第3章 3.4 曲线与方程 3.5 圆锥曲线的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件聚焦曲线与方程及圆锥曲线的应用，涵盖曲线与方程的定义、求方程的步骤、圆锥曲线统一定义及应用等核心内容，通过知识梳理与关键能力考点衔接，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以典例融合数学建模与逻辑推理核心素养，如《流浪地球》椭圆轨道问题、苗圃运输界线的双曲线模型，引导学生用数学眼光观察现实、用数学语言表达问题。采用讲练结合的教学方法，助力学生提升解决实际问题的能力，也为教师提供系统的素养培养教学资源。

3.4 曲线与方程 3.5 圆锥曲线的应用 必备知识 清单破 知识点 曲线的方程与方程的曲线 1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与 一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解, (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 　　此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.求曲线方程的一般步骤 (1)建系设点:用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列式(限制):找出曲线上的点所满足的几何关系式; (3)代换:用坐标(x,y)来表示上述几何关系; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明:验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般变为确定点的范围即可). 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹. 　　当0<e<1时,它表示椭圆; 　　当e>1时,它表示双曲线; 　　当e=1时,它表示抛物线. 　　其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为x=± , 　　椭圆 + =1(a>b>0)的准线方程为y=± . 　　双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为x=± , 　　双曲线 - =1(a>0,b>0)的准线方程为y=± . 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 根据方程研究曲线的性质 关键能力 定点破 1.根据方程研究曲线的性质时,若方程比较复杂,则可对方程进行同解变形,要注意方程的附 加条件以及隐含条件,一定要保证其等价性. 2.研究曲线是否经过某个点时,只需验证该点的坐标是否满足曲线的方程,若满足,则点在曲 线上,否则,点不在曲线上. 3.研究曲线的对称性时,可将方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是否发生变化, 以确定其对称性. 4.研究两曲线是否相交时,可将两曲线方程联立,然后判断方程组是否有实数解,若有实数解, 则有交点,否则,没有交点. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (多选)已知曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的乘积等于常数m2(m>1)的 点的轨迹,则下列结论中正确的是 (　     ) A.曲线C经过原点 B.曲线C关于原点对称 C.若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积不大于 m2 D.直线y=x与曲线C有两个交点 BCD 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设动点的坐标为(x,y), 依题意有 · =m2, 即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即为曲线C的方程. 将原点坐标(0,0)代入曲线C的方程,等式不成立,所以曲线C不经过原点,故A选项错误. 以-x代替x,-y代替y,方程不变,所以曲线C关于原点对称,故B选项正确. 若点P在曲线C上,则△PF1F2的面积S= |PF1||PF2|sin∠F1PF2= m2·sin∠F1PF2≤ m2,即△PF1F 2的面积不大于 m2,故C选项正确. 由 消去y,得4x4+1=m4,即x4= ,由于m>1,所以 >0,因此 方程x4= 有两个实数解,即直线y=x与曲线C有两个交点,故D选项正确. 第1讲　描述运动的基本概念 求动点轨迹方程的常用方法 (1)直接法:当所求动点满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、 整理化简、限制说明”的基本步骤求解. (2)定义法:若能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可由该曲线的定义直接写出曲 线方程,即得动点的轨迹方程. (3)代入法(相关点法):当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示, 再代入其他动点满足的曲线方程或条件中,整理即得所求动点的轨迹方程. (4)参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标中的x,y,然后消去参数,即得动点的轨 迹方程. 定点 2 求动点的轨迹方程  第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3与椭圆C2: +y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2 的左、右顶点.   (1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大值; (2)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.由 + =1得 =1- ,从而  =   =-  + ,∴当 = , = 时,Smax=6,∴t2= + =5,∴t= . ∴当t= 时,矩形ABCD的面积取得最大值,最大值为6. (2)由椭圆C2: +y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲线的对称性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).设点M的坐标为 (x,y).易知直线AA1的方程为y= ·(x+3)①,直线A2B的方程为y= (x-3)②,由①②得y2=  ·(x2-9)③,又点A(x0,y0)在椭圆C2上,所以 =1- ④,将④代入③,得 -y2=1(x<-3,y<0),因此 点M的轨迹方程为 -y2=1(x<-3,y<0). 第1讲　描述运动的基本概念 名师点评 　　求解本题(2)的轨迹方程时,要结合几何性质和几何直观细心发掘.过程中充分运用椭圆 与圆的对称性以及方程的整体代入,避免了烦琐运算,优化了解题过程. 第1讲　描述运动的基本概念 　　解应用题时涉及两个基本步骤,即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题,为 此要注意以下四点: (1)阅读理解:读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质. (2)数学建模:将应用题的材料陈述转化成数学问题,即抽象、归纳其中的数量关系,并把这种 关系用数学式子表示出来. (3)数学求解:根据所建立数学问题的知识系统,得出结果. (4)实际还原:将数学结论还原为实际问题. 定点 3 圆锥曲线的实际应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 某苗圃有两个入口A,B,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物,现有150株树 苗放在P处,已知|PA|=80,|PB|=88,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立如图所示的平面直 角坐标系.计划将树苗种在以点(-7,1),(7,1),(-7,10),(7,10)为顶点的矩形内,且要求树苗呈15 列、10行等距排列. (1)种在点C(4,5)处的树苗通过哪个入口运输时路程最短? (2)能否在苗圃内确定一条界线,使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近, 而另一侧的树苗沿PB运输较近?若能,求出这条界线;若不能,说明理由. (3)有多少株树苗沿PB运输较近? 注: ≈54.23, ≈46.27. 第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    (1)通过|PA|+|AC|与|PB|+|BC|的比较,可以确定树苗从哪个入口运输满足路程最 短. (2)以点(-7,1),(7,1),(-7,10),(7,10)为顶点的矩形内的点可以分为三类.第一类沿PA运输较近,第 二类沿PB运输较近,第三类沿PA,PB运输一样近.由题可知,界线应该是第三类点的轨迹.设界 线上的点为M(x,y),则满足|PA|+|AM|=|PB|+|BM|,代入坐标即可求出对应边界线. (3)通过代入点(5,10),判断其位于边界线上的位置,确定沿PB运输较近的点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为|AB|=100,|PA|=80,|PB|=88, 所以A(-50,0),B(50,0),C(4,5). 则|PA|+|AC|=80+ ≈134.23,|PB|+|BC|=88+ ≈134.27. 因为|PA|+|AC|<|PB|+|BC|, 所以种在点C处的树苗通过A入口运输时路程最短. (2)存在这样一条界线,使得从两边运输的距离一样. 设点M(x,y)在界线上, 则|PA|+|AM|=|PB|+|BM|, 整理得|AM|-|BM|=|PB|-|PA|=8, 根据双曲线的定义可知,这条界线是以A,B为焦点的双曲线的右支, 则2a=8,即a=4, 第1讲　描述运动的基本概念 又因为c=50,b2=c2-a2=2 500-16=2 484, 所以所求界线的方程为 - =1(x≥4). (3)由(2)知a=4,即x=5,6,7时, 这三列上的树苗或部分树苗沿PB取较近.将点(5,10)代入 - , 因为 - >1, 所以点(5,10)在双曲线的右支内部, 所以一共有30株树苗沿PB运输较近. 第1讲　描述运动的基本概念 素养 通过圆锥曲线的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养 学科素养 情境破 素养解读 　　圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活中有广泛的应用,求解此类问题时要 善于抓住问题的实质,建立适合的数学模型(椭圆、双曲线、抛物线),从而发展数学建模的核 心素养,然后利用圆锥曲线的相关定义、标准方程、性质等知识求解,在求解过程中发展逻 辑推理的核心素养. 第1讲　描述运动的基本概念 典例呈现 例题 某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》后引发了他的思考:假定地 球(看作质点P,半径忽略不计)借助原子发动机开始“流浪”的轨道是以木星(看作球体,其半 径R约为7万千米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地球的近木星点A(轨道上离木星表面最近 的点)到木星表面的距离为1万千米,远木星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的 距离为25万千米. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若地球在“流浪”的过程中,由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为 (a,b 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长)万千米时,由于木星引力,部分原子发动机突然失去了动 力,此时地球向着木星方向开始变轨(如图所示),假定地球变轨后的轨道为一条直线L,称该直 线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系数”k的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞? 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取    以地球“流浪”的轨道为背景建立椭圆模型,受木星引力,地球“流浪”的轨道 变轨,为一条直线,从而建立直线模型,最后利用相关知识解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 解题思路    (1)设出椭圆的标准方程,再根据题意求出a,b,c的值即可. 设椭圆C的标准方程为 + =1(a>b>0). 由条件得 解得 故b2=256, 因此椭圆C的标准方程为 + =1. (2)由P与轨道中点O的距离和椭圆的方程联立得到的方程组的解得P的坐标,再由点到直线 的距离与R的大小关系列出不等式进行判断. 设地球由近木星点A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为 万千米时所在位置 为P(x0,y0),x0>0,y0>0. 由题意得  ∴  第1讲　描述运动的基本概念 ∴P , 则直线L的方程为y- =k ,即kx-y+ - k=0, 设木星的中心F到地球的距离为d万千米. 由d>R得 >7, 化简得425k2+128 k-839<0, 当k=-2时,不等式左边=861-256 >0,故原不等式不成立,此时地球与木星会发生碰撞. 当k=1时,不等式左边=128 -414<0,故原不等式成立,此时地球与木星不会发生碰撞. 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 　　在圆锥曲线的学习中,要树立“坐标化”观点,借助平面直角坐标系,将图形的位置关系 和度量关系转化为数学代数问题,解题时一般先用图形探索解决问题的思路,进而解决复杂 的数学问题,其前提是严谨的逻辑推理. 第1讲　描述运动的基本概念 $