第23章 解直角三角形 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

∵ BF⊥DE, ∴ ∠GFD=90°. ∴ ∠BCD=∠GFD. ∵ ∠BGC=∠DGF, ∴ △BGC∽△DGF. ∴ BG DG= BC DF. ∴ DG·BC=DF·BG. ∵ AB=BC, ∴ DG·AB=DF·BG. (2) ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ BC=DC. 由(1),知△BGC∽△DGF, ∴ ∠CBG=∠FDG. 在△BGC和△DEC中, ∠CBG=∠CDE, BC=DC, ∠BCG=∠DCE=90°, ∴ △BGC≌△DEC. ∴ CG=CE. ∵ G 是CD 的中点, ∴ CG=DG. ∴ CE=DG. ∴ GF CE= GF DG. ∵ △DGF∽△BGC, ∴ GF GC= DG BG ,即GF DG= CG BG. ∴ GF CE= CG BG. 在Rt△BGC中,设CG=x(x>0),则 BC=2x, ∴ 易得BG=5x. ∴ CG BG= 5 5. ∴ GF CE= 5 5. (3) 如图,连接BD. 由(1),知△BGC∽△DGF, ∴ BG DG= CG FG. ∴ BG CG= DG FG. 又∵ ∠BGD=∠CGF, ∴ △BGD∽△CGF. ∴ ∠BDG=∠CFG. ∵ 四边形ABCD 是正方形,BD 是对 角线, ∴ ∠BDG=12∠ADC=45°. ∴ ∠CFG=45°,即∠CFB=45°. (第22题) 23. (1) 11.3. (2) 由 反 射 定 律,易 得 ∠DCE= ∠ACB. 又∵ ∠DEC=90°=∠ABC, ∴ △DEC∽△ABC. ∴ DE AB= CE BC ,即1.5 AB= 2 16 ,解得AB= 12m. ∴ 旗杆高度为12m. (3) ∵ ∠CDG=∠ADB,∠CGD= 90°=∠ABD, ∴ △DCG∽△DAB. ∴ CG AB= DG DB. 设AB=xm,BD=ym,则 1.8 x = 1.5 y . ∴ y= 5 6x. 同理,可得C'G' AB = D'G' D'B . ∴ 1.2 x = 2 24+y. ∴ 1.2 x = 2 24+56x ,解得x=28.8. 经检验,x=28.8是原方程的解. ∴ AB≈29m. ∴ 雕塑高度AB 约为29m. 第23章拔尖测评 一、 1. B 2. A 3. C 4. C 5. D 解析:∵ cosα=sin(90°-α), sinα>cosα,∴ sinα>sin(90°-α). ∴ α>90°-α.∴ α>45°.又∵ α为锐 角,∴ 45°<α<90°.故选D. 6. D 解析:过点C 作CD⊥AB 于 点D.在Rt△BCD 中,∠BCD=35°, BC=50米,∴ BD=BC·sin35°= 50sin35°(米),CD=BC·cos35°= 50cos35°(米).在 Rt△ADC 中, ∠ACD=45°,∴ AD=CD·tan45°= CD=50cos35°(米).∴ AB=AD+ BD = 50cos35°+ 50sin 35°= 50(cos35°+sin35°)米.故选D. 7. B 解析:如图,过点A 作AE⊥ CD,交CD 于点E,则四边形ABDE 是矩形.∴ DE=AB=10米,AE= BD.在Rt△BCD 中,BD= CDtan60°= 3 3CD. 在 Rt△ACE 中,AE = CE tan30°= 3CE.∵ CE=CD-DE, ∴ AE= 3(CD-DE)= 3(CD- 10).∴ 3(CD -10)= 33CD. ∴ CD=15米.故选B. (第7题) 8. C 解析:∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AB=CD,∠B=∠C=∠D= 90°.由 折 叠 的 性 质,得 ∠AFE = ∠D=90°,EF=ED,AF=AD.∵ 在 Rt△ECF 中,tan∠CEF=CFCE= 4 3 , ∴ 设CE=3kcm(k>0),则CF= 4kcm.由勾股定理,得 DE=EF= CE2+CF2 =5kcm.∴ AB = DC=8kcm.∵ ∠AFB+∠EFC= 90°, ∠CEF + ∠EFC = 90°, ∴ ∠AFB=∠CEF.∴ tan∠AFB= AB BF=tan∠CEF= 4 3 ,即8k BF= 4 3. ∴ BF=6kcm.∴ AF=AD=BC= 10kcm.在 Rt△AFE 中,AF2 + EF2=AE2,∴ (10k)2+(5k)2= (105)2,解得k=2或k=-2(不合 题意,舍去).∴ AB=16cm,AD= 20cm.∴ 矩 形 ABCD 的 面 积 为 AB·AD=16×20=320(cm2).故 选C. 9. D 解析:设DE 与AC 交于点F. ∵ ∠BAC=90°,D 是边BC 的中点, ∴ AD=BD=DC=12BC.∵ DA= DB,∴ ∠B=∠DAB.∵ ∠ADE= ∠B,∴ ∠ADE=∠DAB.∴ AB∥ DE.∴ ∠BAC = ∠DFC =90°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 ∵ DA=DC,∴ DE 是AC 的垂直平 分线.∴ EA=EC.∵ EA=ED, ∴ ED=EC.∴ ∠EDC=∠ECD. ∵ AB ∥DE,∴ ∠B = ∠EDC. ∴ ∠DAB=∠ECD.∴ △DCE∽ △BAD.∴ CE AD= DC BA.∵ ∠BAC= 90°,cosB=ABBC= 1 6.∴ CD AB=3. ∴ CE AD=3. 故选D. 10. D 解析:如图①,当点 H 在BC 上时,作DE⊥BC 于点E.∵ AB= 10, AH = 6, ∴ BH = AB2-AH2 = 102-62 = 8, CH=12AB=5.∵ CD 是AB 边上 的中线,∴ BD=AD.∵ AH 是BC 边上的高,∴ AH ⊥BC.∴ DE∥ AH.∴ 易得DE 是△ABH 的中位 线.∴ DE= 12AH =3.∴ EC= CH+EH=CH+12BH=5+4=9. ∴ tan∠DCH=DEEC= 3 9= 1 3 ;如图 ②,当点 H 在BC 的延长线上时,同 理,可得DE=12AH=3 ,EC=HC- 1 2BH=5-4=1.∴ tan∠DCH= DE EC=3. 综上所述,tan∠DCH 的值 为3或13. 故选D. (第10题) 二、 11. 25° 12. 105° 13. 1 2 解析:如图,令AC 与BD 的 交点为O.∵ ∠ABD=∠CDB=90°, ∴ CD∥AB.又∵ AB=CD,∴ 四边 形ABCD 是平行四边形.∴ AC 与 BD 互 相 平 分.∴ OB = 12BD. ∵ AB=BD,∴ OB = 12AB. 在 Rt△AOB 中,tan∠CAB=OBAB= 1 2. (第13题) 14. (6-23) 解析:如图,延长DC 交水 平 线l 于 点 H,连 接 OC.在 Rt△OBH 中,∠BOH=90°-60°= 30°,OB =12dm,∴ BH =12× tan30°=43(dm),OH= 12cos30°= 83(dm).∵ S△OBH =S△OCH + S△OBC,∴ 1 2OB ·BH=12OH · CF+ 12OB ·BC.∴ 1 2 ×12× 43=12×83×CF+ 1 2×12×4. ∴ CF=(6-23)dm. (第14题) 15. (1) (35+253) 解析:如图,过 点C作CM⊥AB,垂足为M,过点D 作DN⊥AB,垂足为 N,过点C 作 CG⊥DN,垂 足 为 G,则 四 边 形 CMNG 是矩形.∴ CG∥AB∥地面, GN=CM.∵ AC=BC=60cm,AC, CD 所在直线与地面的夹角分别为 30°,60°,∴ ∠A = ∠B = 30°, ∠DCG=60°.在Rt△AMC 中,CM= 1 2AC=30cm. 在 Rt△CGD 中, ∵ sin∠DCG=DGCD ,CD=50cm, ∴ DG=CD ·sin∠DCG=50· sin60°=50× 32 =25 3 (cm).又 ∵ GN=CM=30cm,前、后车轮半径 均为5cm,∴ 扶手前端D 到地面的 距离为DG+GN+5=253+30+ 5=35+253(cm). (2) (20 3-20) 解析:∵ EF∥ CG∥AB,∴ ∠EFH=∠DCG=60°. ∵ CD=50cm,HC=10cm,DF= 20cm,∴ FH=20cm.