第28章相似三角形单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 第28章相似三角形单元测试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖相似判定、性质、应用等核心知识，适配单元复习，注重数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）、语言（模型意识）的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相似判定（如第4题等腰直角三角形相似）、性质应用（第3题中点计算）、黄金分割（第2题）|第4题辨析图形相似，强化概念理解| |填空题|6/18|比例尺（11题）、相似比（12题）、动点相似（15题）|16题无人机测绘体现时代性，培养应用意识| |解答题|8/72|比例计算（17题）、证明（18题）、实际应用（19题测河宽）、位似（22题）、折叠（23题）|19题测河宽呼应《海岛算经》文化传承，23题折叠问题综合推理能力|

第28章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 2．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 3．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 4．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 5．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 6．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 7．如图，在中，，，，则的长是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 9．如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查矩形的相似，掌握相似图形的性质是解题的关键． ，根据中点，得根据矩形与矩形相似，得，代入求解即可． 【详解】解：设， 矩形和矩形，为矩形的边的中点，， ，， 矩形与矩形相似， ，即，解得， ， ． 故选：B． 10．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 12．如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 13．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 14．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 15．如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． 16．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 18．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 19．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 21．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 22．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2），， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 23．如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 23．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第28章相似三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，己知DE I BC, AB=2AD,下列结论正确的是()· B AC1 8指时 AC2 AE2 A.AE2 C.EC3 D.EC3 2.若点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB,AB=4,则PA的长度为() A.5-1 B.2V5+2 C.25-2 D.3 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，DE⊥BC于点E,若 AB=10,BC=6,则DE的长为() A.2V34 B.4 C.10 D.V51 4.下列图形一定相似的是() A.两个矩形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是50°的两个等腰三角形 D.两个菱形 5.下列说法正确的是() A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 6.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得AE=6m, 试卷第1页，共3页 BE=18m BC 则旗杆的高度是() D 63m A6mE 18m B A.9m B.12m C.18m D.24m 7.如图，在△ABC中，DE∥BC，,BD=2AD,DE=4,则BC的长是() D E A.6 B.8 C.10 D.12 8.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H 对应，则∠D的度数为() E 80° H A.100° B.110° C.120 D.130° 9.如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点.若矩形ABCD与矩形EABF相 似，AB=6,则AD的长为() A.32 B.6V2 C.4v2 D.9 试卷第2页，共3页 10.在直角坐标平面上有 A(6,2)B(2,6) 两点，以原点为位似中心把线段AB缩小到原来 4B 的一半，得到线段49，那么的坐标是() A.(3) B（1,-3) c.3,)$-1-3) 或 D.3或3，- 二、填空题（每题3分，共18分） 11.在比例尺为l:500000的地图上，量得甲、乙两地的距离为15cm,则甲，乙两地的实 际距离为km. 12.如图，己知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE= D B 13.如图，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O,点P为线段OD的中点，连接AP 并延长交CD于点E.若BC=6,则CE的长为一· A B 14.如图，DE∥BC,AD:DB=1:3Sa边DcE=8 S.ADE= ,则 15.如图，在△ABC中，AB=8Cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿边AB以lIcm/Ss的速 试卷第3页，共3页 度向点B运动，动点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，如果P、Q两点同 时出发，经过s,△PB0与△ABC相似. B 16.为调查某住宅区的实际lm占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）. 其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物 体（如图3）构成相似图形.在本次测绘中，设定数字模型上的lm代表实际距离50m 技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为AB=4cm, BC=5cm CD=7cm DA=4.5cm ABCD 则该住宅区实际边界四边形 的周长是 m D A B A B 图1 图2 图3 三、解答题（每题9分，共72分） 17.己知线段a、b满足a:b=3:2,且a+2b=21」 (1)求a、b的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值. 18.己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF 求证：EF∥CD 试卷第4页，共3页 19.受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB. 如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续 走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A,C,E恰好在同一条直线上，此时量得 DE =32m 口D (I)求证：△ABC∽△EDC, (2)求河宽AB的长 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E, EF∥CB交BD于点F. D F B (I)求证：△ACE∽△BAC: (2)若4C=Vi0,CE=1 求EF的长。 21.如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶 点处) B 图1 试卷第5页，共3页 (I)在图2中画出一个格点△4B,G,使△AB,C一△ABC,周长之比为2：L,并直接写出 △4BC 的面积 图2 (2)在图3中画出一个格点 4B,C,使△4，C,△8C面积之比为2：L,并直接写出 △A,B,C2 的周长 图3 22.在如图所示的方格纸中， △04B与△0AB是以点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置. (2)记知aOAB △OAB B的面积为2，则 的面积为 试卷第6页，共3页 23.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P、D分别在边BC、AC上，∠BAP=∠CPD D B A (I)求证：△APDAACP: (2)若AB=6,AD=2,求AP的长 23.如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C重合） 折痕为EF. E D (I)求证：△BDE∽△CFD. (2)若BD=7,DC=2,求△BDE与△CFD的相似比. 试卷第7页，共3页