3.4 曲线与方程（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以“基础过关练”为载体，通过题组分层设计，实现从曲线与方程概念辨析到轨迹方程求解再到综合应用的递进，强化数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解层|曲线与方程关系、轨迹判定|以选择/填空题（如1-4题）辨析直线、圆、抛物线等轨迹本质，培养数学眼光| |技能应用层|轨迹方程求解|通过坐标法（如5-8题）转化动点条件为方程，强化数学语言表达| |综合拓展层|方程与曲线综合应用|结合图形（如9-13题）探究交点、面积等问题，发展逻辑推理与运算能力|

3.4　曲线与方程 基础过关练 题组一　曲线与方程的关系及其应用 1.已知直线l的方程是f(x,y)=0,点M(x0,y0)不在直线l上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲线是(　　) A.直线l B.与l垂直的一条直线 C.与l平行的一条直线 D.与l平行的两条直线 2.(2025黑龙江省实验中学期中)已知△ABC的两个顶点为A(-2,0),B(2,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),则(　　) A.当k=-1时,C的轨迹为直线(去掉A,B两点) B.当k<-1时,C的轨迹为双曲线(去掉A,B两点) C.当-1<k<0时,C的轨迹为椭圆(去掉A,B两点) D.当k>0时,C的轨迹为抛物线(去掉A,B两点) 3.(2025河南驻马店环际大联考“逐梦计划”期中)已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-5|,则动点P的轨迹是(　　) A.圆　　　　　B.椭圆　　　　　C.抛物线　　　　　D.双曲线 4.(2024河南名校联盟段考)笛卡儿在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传,其实能画出心形曲线的方程有很多种.如图所示的是方程为x2+y2=1+|x|y的心形曲线,若A为曲线上一点,O为坐标原点,则|OA|的取值范围为(　　) A.　　　　　B.[1,]　　　　　 C.[1,2]　　　 　　D. 题组二　求曲线的方程 5.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足=m+n,其中m,n∈R,且m2+n2=,则动点P的轨迹方程是(　　) A.x2+=1　　　　　B.+y2=1 C.x2-=1　　　 　　D.-y2=1 6.(2025河北十县联考期中)已知O为坐标原点,圆O:x2+y2=4,点P(0,1),点Q在圆O上运动,线段PQ的中垂线与OQ交于点M,则点M的轨迹方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+=1 C.+=1　　　　　D.x2+=1 7.(2025甘肃白银月考)在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),则满足sin C-sin B=·sin A的顶点A的轨迹方程为　　　　　　　.  8.(2024江苏南京外国语学校月考)若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+3=0的距离大1,则M的轨迹方程是　.  题组三　曲线与方程的综合应用 9.(2025甘肃酒泉月考)若直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1有两个交点,则实数k的取值范围是(　　) A.　　　　 　B. C.∪　　　　　D. 10.(多选题)(2025河北沧州八县期中)如图,曲线C可以看作“蝴蝶结”的一部分,已知曲线C上除原点O以外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的比值恒为定值a(a>0),则下列说法正确的是(　　) A.曲线C关于直线y=x对称 B.若曲线C经过点(-1,-1),则C的方程为(x2+y2)3=2|xy| C.曲线C围成的图形的面积小于 D.存在a∈(2,6),使得曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点) 11.(2023北京昌平期中)星形线又称为四尖瓣线,是数学中的瑰宝,在生产和生活中有很大应用,+=1便是它的一种表达式. ①星形线关于直线y=x对称; ②星形线围成的图形的面积小于2; ③星形线上的点到x轴,y轴的距离的乘积的最大值为; ④星形线上的点与原点之间的距离的最小值为. 以上说法正确的是　　　　.(填序号)  12.(2025江苏徐州期中)已知点P是抛物线y2=16x上的动点,过P向x轴作垂线,垂足为M,记线段PM的中点为Q. (1)求点Q的轨迹方程; (2)过点F(1,0)作直线l与点Q的轨迹交于A,B两点,若△AOB的面积为(O为坐标原点),求直线l的方程. 13.(2025陕西铜川王益中学期中)动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比值为,记点M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)已知直线l:y=x+m与C相交. (i)求m的取值范围; (ii)证明:直线l被C截得的线段的中点在同一条直线上. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.4　曲线与方程 基础过关练 1.C　因为点M(x0,y0)不在直线l上,所以f(x0,y0)是不为0的常数,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是过点M(x0,y0)且与直线l平行的一条直线. 2.C　设C(x,y),由AC,BC所在直线的斜率之积等于k(k≠0),得·=k,即-=1(x≠±2), 当k=-1时,方程为x2+y2=4(x≠±2), ∴C的轨迹是圆(去掉A,B两点),故A错误; 当k<-1时,方程为+=1(x≠±2),且-4k>4, ∴C的轨迹为椭圆(去掉A,B两点),故B错误; 当-1<k<0时,方程为+=1(x≠±2),且0<-4k<4, ∴C的轨迹为椭圆(去掉A,B两点),故C正确; 当k>0时,方程为-=1(x≠±2),且4k>0, ∴C的轨迹为双曲线(去掉A,B两点),故D错误. 3.C　已知5=|3x+4y-5|, 则=. 