，即. 所以，即. 所以，即. 故，. （2）对，设有个不同的点，若，则在之间画一个箭头. 则每个点恰好发出一个箭头，也恰被一个箭头指向，这些箭头将形成若干互不相交的圈. 若各项互不相同的数列存在阶逆序变换，则对，经过三次变换后得到. 这意味着和必然位于一个长度为的圈中. 从而，如果是偶数，则必定有，故每个点都位于一个长度为的圈中，所以是的倍数； 如果是奇数，则除以外的点都位于一个长度为的圈中，若单独作为一个圈，则是的倍数，若位于包含其它点的圈中，则是的倍数. 但是奇数，故只可能是：单独作为一个圈，是的倍数. 综上，若各项互不相同的数列存在阶逆序变换，则和中必有一个是的倍数. 由于不满足该条件，故对于项数列，不存在阶逆序变换； （3）若项数列存在阶逆序变换，根据（2）的结果，和中必有一个是的倍数. 而，故. 而当时，对各项互不相同的数列，构造变换，满足 ，，，，，. 则，，. 所以是数列的阶逆序变换. 综上，的最小值为. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $