考点08 相似多边形与位似多边形（3考点+6题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”逻辑链构建相似与位似多边形知识体系，提炼“双条件判定”“比例转化”等解题模型，适配中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相似多边形|定义+3性质+2误区|概念判断双条件锁死（对应角等+对应边成比例）；周长比=相似比，面积比=相似比平方|从定义到性质（基础→周长→面积→对角线），通过反例（矩形、菱形）突破易错点| |位似多边形|定义+3性质+坐标规律|原点位似坐标公式（k正负定位置）；非原点位似用距离比=位似比|位似作为特殊相似，强调“位似中心”“对应边平行”特征，结合坐标系实现数形转化| |综合应用|6题型+多变式|矩形相似双解分类（同向/交叉对应）；位似作图三步骤（定点-连线-截距）|通过对比表明确相似与位似从属关系，题型覆盖选择、填空、解答，适配中考分层考查|

考点08 相似多边形与位似多边形 考点一：相似多边形 1. 定义 边数相同的两个多边形，若对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似。 记作：多边形 重要注意：书写相似符号时，必须严格按照顶点对应顺序书写，顺序错乱直接判定错误。 2. 相似比（相似系数） 相似多边形对应边的比值，称为相似比，用字母表示。 相似比具有顺序性：若多边形，相似比为；则多边形，相似比为，二者不可等同。 3. 核心性质（必考） 设两个相似多边形的相似比为，则满足以下规律： 基础性质：对应角相等，对应边成比例； 周长性质：周长之比 = 相似比 ； 面积性质：面积之比 = 相似比的平方 （最核心、最易扣分考点）； 对角线性质：对应对角线之比 = 相似比 。 4. 高频易错概念辨析 ❌ 误区1：四个角相等的多边形一定相似（反例：任意两个矩形，四角均为90°，但长宽比例不同则不相似） ❌ 误区2：四条边成比例的多边形一定相似（反例：任意两个菱形，边长比例相同，但内角不同则不相似） ✅ 正确结论：所有正n边形（正三角形、正方形、正五边形等）全部相似；全等多边形是相似比的特殊相似多边形。 考点二：位似多边形 1. 定义 两个多边形不仅相似，且每组对应顶点的连线相交于同一个定点，对应边互相平行或在同一直线上，这样的两个多边形叫做位似多边形。定点称为位似中心，此时的相似比也叫做位似比。 2. 三大核心性质 逻辑关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形（核心考点）； 连线特征：所有对应顶点的连线交于唯一的位似中心； 距离特征：任意一组对应点到位似中心的距离之比 = 位似比。 3. 平面直角坐标系位似规律（期末压轴热点） 适用条件：位似中心为坐标原点，位似比为 若原坐标点为，则其位似对应点坐标为： ：图形整体放大； ：图形整体缩小； ：对应点与原点点在原点同侧，图形同向； ：对应点与原点点在原点异侧，图形中心对称。 关键提醒：该坐标公式仅适用于原点为位似中心，位似中心为任意点时，不可直接套用，需通过相似计算求解。 4. 位似中心的三种位置 ① 两个图形外侧；② 两个图形之间；③ 图形内部或图形边上。 考点三：相似多边形与位似多边形对比总结 核心特征 相似多边形 位似多边形 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 对应顶点连线 无特殊要求 交于同一位似中心 对应边位置 无平行要求 互相平行或共线 从属关系 通用大范围概念 特殊的相似图形 题型一：概念判断题 核心解题逻辑：多边形相似双条件锁死，必须同时满足对应角相等+对应边成比例，缺一绝对不相似。 秒杀口诀： 有角无边不相似（矩形、正方形陷阱），有边无角不相似（菱形陷阱）； 正多边形全相似，位似一定似，相似不一定位似。 看到“一定相似”“全部相似”判断题，优先举反例（矩形、菱形是高频反例），无需复杂推导。 【典例1】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 【答案】D 【详解】解：A．两边之比为，但对应角不一定相等，故不一定相似． B．底角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似． C．有一个角是30度，但该角可能是顶角或底角，导致角不全对应相等，故不一定相似． D．∵两个直角三角形有一个角相等，且直角都等于， ∴两个三角形的三个角对应相等，∴两个直角三角形相似．为真命题， 故选D． 【变式1-2】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 题型二：周长、面积计算题 针对所有相似多边形、位似图形通用（位似图形本质为相似图形，完全适配）： 设相似比（位似比） 1. 周长比 = 对应边比 = （一次方） 2. 面积比 = 对应边比的平方 = （二次方） 考场固定解题步骤： ① 先找题干已知：相似比/边长比/周长比/面积比； ② 分清已知和所求，周长直接比，面积开平方； ③ 严格注意相似比顺序，前小后大、前后对应，杜绝比值颠倒。 高频逆向技巧：已知面积比求周长比，直接开算术平方根；已知周长比求面积比，直接平方。 【典例2-1】如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴与的位似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为． 【典例2-2】如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，， ∴， ∵的面积为m， ∴． 故选：C． 【变式2-1】已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴两个相似多边形的面积比为， ∵两个相似多边形的面积和为， ∴较小多边形的面积是． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 【变式2-3】如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 【变式2-4】（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【详解】【探究】证明：连接，如图所示： ∵四边形 与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 运用： 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 题型三：坐标系位似变换 1. 原点位似（直接秒杀）：点，位似比，得 符号规则：正同侧、负异侧，绝对值管放大缩小。 2. 非原点位似（通用解法）： 不能套公式！利用「对应点到位似中心距离之比=位似比」，通过线段比例、坐标平移分步计算。 绝对不漏解技巧：题干无说明位似位置，必写两组坐标（同侧+异侧），期末考试必考双解。 【典例3】如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为_________．    【答案】 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，点P为位似中心， ，，，， 矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形 即 故位似中心P的坐标为． 故选B． 【变式3-2】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【变式3-3】如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 题型四：位似线段计算 所有位似线段、对应点距离计算，固定等式：（位似比） 关键思维：位似只改变线段长度，不改变角度、图形形状，所有对应线段比例统一，无需单独计算边长。 