表示点P(x,y)到点(1,1)的距离, 表示点P(x,y)到直线3x+4y-5=0的距离, 所以点P(x,y)到点(1,1)的距离等于点P(x,y)到直线3x+4y-5=0的距离, 又点(1,1)不在直线3x+4y-5=0上, 所以动点P的轨迹是抛物线. 4.A　由题图得,心形曲线关于y轴对称,所以不妨取-≤θ≤. 设点A(x0,y0),则x0=|OA|cos θ,y0=|OA|sin θ, 代入曲线方程可得|OA|2=1+|OA|2|cos θ|sin θ, 所以|OA|2==. 因为-≤θ≤,所以-π≤2θ≤π, 所以-≤-sin 2θ≤, 所以≤1-sin 2θ≤, 所以≤≤2,即|OA|2∈, 所以|OA|∈. 5.B　由题意得(x,y)=(2m+2n,m-n), ∴x=2m+2n,y=m-n, ∴m=,n=, ∵m2+n2=, ∴+=,即+y2=1. 6.C　连接PM,易知|PM|=|MQ|,所以|PM|+|OM|=|MQ|+|OM|=|OQ|=2>|OP|=1, 由椭圆的定义知,点M的轨迹是以O,P为焦点,长轴长为2,焦距为1的椭圆, 易知中心位于原点,焦点在y轴上,长轴长为2,焦距为1的椭圆的标准方程为+y2=1, 又点M的轨迹的中心为,所以点M的轨迹方程为+=1. 7.答案　-=1 解析　在△ABC中,由正弦定理得==,∵sin C-sin B=sin A,∴|AB|-|AC|=|BC|=1<|BC|=2,∴顶点A的轨迹是以B,C为焦点,1为实轴长的双曲线的右支(除去与x轴的交点), ∴可设此双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 由已知得2a=1,c=1, ∴a=, ∴b2=c2-a2=, ∴顶点A的轨迹方程为-=1. 易错警示　注意构成△ABC的前提条件为A,B,C三点不共线,求点的轨迹方程时要根据需要去除的点来限定变量的范围. 8.答案　y2=16x 解析　解法一:由题意知,动点M到点F的距离等于它到直线x=-4的距离, 由抛物线的定义知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线x=-4为准线的抛物线,所以点M的轨迹方程为y2=16x. 解法二:由题意可知=|x-(-3)|+1, 整理得y2-14x+6=2|x+3|. 由题意知x>-3(若x≤-3,则题中的距离差至少为7),所以点M的轨迹方程为y2=16x. 9.A　直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2),曲线C:=x-1表示以点(1,1)为圆心,1为半径,且位于直线x=1右侧的半圆[包括点(1,2),(1,0)].如图,当直线l 经过点(1,0)时,记为l1,l1与曲线C有两个交点,此时k=2;当l与半圆相切时,记为l2,由=1,得k=.由图可知,当<k≤2时,l与曲线C有两个交点. 10.ACD　对于A,设曲线C上一点的坐标为(x,y), 当(x,y)不表示原点坐标时,由已知得=a,即=a2x2y2. 因为(y,x)也满足该方程,所以曲线C关于直线y=x对称,A正确. 对于B,将(-1,-1)代入曲线方程=a2x2y2,得(1+1)3=a2,所以a=2,此时C的方程为=8x2y2,B错误. 对于C,=a2x2y2≤a2·,当且仅当x2=y2时取等号,则x2+y2≤, 所以曲线C围成的图形在圆心为O,半径为的圆内,结合图形知曲线C围成的图形的面积S<×=,C正确. 对于D,由于x2+y2≤<9,所以x∈[0,3),y∈[0,3), 由曲线C的对称性可知,要使曲线C上有5个整点,则曲线C在第一象限内有两个整点, 若曲线C过整点(1,2),则a=∈(2,6), 此时点(2,1),(-1,-2),(-2,-1),(0,0)均在曲线C上,且点(2,2),(1,1)均不在曲线C上,故存在a∈(2,6),使得曲线C有5个整点,满足题意,D正确. 11.答案　①②④ 解析　对于①,把方程+=1中的x与y互换,方程不变,所以星形线关于直线y=x对称,故①正确; 对于②,易知曲线|x|+|y|=1所围成的图形的面积为2,而|x|+|y|>|x+|y=+,所以星形线围成的图形在曲线|x|+|y|=1围成的图形的内部,所以星形线围成的图形的面积小于2,故②正确; 由+=+≥2=2|xy,得|xy|≤,当且仅当|x|=|y|时,等号成立,所以星形线上的点到x轴,y轴的距离的乘积的最大值为,故③错误; 因为x2+y2=()3+()3=(+)(-+)=(+)[(+)2-3(xy]=1-3(xy≥1-3=,所以星形线上的点到原点的距离的最小值为=,故④正确. 12.解析　(1)设Q的坐标为(x,y),则P的坐标为(x,2y), 又P点在抛物线y2=16x上,所以(2y)2=16x,即y2=4x,所以点Q的轨迹方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4, S△AOB=|OF||y1-y2|= ==,解得m=±, 所以直线l的方程为x=±y+1,即y=±(x-1). 13.解析　(1)根据题意可得=, 化简得+=1,即C的方程为+=1. (2)(i)由得14x2+18mx+9m2-45=0, 由Δ=(18m)2-4×14(9m2-45)>0,解得-<m<, 所以m的取值范围为(-,). (ii)证明:设直线l与C交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为(x0,y0), 证法一:由(i)中14x2+18mx+9m2-45=0,得x1+x2=-, 则x0==-,y0=x0+m=. 由消去m可得5x0+9y0=0, 所以直线l被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上. 证法二:易得直线l的斜率为=1,x0=,y0=. 因为点A,B在C上,所以 两式相减得+=0, 化简得5·+9··=0,即5x0+9y0=0, 所以直线l被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上. 7 学科网（北京）股份有限公司 $