第3章 3.5 圆锥曲线的应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 这份同步练习以“圆锥曲线的应用”为核心，通过天体运动、斜抛轨迹、光学性质、建筑设计四个题组，构建从单一应用到综合建模的分层巩固路径，体现数学建模与实际问题解决的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|椭圆/抛物线基本应用|选择题结合卫星轨道（题1-2），考查离心率与向径| |性质综合|光学性质与几何关系|填空/多选综合光学反射（题5-7），深化双曲线/椭圆定义| |建模实践|实际问题中的轨迹与最值|解答题聚焦建筑隧道与游乐区域设计（题8-10），培养数学表达能力|

3.5　圆锥曲线的应用 基础过关练 题组一　圆锥曲线在天体运动轨道中的应用 1.(2024陕西韩城期末)如图,某颗人工智能卫星的运行轨道可近似看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,若近地点与地面间的距离为r,则远地点与地面间的距离l为(　　) A.3r+2R　　　　　B.5r+2R C.　　　　　D. 2.(多选题)人造地球卫星绕地球运行时遵循开普勒行星运动定律.如图所示,卫星(大小不计)在以地球(看作质点)为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,且速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的是(　　) A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c] B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁 D.卫星的运行速度在近地点时最大,在远地点时最小 题组二　圆锥曲线在斜抛物体轨迹中的应用 3.(2024陕西西安铁一中学月考)某农场为节水推行喷灌技术,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上皆呈抛物线状,如图所示.现要求水流的最高点B距离地面4 m,点B到管柱OA所在直线的距离为3 m,且水流落在地面上以O为圆心,7 m为半径的圆上,则管柱OA的高度为(　　) A. m　　　　　B. m　　　　　C. m　　　　　D. m 4.张燕同学在校运会的掷铅球比赛中创造佳绩.已知张燕所掷铅球的轨迹可看成一段抛物线(人的身高不计,铅球看成一个质点),如图所示,设铅球初速度的大小为v0 m/s,且其与水平方向所成的角为θ,已知张燕掷铅球的最远距离为10 m.当她掷得最远距离时,铅球轨迹(抛物线)的焦点到准线的距离为　　　m.(空气阻力忽略不计,重力加速度为10 m/s2)  题组三　圆锥曲线在光学中的应用 5.(2025湖北黄冈期中)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点,如图1.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x轴重合,顶点与原点重合,如图2,若抛物线过点A,平行于对称轴的光线经过点A反射后,反射光线交抛物线于点B,则线段AB的中点到准线的距离为(　　) 　 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.2 6.(多选题)(2024重庆第十一中学校期中)双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要的作用,已知双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知O为坐标原点,F1,F2分别为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作直线l交x轴于M,交y轴于点N,则(　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.过点F1作F1H⊥l于H,则|OH|=2 C.点N的坐标为 D.四边形AF1NF2的面积的最小值为2 7.(2025山东日照期中)已知从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点;从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①,一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆T与双曲线S构成,现一光线从点F1发出,依次经S与T反射,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的S 去掉,如图②,此光线从点F1发出,经T两次反射后又回到了点F1,历时t2秒.已知t2=4t1,则T的离心率e1与S的离心率e2的比值为　　　　.  　 题组四　圆锥曲线在现代建筑中的应用 8.(2025湖南怀化期中)某市为庆祝建党100周年,举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个单向隧道,隧道横断面的尺寸如图1所示(单位:m). (1)以点O为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程; (2)若某车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,箱宽3 m,车与集装箱总高4.5 m,此车能否安全通过隧道?请说明理由. 　　 9.(2025甘肃陇南月考)如图,平面上P,Q两地间的距离为4,O为PQ的中点,M处为一基站,假设其发射的电波为直线,测量得∠MOQ=60°,且O,M间的距离为2,现一机器人N正在运行,它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2(P,O,M,N及电波直线均共面),请建立适当的平面直角坐标系. (1)求出机器人N运行的轨迹方程; (2)为了使机器人N免受M处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M的直线),求出电波所在直线的斜率k的取值范围. 10.(2024江苏南通海安高级中学期中)某城市决定在夹角为30°的两条道路EB,EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园,如图所示,|AB|=2,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且直线MN交OD于G,∠MGD=45°. (1)若|OE|=3,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值; (2)若椭圆的离心率为,当线段OG的长为何值时,游乐区域△OMN的面积最大? 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.5　圆锥曲线的应用 基础过关练 1.D　由题意,不妨以椭圆中心为坐标原点O,建立如图所示的坐标系, 设椭圆方程为+=1(a>b>0),则e=,且r=a-c-R,解得a=,c=, 故远地点离地面的距离为a+c-R=+-R=r+R,又e=,所以r+R=r+R=r+R=. 