如图,过点E 作EQ⊥FH,垂足为Q.在Rt△EQF 中,设FQ=xcm.∵ ∠EFH=60°, ∴ ∠FEQ=30°.∴ EF=2FQ= 2xcm,EQ= 3xcm.在Rt△EQH 中,∵ ∠EHD=45°,∴ HQ=EQ= 3xcm.∵ HQ+FQ=FH=20cm, ∴ 3x+x=20,解得x=103-10. ∴ EF=2×(103-10)=(203- 20)cm. (第15题) 三、 16. 原式=2× 2 2 2 -6× 32+ 3×1+4× 32=2× 1 2-33+3+ 23=1-33+3+23=4-3. 17. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵ 在 Rt△ADC 中,tanC=ADCD = 6 CD= 3 2 , ∴ CD=4. ∴ BD=BC-CD=12-4=8. 在 Rt△ABD 中, AB = AD2+BD2=10. ∴ cosB=BDAB= 4 5. 18. 如图,过点 E 作EH ⊥AG 于 点H,则四边形CDHE 为矩形. ∴ EH=CD=1.8m,DH=CE=1m. 在Rt△CDF 中,∠CFD=42°,CD= 1.8m, ∴ DF= CDtan∠CFD≈ 1.8 9 10 =2(m). ∴ HF=DF-DH=2-1=1(m). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 在 Rt△EHG 中,∠EGH =32°, EH=1.8m, ∴ HG= EHtan∠EGH≈ 1.8 5 8 =2.88(m). ∴ FG=HG-HF≈2.88-1=1.88(m). ∴ 调整后的滑梯会多占约1.88m长 的一段地面. (第18题) 19. (1) 在Rt△DCE 中,CE=AB= 20cm,∠DCE=37°, ∴ DE=CE·sin∠DCE ≈20× 0.60=12(cm). ∴ DE 的长约为12cm. (2) 设每本书的厚度为xcm. 在Rt△GEF 中,易知∠GEF=37°, EG=xcm, ∴ EF=EG·cos∠GEF≈0.8xcm. ∴ 6x+12+0.8x≈35,解得x≈3.4. ∴ 每本书的厚度约为3.4cm. 20. 如图,过点 E 作EH ⊥AD 于 点H,则四边形DHEC是矩形. ∴ CD=EH=1.20m,DH=CE. 由题意知,∠CEB=α=36.9°,BC= EH=1.20m,AD=2.50m. 在Rt△CEB 中, ∵ tan∠CEB=BCCE , ∴ CE= BCtan∠CEB = BC tan36.9°≈ 1.20 0.75=1.60 (m). ∴ AH=AD-DH=AD-CE≈ 2.50-1.60=0.90(m). ∴ 在 Rt△AEH 中, AE = AH2+EH2 ≈ 0.902+1.202 = 1.50(m). ∴ sinγ=AHAE ≈ 0.90 1.50=0.60. 由题意知,β=∠CBE, ∴ sinβ=sin∠CBE=cos∠CEB= cos36.9°≈0.80. ∴ sinβ sinγ≈ 0.80 0.60≈1.3. (第20题) 21. (1) 30;75;5. (2) 如图,过点 P 作PD⊥AC 于 点D,则△APD,△BPD 都是直角三 角形. 由题意可知,∠APD=60°,∠BPD= 45°,∠CPD=15°. 由(1)知,∠A=30°,∠APC=75°. 在Rt△BPD 中,∠BPD=45°, ∴ BD=PD. 在 Rt△APD 中,∠APD =60°, ∠A = 30°,tan ∠APD = ADPD , cos∠APD=PDAP , ∴ AD PD=3 ,PD AP= 1 2. ∴ AD=3PD,AP=2PD. ∵ AB=AD-BD,AB=5海里, ∴ 3PD-PD=5海里. ∴ PD=BD=52 (3+1)海里. ∴ AP=2PD=5(3+1)≈13.65海里. 在△APC中, ∵ ∠A=30°,∠APC=75°, ∴ ∠C=180°-∠A-∠APC=75°. ∴ ∠C=∠APC. ∴ AC=AP≈13.65海里. 设上午9时渔船航行至点E 处,则 AE=10×(9-8)=10(海里). ∴ CE=AC-AE ≈3.65海里< 5海里. ∴ 该渔船会进入“海况异常”区. (第21题) 22. (1) 如图,过点B 作BM⊥AE,垂 足为M. ∵ i=1∶3, ∴ tan∠BAM=BMAM= 3 3. ∴ ∠BAM=30°. ∵ AB=12m, ∴ BM=12AB=6m. ∴ 点B 距水平地面AE 的高度为 6m. (2) 如图,过点B 作BN⊥CE,垂足 为N.易得四边形BMEN 为矩形, ∴ NE=BM=6m,BN=ME. 在Rt△AMB中,AM=AB·cos30°= 63m, ∴ ME=AM+AE=(63+24)m. ∵ ∠CBN=45°, ∴ CN=BN=ME=(63+24)m. ∴ CE=CN+NE=(63+30)m. 在Rt△ADE 中,∠DAE=53°,AE= 24m, ∴ DE=AE·tan53°≈24×43=32 (m). ∴ CD=CE-DE≈63+30-32= 63-2≈8.4(m). ∴ 广告牌CD 的高度约为8.4m. (第22题) 23. (1) ① 如图①,过点O 作OE⊥ AC,垂足为E. ∵ AO=CO=80cm, ∴ ∠AOE=12∠AOC= 1 2×120°= 60°,AC=2AE. 在 Rt△AEO 中,OE = OA · cos∠AOE=80× 12 =40 (cm), AE=AO·sin∠AOE=80× 32= 403(cm), ∴ AC=2AE=803cm. ∴ 点O 到AC 的距离为40cm,AC 的长为803cm. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 26 ② 如图①,延长EO 交BD 于点F. ∵ DB∥AC, ∴ ∠BFO=∠AEO=90°,∠FBO= ∠A=30°. ∵ BO=20cm, ∴ OF=12OB= 1 2×20=10 (cm). ∴ EF =OF +OE =10+40= 50(cm). ∴ 熨烫台的高度为50cm. (2) 如图②,过点B 作BQ⊥AC,垂足 为Q,则BQ=128cm. ∵ AO=CO,∠AOC=74°, ∴ ∠OAC=∠OCA=180°-74°2 =53°. 在Rt△ABQ 中,AB= BQsin∠BAC≈ 128 0.8=160 (cm). ∴ 该熨烫台支撑杆AB 的长度约为 160cm. (第23题) 期末拔尖测评 一、 1. C 2. C 3. C 4. D 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 解析:∵ 抛物线开口向上, ∴ a>0.∵ 抛物线的对称轴为直线 x=-b2a=-2 ,∴ b=4a>0.∵ 抛物 线与y轴的交点在x 轴下方,∴ c< 0.∴ abc<0.故①错误.设抛物线的 对称轴与x轴的交点坐标为E(-2, 0),则OE=2.∵ OA=5OB,∴ OE= 2OB,即点B 的坐标为(1,0).∴ 当 x=1时,y=a+b+c=0.∴ (a+ c)2-b2=(a+c+b)(a-b+c)=0. 故②错误.∵ a+b+c=0且b=4a, ∴ 5a+c=0.故③正确.由图象可知, 当x=-1时,y=a-b+c<0.故④ 错误.∵ 当x=-2时,y 取最小值, ∴ am2+bm+c≥4a-2b+c,即 am2+bm+2b≥4a.又∵ a>0, ∴ 4a>a.∴ am2+bm+2b>a.故⑤ 正确.综上所述,正确的个数是2. 10. D 解析:∵ 四边形ABCD 为矩 形,∴ CD=AB=8,AD=BC=4. ∵ E 为CD 的中点,∴ DE=CE=4. ∴ △ADE 和△BCE 都是等腰直角 三角 形.∴ 易 得 ∠AEB=90°.在 Rt△ADE 和Rt△BCE 中,由勾股定 理,得AE=BE=4 2.由题意,得 AM=t,EN =t,则 ME=NB= 42-t.∴ S= 12ME ·EN = 1 2 (42-t)·t=-12 (t-22)2+ 4.∵ -12<0 ,∴ 当t=22时,S 有 最大值,为4.结合选项,可知D正确. 二、 11. 4 3 12. 5+2 13. (53-5) 14. 4 15. (1) 30 (2) 93 2 解析:设AG 与CF,BF 分 别相交于点 M,N.∵ AC=AB+ BC=12+18=30,∴ 易得AC=CG. ∴ ∠CAG=∠CGA.又∵ ∠CAG+ ∠CGA=∠DCG=60°,∴ ∠CGA= 30°.∴ ∠AGD=∠CGA+∠CGD= 30°+60°=90°.∴ AG ⊥GD. ∵ ∠BCF=∠D=60°,∴ CF∥DG. ∴ △ACM∽△ADG.∴ ∠AMC= ∠AGD=90°,CMDG = AC AD ,即CM 30 = 30 30+30.∴ ∠NMF=90°,CM=15. ∴ MF=CF-CM =18-15=3. ∵ ∠F =60°,∴ MN = MF · tan60°=33.∴ S△MNF= 1 2MF · MN=12×3×33= 93 2 ,即涂色部 分的面积为93 2 . 三、 16. 原式= 2 2 2 + 3 2 2× 32+1 - 3× 33= 1 2+ 3-3 4 -1= 1-3 4 . 17. (1) 如图,图案②即为所求作. (2) 如图,图案③即为所求作. (第17题) 18. (1) 把A(6n,2n)代入y=x-4, 得2n=6n-4,解得n=1. ∴ 点A 的坐标为(6,2). ∵ 反比例函数y= k x 的图象过点A, ∴ k=6×2=12. ∴ 反比例函数的表达式为y= 12 x. (2) 把B(m,-6)代入y=x-4,得 -6=m-4,解得m=-2. ∴ B(-2,-6). ∴ 根据图象,可知关于x 的不等式 x-4>kx 的解集为-2<x<0或 x>6. (3) 设直线AB 交y轴于点D. ∴ 易得D(0,-4). ∴ OD=4. ∴ S△AOB=S△OBD+S△AOD= 1 2×4× 2+12×4×6=16. 19. 如图,过点C 作平行于AB 的水 平线交DE 于点M,作CN⊥AE 交 AE 于点N,则CM⊥DE. 易得四边形NEMC为矩形. ∴ CN=ME,CM=NE. 设CN=ME=x米. ∵ i=1∶3=CNBN , ∴ BN=3x米. 在 Rt△CDM 中,DM = CD · sin∠DCM=500×sin53°≈400(米), 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 数学(沪科版)九年级上 5 第23章拔尖测评 ◎ 满分:120分 ◎ 时间:120分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 若α为锐角,且2cosα=3,则α等于 ( ) A. 0° B. 30° C. 45° D. 60° 2. 在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35 ,则cosA 的值是 ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 3 3. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,sinA=23 ,则AB 的值为 ( ) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 某小型水库拦水坝的横断面如图所示,背水坡AB 的坡度i=2∶1,测得坝高BC=6m,则坡面 AB 的长度为 ( ) A. 3m B. 33m C. 35m D. 3 25m (第4题) (第6题) (第7题) (第8题) 5. 若sinα>cosα,则锐角α的取值范围是 ( ) A. 0°<α<45° B. 30°<α<45° C. 45°<α<60° D. 45°<α<90° 6. 如图,小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35°的方向上有一棵大树B.已知凉亭A 在大树B 的正西方向,若BC=50米,则AB 的长为 ( ) A. 50 sin35°- 50 cos35° 米 B. 50 sin35°+ 50 cos35° 米 C. 50(cos35°-sin35°)米 D. 50(cos35°+sin35°)米 7. 某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD 的高度(如图),在建筑物旁边有一高度为10米 的小楼房AB,小李在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60°,在小楼房楼顶A 处测得C 处的 仰角为30°(AB,CD 在同一平面内,点B,D 在同一水平面上),则建筑物CD 的高度为( ) A. 20米 B. 15米 C. 12米 D. (10+53)米 8. 如图,将矩形ABCD 折叠,使点D 落在边BC上的点F处,折痕AE=105cm,且tan∠CEF= 4 3 ,则矩形ABCD 的面积为 ( ) A. 280cm2 B. 300cm2 C. 320cm2 D. 360cm2 (第9题) 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,cosB=16 ,D 是边BC 的中点,以AD 为底 边在其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连接CE,则CEAD 的值为( ) A. 35 3 B. 1 3 C. 35 D. 3 10. 在△ABC 中,AH 是BC 边上的高,CD 是AB 边上的中线,CH=12AB. 若AB=10,AH= 6,则tan∠DCH 的值为 ( ) A. 2或14 B. 2或13 C. 3或14 D. 3或13 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 已知∠A 为锐角,若cosA=sin65°,则∠A 的度数为 . 12. 在△ABC 中,若sinA-12 + 2 2-cosB 2 =0,则∠C= . 13. 将如图①所示的七巧板,拼成如图②所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= . (第13题) (第14题) 14. 如图①所示为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具———“碓(duì)”的结构简图,图 ②为其平面示意图.已知AB⊥CD 于点B,AB 与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4dm, OB=12dm,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为 dm(结果保留根号). 15. 如图①所示为超市的手推车,图②是其侧面示意图,已知前、后车轮半径均为5cm,两个车轮 的圆心的连线AB 与地面平行,测得支架AC=BC=60cm,AC,CD 所在直线与地面的夹角 分别为30°,60°,CD=50cm(结果均保留根号). (1) 扶手前端D 到地面的距离为 cm. (2) 若手推车内装有简易宝宝椅,EF 为座板,打开后,椅子的支点 H 到点C 的距离为 10cm,DF=20cm,EF∥AB,∠EHD=45°,则座板EF 的宽度为 cm. (第15题) 三、 解答题(共75分) 16. (5分)计算:2sin245°-6cos30°+3tan45°+4sin60°. 17. (6分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D.若AD=6,tanC=32 ,BC=12,求cosB 的值. (第17题) 18. (8分)滑梯的坡角越小,安全性越高.从安全性及适用性出发,小亮同学对所在小区的一处滑 梯进行调研,制定了如下改造方案,请你帮小亮解决方案中的问题 参考数据:sin32°≈1732, cos32°≈1720 ,tan32°≈58 ,sin42°≈2740 ,cos42°≈34 ,tan42°≈910 . 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图,将滑梯顶端BC 拓宽为BE,使CE=1m,并将原来的滑梯CF 改为EG(图中所有 点均在同一平面内,点B,C,E 在同一直线上,点A,D,F,G 在同一直线上). (第18题) 测量数据 【步骤一】 利用皮尺测得滑梯的高度CD=1.8m; 【步骤二】 在点F 处用测角仪测得∠CFD=42°; 【步骤三】 在点G 处用测角仪测得∠EGD=32°. 解决问题 调整后的滑梯会多占多长的一段地面(即求FG 的长)?