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式4-2】（2026·上海金山·一模）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 题型五：矩形/长方形相似 矩形、长方形无固定横竖对应关系，默认双解，必须分类讨论： ① 长∶长 = 宽∶宽（同向对应） ② 长∶宽 = 宽∶长（交叉对应） 题干未规定对应边时，严禁默认一种情况，这是期末压轴高频丢分点。 【典例5】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； (2)矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【变式5-1】如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 【变式5-2】综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 题型六：位似作图 1. 作图核心：定点（位似中心）→连线→截距→顺次连接； 2. 题干无指定位似中心位置，优先选图形外侧，作图更工整、不易出错； 3. 放大缩小严格按位似比截取线段，保证所有对应边比例一致。 【典例6-1】在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)，， 【典例6-2】在如图的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与的位似比为的． (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． 【详解】（1）解：如图所示，点为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：∵与的位似比为，，， ∴，， 故答案为：，． 【变式6-1】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 【变式6-3】已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： (3)根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 【详解】（1）解：如图：即为所求， 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：如图：即为所画，点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（   ） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 【答案】C 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）下列各组图形一定相似的是（   ） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．平行四边形都相似 D．矩形都相似． 【答案】B 【详解】解：、等腰三角形不一定相似，原选项不符合题意； 、等边三角形一定相似，原选项符合题意； 、平行四边形不一定相似，原选项不符合题意； 、矩形不一定相似，原选项不符合题意； 故选：． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 5．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，故①正确； 如图：    直线截的延长线于D、E， 由题意得：，即， 但与不平行，故②错误； 若是直角三角形，有一边及这边上的高对应成比例，则两个三角形相似；一般的三角形不一定，故③错误； 两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行，故④正确； 邻边相等的矩形是正方形，一定相似，故⑤正确； 故选：C． 二、填空题 6．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【答案】 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____． 【答案】2 【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点 ∴OA=4，OC=2 ∴与的位似比为：4：2=2：1 ∴与周长的比值为：2：1 故答案为：2． 8．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段检测）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为_______．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 9．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． （3）解：∵，， ∴． 同理可求：，， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等； ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ③两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，假，真； (2)证明：∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 相似多边形与位似多边形 考点一：相似多边形 1. 定义 边数相同的两个多边形，若对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似。 记作：多边形 重要注意：书写相似符号时，必须严格按照顶点对应顺序书写，顺序错乱直接判定错误。 2. 相似比（相似系数） 相似多边形对应边的比值，称为相似比，用字母表示。 相似比具有顺序性：若多边形，相似比为；则多边形，相似比为，二者不可等同。 3. 核心性质（必考） 设两个相似多边形的相似比为，则满足以下规律： 基础性质：对应角相等，对应边成比例； 周长性质：周长之比 = 相似比 ； 面积性质：面积之比 = 相似比的平方 （最核心、最易扣分考点）； 对角线性质：对应对角线之比 = 相似比 。 4. 高频易错概念辨析 ❌ 误区1：四个角相等的多边形一定相似（反例：任意两个矩形，四角均为90°，但长宽比例不同则不相似） ❌ 误区2：四条边成比例的多边形一定相似（反例：任意两个菱形，边长比例相同，但内角不同则不相似） ✅ 正确结论：所有正n边形（正三角形、正方形、正五边形等）全部相似；全等多边形是相似比的特殊相似多边形。 考点二：位似多边形 1. 定义 两个多边形不仅相似，且每组对应顶点的连线相交于同一个定点，对应边互相平行或在同一直线上，这样的两个多边形叫做位似多边形。定点称为位似中心，此时的相似比也叫做位似比。 2. 三大核心性质 逻辑关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形（核心考点）； 连线特征：所有对应顶点的连线交于唯一的位似中心； 距离特征：任意一组对应点到位似中心的距离之比 = 位似比。 3. 平面直角坐标系位似规律（期末压轴热点） 适用条件：位似中心为坐标原点，位似比为 若原坐标点为，则其位似对应点坐标为： ：图形整体放大； ：图形整体缩小； ：对应点与原点点在原点同侧，图形同向； ：对应点与原点点在原点异侧，图形中心对称。 关键提醒：该坐标公式仅适用于原点为位似中心，位似中心为任意点时，不可直接套用，需通过相似计算求解。 4. 位似中心的三种位置 ① 两个图形外侧；② 两个图形之间；③ 图形内部或图形边上。 