2.AD　由题意可得,卫星的向径是椭圆上的点到焦点的距离,所以最小值为a-c,最大值为a+c,故A正确.根据在相同时间内扫过的面积相等,知卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故B不正确.卫星向径的最小值与最大值的比值越小,即==-1+越小,则e越大,椭圆越扁,故C不正确.因为卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等,所以向径越大,卫星的速度越小,又卫星在近地点时的向径最小,在远地点时的向径最大,所以卫星的运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,故D正确. 3.B　如图所示,以水流的最高点B为坐标原点,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线的一部分,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),易得点C(4,-4),所以16=-2p×(-4),解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y,设点A(-3,y0),因为点A在抛物线上,所以9=-4y0,解得y0=-,所以|OA|=4-=,所以管柱OA的高度为 m. 4.答案　5 解析　设铅球的运动时间为t0 s,t时刻铅球在水平方向上的位移的大小为x m,则x=v0tcos θ,由v0sin θ-gt0=0知,t0=,∴t0时刻,x=,故当θ=时,xmax==10,∴v0=10,∴t0=,∴最高点到地面的距离h=g=2.5(m). 如图,建立平面直角坐标系,易得P(-5,-2.5),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则抛物线的焦点到准线的距离为p===5(m). 5.B　设抛物线的方程为y2=mx(m>0),将A的坐标代入可得12=m,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得,反射光线过焦点(1,0),所以直线AB的方程为y-0=(x-1),整理可得y=-(x-1),联立解得或所以反射光线与抛物线的两个交点为A,B(4,-4),所以线段AB的中点坐标为,所以线段AB的中点到准线的距离d=+1=. 6.ABD　对于A,由已知可得a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故A正确. 对于B,由题意得-=1,则直线l的斜率k====, 所以直线l的方程为y=x-, 联立得x2-2x0x+=0, 由于Δ=4-4=0,所以直线l为双曲线的切线. 由双曲线的光学性质可知l平分∠F1AF2, 延长F1H,与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即H为F1E的中点, 又O是F1F2的中点,所以|OH|=|F2E|=(|AE|-|AF2|)=(|AF1|-|AF2|)=a=2,故B正确. 对于C,设N(0,yN),则=, 整理可得-yN+4yN=4y0,又-=1,所以=4+4, 所以-(4+4)yN+4yN=4y0,解得yN=-, 所以N,故C错误. 对于D,=+=×|F1F2|×≥×2×2=2,当且仅当|y0|=,即y0=±1时,等号成立. 所以四边形AF1NF2的面积的最小值为2,故D正确. 7.答案　 解析　由t2=4t1得|F1C|+|CD|+|DF1|=4(|F1A|+|AB|+|BF1|),设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2, 由椭圆的定义可得|F1C|+|CD|+|DF1|=|F1C|+|CF2|+|F2D|+|DF1|=2a1+2a1=4a1, 由椭圆和双曲线的定义得|BF2|+|BF1|=2a1,|AF2|-|AF1|=2a2, 故|F1A|+|AB|+|BF1|=|F1A|+|BF2|-|AF2|+|BF1| =(|BF2|+|BF1|)-(|AF2|-|AF1|)=2a1-2a2, 故4a1=4(2a1-2a2),解得a1=2a2, 因为椭圆T与双曲线S的焦点相同,所以==. 8.解析　(1)设所求抛物线的方程为y=ax2(a<0), 因为抛物线的顶点为坐标原点,隧道宽6 m,高5 m,矩形的高为2 m,所以抛物线过点A1(-3,-3), 将其代入抛物线方程,得-3=9a,解得a=-, 所以该段抛物线A1OA所在抛物线的方程为y=-x2,即x2=-3y. (2)不能.理由如下: 如果此车恰好能通过隧道,那么它应该在隧道的中间行驶, 将x=1.5代入抛物线的方程,得到y=-0.75, 此时集装箱的最上方与隧道的底的距离为5-0.75=4.25(m), 又4.25 m<4.5 m,所以此车不能安全通过隧道. 9.解析　(1)如图所示,以点O为坐标原点,PQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系, 由题意得P(-2,0),Q(2,0), 设点N(x,y),则|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4, 所以动点N的运动轨迹是以点P,Q为焦点的双曲线的右支, 由题得a=1,c=2,所以b2=4-1=3, 所以机器人N运行的轨迹方程为x2-=1(x>0). (2)由题得,点M的坐标为(,3), 则电波所在直线的方程为y-3=k(x-),即y=k(x-)+3,与x2-=1(x>0)联立,消去y,得(3-k2)x2+(2k2-6k)x+6k-3k2-12=0. 当3-k2=0时,若k=,则电波所在直线为y=x,是双曲线的渐近线,符合题意;若k=-,则电波所在直线为y=-x+6,与机器人N的运行轨迹有交点,不符合题意. 当3-k2≠0时,由Δ<0,得(2k2-6k)2-4(3-k2)·(6k-3k2-12)<0,所以(k-)(k-2)<0,所以<k<2. 综上所述,≤k<2,即电波所在直线的斜率k的取值范围是[,2). 10.解析　(1)以点O为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系. 设椭圆方程为+=1(a>b>0), 因为|OE|=3,所以E(0,3), 又EB,EF的夹角为30°,所以直线EF的方程为y=-x+3. 又因为|AB|=2,所以b=1,则椭圆方程为+y2=1. 为了不破坏道路EF,则直线EF与半椭圆至多有一个交点, 联立整理得(1+3a2)x2-6a2x+8a2=0, 则Δ=108a4-4(1+3a2)·8a2≤0,即a2(3a2-8)≤0, 又a>0,所以0<a≤. 当a=时,半椭圆与EF相切,所以amax=. (2)由椭圆的离心率为=,b=1,a2=b2+c2,得a2=4,所以椭圆的方程为+y2=1(x≥0). 设G(m,0),又直线MN交OD于G,∠MGD=45°, 所以直线MN的方程为x=y+m(0<m<2), 由得5y2+2my+m2-4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-m,y1y2=, 则|y1-y2|===, 则S△OMN=×|OG|×|y1-y2|=m× =≤1,当且仅当m=时等号成立,此时△OMN的面积最大. 故当线段OG的长为时,游乐区域△OMN的面积最大. 7 学科网（北京）股份有限公司 $