第3章 3.3 抛物线（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件围绕抛物线展开，系统涵盖定义、标准方程、几何性质、焦点弦性质及直线与抛物线位置关系等核心知识点，通过对比椭圆、双曲线定义导入，构建“定义—方程—性质—应用”的学习支架，衔接圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于知识辨析环节引导学生质疑（如“轨迹一定是抛物线吗”）培养数学思维，典例中用定义转化距离求最值发展数学眼光，焦点弦性质多角度证明强化数学语言表达。采用问题链驱动和方法总结，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

　　我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线,点F 叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 3.3 抛物线 必备知识 清单破 知识点 1 抛物线的定义 知识点 2 抛物线的标准方程和简单几何性质 1.抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 简图         第1讲　描述运动的基本概念 性 质 焦点坐标         顶点坐标 (0,0) 准线方程 x=-  x=  y=-  y=  对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 离心率 e=1 2.p是抛物线的焦点到准线的距离,p永远大于0,p越大,开口越大. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.焦点弦的概念 　　过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦. 2.通径 　　过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物 线的通径长的为2p,是所有焦点弦中最短的弦. 第1讲　描述运动的基本概念 3.有关抛物线焦点弦的性质 　　如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均 垂直于准线l,直线AB的倾斜角为θ,则有   (1)|AB|=x1+x2+p= ; (2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2; (3)|AF|= ,|BF|= ; 第1讲　描述运动的基本概念 (4) + = ; (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (6)以AB为直径的圆与准线相切; (7)A,O,B'共线,A',O,B共线; (8)∠A'FB'=90°; (9)S△AOB= ; (10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗? 2.抛物线的离心率e越大,抛物线的开口越大吗? 3.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充要条件吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 2.不是.抛物线的离心率e为定值1,它对抛物线的形状无影响. 3.不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行(或 重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点.故为必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 抛物线标准方程的求解 1.定义法 　　先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,再根据定义求出方程. 2.待定系数法 　　其步骤如下: 　　当抛物线的位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论 不同情况的次数. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: (1)准线方程为y= ; (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; (3)经过点(-3,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设所求抛物线的标准方程为x2=-2py (p>0),则 = ,解得p= , 故所求抛物线的标准方程为x2=- y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设所求抛物线的方程为x2=2my(m≠0), 由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5, 所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. (3)因为点(-3,-1)在第三象限内,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ; 若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= . 故所求抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y. 第1讲　描述运动的基本概念 　　抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化,通过转 化可以求最值、参数、距离. 定点 2 抛物线定义的应用  第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知点P是抛物线y2=-2x上的动点,则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 (　    ) A. 　　　　    B.3　　　　    C. 　　　　    D.  (2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　     　　　    . A x2=-12y 思路点拨    (1)记抛物线的焦点为点F,求|PM|与P到准线的距离之和的最小值,即求|PM|+|PF| 的最小值. (2)将条件转化为抛物线的定义,利用定义解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由抛物线的定义知,点P到准线x= 的距离|PD|等于点P到焦点F 的距离|PF|, 因此点P到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到 点F 的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F 的距离(当点P位于P'的位置,即P'在 线段MF上时),故所求距离之和的最小值为 = .   (2)设动圆圆心M(x,y),由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,且点C不在直线 y=3上. 由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y. 第1讲　描述运动的基本概念 　　解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的性质,并灵活运用.这些性质一般是 针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用中,有些抛物线的方程可能不是这种 形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用. 定点 3 抛物线的焦点弦问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF| =3|NF|,则k=　　　    . 解析    解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S,设| NF|=m(m>0),由题意得|MF|=3m.由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,所以|MS|=2m,|MN|=m+3m =4m,则sin∠MNS= = ,即∠MNS= ,故直线l的倾斜角为 ,所以k=tan = . 解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 由于|MF|= ,|NF|= , 且|MF|=3|NF|,所以 = , 解得cos θ= ,所以θ= , 所以k=tan θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 解法三:抛物线y2=4x中,p=2, 所以 + = =1, 又因为|MF|=3|NF|, 所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= . 设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ , 所以 = ,解得sin θ= (负值舍去), 所以θ= ,故k=tan θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 　　研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般 是联立直线与抛物线的方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不 求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. 定点 4 直线与抛物线的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3. (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)过点(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点 D,是否存在这样的直线l,使得DE∥AF?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 思路点拨    (1)根据抛物线的定义可以得到关于p的关系式,进而求解. (2)从DE∥AF出发,我们可以从两个角度展开求解,思路一:利用斜率相等;思路二:由平行得到 比例关系,进而求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3, 所以根据抛物线的定义可得1+ =3,解得p=4, 所以y2=8x,所以准线方程为x=-2. (2)存在. 显然直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 消去y得k2x2+(2k2-8)x+k2=0. 由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- <k< , 所以- <k< 且k≠0. 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2=1. 第1讲　描述运动的基本概念   解法一:直线BF的方程为y= (x-2). 因为xD=-1,所以yD= ,所以D . 因为DE∥AF, 所以直线DE与直线AF的斜率相等. 又E(-4,-3k),所以 = , 第1讲　描述运动的基本概念 整理得k= + ,即k= + , 化简得1= + , 即1= ,即x1+x2=7. 所以 =7,整理得k2= ,解得k=± . 经检验,k=± 符合题意. 所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1). 解法二:因为DE∥AF,所以 = , 所以 = , 第1讲　描述运动的基本概念 整理得x1x2+x1+x2=8,即 =7, 整理得k2= ,解得k=± . 经检验,k=± 符合题意. 所以存在满足题意的直线l,直线l的方程为y= (x+1)或y=- (x+1). 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l 交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D. (1)若点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形,求C的方程; (2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0) ,点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且 AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求出点P到直线AB的距离d的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知F ,|FA|=3+ ,则D(3+p,0), 则线段FD的中点坐标为 ,则 + =3,解得p=2,故C的方程为y2=4x. (2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2), 由 消去x,得y2-4my-4x0=0, 因为x0≥ ,所以Δ=16m2+16x0>0, 故y1+y2=4m,y1y2=-4x0. 设点P的坐标为(xP,0),则 =(x2-xP,-y2), =(x1-xP,y1). 由题知 ∥ , 所以(x2-xP)·y1+(x1-xP)·y2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即(y1+y2)xP=x2y1+x1y2= = , 因为y1+y2=4m≠0,所以xP= =-x0, 所以点P的坐标为(-x0,0). 由题知△EPB为等腰直角三角形, 所以kAP=1,即 =1,即 =1, 所以y1-y2=4, 所以(y1+y2)2-4y1y2=16, 即16m2+16x0=16,故m2=1-x0, 所以x0<1, 第1讲　描述运动的基本概念 又因为x0≥ ,所以 ≤x0<1. d= = = , 令 =t,则t∈ ,x0=2-t2,所以d= = -2t. 易知y= -2t在 上单调递减,所以d∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结 　　求解范围问题的常用方法:(1)利用判别式来构造不等式,从而确定参数的取值范围;(2)利 用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心在于建立两个参数之间的等量关 系;(3)利用隐含的或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的范围;(4)利用基本不等式求 出参数的取值范围等. 第1讲　描述运动的基本概念 $