考点三：相似多边形与位似多边形对比总结 核心特征 相似多边形 位似多边形 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 对应顶点连线 无特殊要求 交于同一位似中心 对应边位置 无平行要求 互相平行或共线 从属关系 通用大范围概念 特殊的相似图形 题型一：概念判断题 核心解题逻辑：多边形相似双条件锁死，必须同时满足对应角相等+对应边成比例，缺一绝对不相似。 秒杀口诀： 有角无边不相似（矩形、正方形陷阱），有边无角不相似（菱形陷阱）； 正多边形全相似，位似一定似，相似不一定位似。 看到“一定相似”“全部相似”判断题，优先举反例（矩形、菱形是高频反例），无需复杂推导。 【典例1】（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．两边之比为的两个等腰三角形相似 B．底角相等的两个等腰梯形相似 C．有一个角是30度的两个等腰三角形相似 D．有一个角相等的两个直角三角形相似 【变式1-2】（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式1-3】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 题型二：周长、面积计算题 针对所有相似多边形、位似图形通用（位似图形本质为相似图形，完全适配）： 设相似比（位似比） 1. 周长比 = 对应边比 = （一次方） 2. 面积比 = 对应边比的平方 = （二次方） 考场固定解题步骤： ① 先找题干已知：相似比/边长比/周长比/面积比； ② 分清已知和所求，周长直接比，面积开平方； ③ 严格注意相似比顺序，前小后大、前后对应，杜绝比值颠倒。 高频逆向技巧：已知面积比求周长比，直接开算术平方根；已知周长比求面积比，直接平方。 【典例2-1】如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【典例2-2】如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【变式2-3】如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【变式2-4】（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 与四边形相似， 题型三：坐标系位似变换 1. 原点位似（直接秒杀）：点，位似比，得 符号规则：正同侧、负异侧，绝对值管放大缩小。 2. 非原点位似（通用解法）： 不能套公式！利用「对应点到位似中心距离之比=位似比」，通过线段比例、坐标平移分步计算。 绝对不漏解技巧：题干无说明位似位置，必写两组坐标（同侧+异侧），期末考试必考双解。 【典例3】如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为_________．    【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【变式3-3】如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 题型四：位似线段计算 所有位似线段、对应点距离计算，固定等式：（位似比） 关键思维：位似只改变线段长度，不改变角度、图形形状，所有对应线段比例统一，无需单独计算边长。 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【变式4-1】如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【变式4-2】（2026·上海金山·一模）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【变式4-3】如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 题型五：矩形/长方形相似 矩形、长方形无固定横竖对应关系，默认双解，必须分类讨论： ① 长∶长 = 宽∶宽（同向对应） ② 长∶宽 = 宽∶长（交叉对应） 题干未规定对应边时，严禁默认一种情况，这是期末压轴高频丢分点。 【典例5】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【变式5-1】如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【变式5-2】综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【变式5-3】形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4） 将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 题型六：位似作图 1. 作图核心：定点（位似中心）→连线→截距→顺次连接； 2. 题干无指定位似中心位置，优先选图形外侧，作图更工整、不易出错； 3. 放大缩小严格按位似比截取线段，保证所有对应边比例一致。 【典例6-1】在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【典例6-2】在如图的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与的位似比为的． (3)分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________． 【变式6-1】如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【变式6-3】已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： (3)根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（   ） A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度 3．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）下列各组图形一定相似的是（   ） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．平行四边形都相似 D．矩形都相似． 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海虹口·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①相似三角形的周长比等于相似比； ②如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边； ③有一边及这边上的高对应成比例的两个三角形相似； ④两条直线被三条直线所截，若截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行； ⑤邻边相等的两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（2025·上海静安·一模）我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 7.如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____． 8．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段检测）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为_______．    9．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 三、解答题 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $