第3章 习题课 圆锥曲线中的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线中的综合问题，系统梳理范围与最值、定值与定点、探索性三大核心题型。以椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质为基础，结合直线与圆锥曲线位置关系，通过代数法（联立方程、韦达定理）和几何法（定义、图形性质）构建解题支架，形成从基础到综合的学习脉络。 该资料以例题解析为核心，配套反思感悟提炼方法（定义法、函数法等），跟踪训练与课时对点练强化应用。通过例1求斜率范围、例2证定值等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理运算、用数学语言表达规律的核心素养，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

习题课　圆锥曲线中的综合问题 学习目标　1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题. 一、范围与最值问题 例1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，-1)在C上. (1)求椭圆的方程； (2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围. 解　(1)由题意，得解得 ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)当直线l的斜率为0时，AP的斜率k=0. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为 x=my+1， 联立方程组 得(m2+4)y2+2my-3=0. Δ>0显然成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 则y1+y2=-， ∴y0=-， 则x0=my0+1=-+1=， 而点A的坐标为(-2，0)， ∴直线AP的斜率k==. ①当m=0时，k=0. ②当m≠0时，|k|==. ∵=|2m|+≥4， 当且仅当|2m|=时，等号成立. ∴0<≤， 从而-≤k≤且k≠0. 综上所述，斜率k的取值范围是. 反思感悟　圆锥曲线中最值与范围的求法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练1　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值. 解　(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)， 可得c=2，又离心率为， ∴a=，b2=a2-c2=6-4=2， ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题可知kPF==m， ∴kAB=-， 故直线AB的方程为y=-(x-2)， 即x=-my+2， 由可得(3+m2)y2-4my-2=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=， ∴|y1-y2|= ==， ∴△OAB的面积 S=×|OF|×|y1-y2|=， 令t=>1， ∴S==≤=， 当且仅当=t，即t=，m=1时取等号， ∴△OAB面积的最大值为. 二、定值与定点问题 例2　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值. (1)解　∵虚轴长为4，∴2b=4，即b=2， ∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线， ∴=2，∴a=1， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)证明　由题意知，A(-1，0)， B(1，0)， 由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x=ny+2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 得(4n2-1)y2+16ny+12=0， ∴y1+y2=-， y1y2=， ∴ny1y2=-(y1+y2)， ∵直线MA的斜率k1=， 直线NB的斜率k2=， ∴=== ==-，为定值. 反思感悟　(1)定值问题的基本思路 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在推理、计算的过程中消去变量，从而得到定值. (2)定点问题的基本思路 ①把方程中的变量x，y看作常数，将方程一端化为零，这个方程要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是要求的定点. ②由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0，m). ③从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关. 跟踪训练2　已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2. (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明：直线l过定点. (1)解　设M(x0，2)，则 解得∴抛物线C：y2=2x，M(2，2). (2)证明　由题意知，直线l的斜率不为零， 可设l：x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2-2my-2n=0， ∴Δ=4m2+8n>0，即m2+2n>0， ∴y1+y2=2m，y1y2=-2n. kMA===， 同理kMB=，又MA⊥MB， ∴kMA·kMB= ===-1， 则n=2m+4(此时m2+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4>0成立)， ∴直线l：x=my+2m+4=m(y+2)+4， 当y=-2时，x=4，∴直线l恒过定点(4，-2). 三、探索性问题 例3　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于原点O，椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解　(1)由题意知，圆心在直线y=-x上， 设圆心坐标是(-p，p)(p>0)， 则圆的方程为(x+p)2+(y-p)2=8， 由于点O(0，0)在圆上，∴p2+p2=8，解得p=2， ∴圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a=10，a=5， ∴椭圆右焦点为F(4，0). 假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|=|OF|， 则有且m2+n2≠0， 解得 故圆C上存在满足条件的点Q. 反思感悟　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 跟踪训练3　已知直线x+y+=0与椭圆E：+y2=1有且只有一个公共点. (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　(1)联立 消去y得(1+a2)x2+2a2x+2a2=0， ∵直线x+y+=0与椭圆E：+y2=1有且只有一个公共点， ∴Δ=(2a2)2-8a2(1+a2)=0， 解得a2=2， 即椭圆E的方程为+y2=1. (2)假设存在实数λ， 使椭圆E上存在不同两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称， 设lPQ：x+2y+t=0， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 消去x得6y2+4ty+t2-2=0， 则Δ=16t2-24(t2-2)>0， 解得-<t<， 由根与系数的关系得y1+y2=-， ∴x1+x2=-2(y1+y2)-2t=-， ∴2×--λ =-+-λ=--λ=0， ∴λ=-∈， ∴存在实数λ，使椭圆E上存在不同的两点P，Q关于直线2x-y-λ=0对称， 且λ的取值范围是. 1.知识清单： (1)范围与最值问题. (2)定点与定值问题. (3)探索性问题. 2.方法归纳：定义法、函数法、整体代换法. 3.常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确. 1.已知点P是椭圆C：+=1上一点，M，N分别是圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4上的点，那么|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.15 B.16 C.17 D.18 答案　C 解析　如图，椭圆C：+=1中的a=10，b=8，所以c=6， 圆(x-6)2+y2=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M，N为如图所示的位置时， |PM|+|PN|的最小值为2a-(2+1)=17. 2.直线l与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=，则l的横截距(　　) A.为定值-3 B.为定值3 C.为定值-1 D.不是定值 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则·=.∴=， ∴y1y2=6，设直线l：x=my+b，代入抛物线方程可化为y2-2my-2b=0， ∴y1y2=-2b，∴-2b=6，∴b=-3，∴l的横截距为-3. 3.已知A为椭圆+y2=1的上顶点，P为椭圆上一点，则|PA|的最大值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　B 解析　由题意可知A(0，1)，设P(x，y)， 由+y2=1可得x2=7-7y2，-1≤y≤1， 则|PA|= = =， 因为-1≤y≤1， 可知当y=-时， |PA|的最大值为=. 4.已知圆O：x2+y2=4与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A，B两点，若|AB|=2，则p=　　　　.  答案　2 解析　由抛物线y2=2px(p>0)的准线为l：x=-， 圆x2+y2=4的圆心为O(0，0)，半径r=2， 则圆心O到准线l的距离d=， 则|AB|=2=2=2， 解得p=2. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知P为抛物线y2=4x上一点，Q为圆(x-6)2+y2=1上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.-1 B.2- C.2-1 D.21-4 答案　C 解析　设点P的坐标为， 圆(x-6)2+y2=1的圆心坐标为A(6，0)， ∴|PA|2=+m2 =(m2-16)2+20≥20， ∴|PA|≥2， ∵Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点， ∴|PQ|的最小值为2-1. 2.已知M(x0，y0)是双曲线C：-y2=1上的一点，F1，F2分别是C的左、右两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为F1(-，0)，F2(，0)，-=1， 所以·=(--x0，-y0)·(-x0，-y0)=+-3<0， 即3-1<0， 解得-<y0<. 3.已知点A(-2，2)为抛物线C：x2=2py上一点，P为C上不同于点A的一个动点，过P作PA的垂线与C交于另一点B，则点B的横坐标的取值范围是(　　) A.(-∞，-6]∪[2，+∞) B.(-∞，-2)∪[6，+∞) C.(-∞，-6)∪(2，+∞) D.(-∞，-2)∪(6，+∞) 答案　A 解析　因为A(-2，2)为抛物线C上一点，所以(-2)2=4p，解得p=1，所以x2=2y. 设B，P，由题意知直线PA，PB的斜率均存在且均不为0， 由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即×=-1，化简得+(x1-2)x2+4-2x1=0， 则关于x2的方程一定有解，故Δ=(x1-2)2-4(4-2x1)≥0，即+4x1-12≥0，解得x1≤-6或x1≥2. 4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E：+=1的一个焦点重合，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM，ON，与C分别交于M，N，则直线MN过定点(　　) A.(4，0) B.(-4，0) C.(-1，0) D.(1，0) 答案　A 解析　由椭圆E的方程知，其焦点坐标为(±1，0)，又抛物线C的焦点F(p>0)，∴=1，解得p=2，则抛物线C的方程为y2=4x，由题意知，直线MN斜率不为0，可设直线MN的方程为x=my+t，由得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t>0，即m2+t>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4t，∴x1x2==t2，∵OM⊥ON，∴·=x1x2+y1y2=t2-4t=0，解得t=0或t=4，又M，N与坐标原点O不重合，∴t=4，∴直线MN的方程为x=my+4，∴当y=0时，x=4，∴直线MN恒过定点(4，0). 5.已知双曲线F：-=1(a>0，b>0)的离心率为3，斜率为-2的直线l1分别交F的左、右两支于A，B两点，直线l2分别交F的左、右两支于C，D两点，l2∥l1，AC交BD于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则其方程为(　　) A.4x+y=0 B.4x+3y=0 C.x+4y=0 D.x+2y=0 答案　A 解析　由题得==-1=8， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，E(x0，y0)，AB的中点M(xM，yM)，CD的中点N(xN，yN)，则 得=， 所以=·=·=-2，所以yM=-4xM， ① 同理得yN=-4xN， ② 因为AB∥CD，则E，M，N三点共线，所以=， 将①②代入得=，即(xM-xN)(4x0+y0)=0， 因为直线l的斜率存在，所以xM≠xN， 所以4x0+y0=0，即点E在直线4x+y=0上. 6.已知A，B是抛物线C：x2=4y上不同的两点，O为坐标原点，若·=0，M(4，0)在直线AB上的射影为H，则|OH|的最大值是(　　) A.2 B. C.2 D.4 答案　D 解析　显然直线AB的斜率存在，设直线AB：y=kx+b， 由∴x2-4kx-4b=0， 由Δ>0得k2+b>0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1+x2=4k，x1x2=-4b，由⊥， 得x1x2+y1y2=0，即x1x2+·=0， 得x1x2=-16，即-4b=-16，∴b=4， 从而直线AB恒过点(0，4)，记Q(0，4)， ∵MH⊥AB于H，∴H在以QM为直径的圆上， 其方程为(x-2)2+(y-2)2=8，点O在该圆上， ∴|OH|的最大值为该圆的直径4. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，则(　　) A.|PF1|+|PF2|-|F1F2|=4- B.|PF1||PF2|的最大值为8 C.|+|的取值范围是[2，4] D.·的取值范围是[-2，1] 答案　CD 解析　由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，则|PF1|+|PF2|-|F1F2|=4-2，A错误； |PF1||PF2|≤=4，当|PF1|=|PF2|=2时，取等号，B错误； F1(-，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则-2≤x≤2，y2=1-，=(--x，-y)，=(-x，-y)， 则|+|=2=2，由-2≤x≤2，得2≤|+|≤4，C正确； ·=x2-3+y2=x2-2，由-2≤x≤2，得-2≤·≤1，D正确. 8.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　) A.△PF2Q的周长为4 B.|PF1|的取值范围是[1，3] C.|PQ|的最小值是3 D.若点M，N在椭圆上，且线段MN的中点为(1，1)，则直线MN的斜率为- 答案　BCD 解析　由题意可知椭圆的长轴长为2a=4，左焦点F1(-1，0)， 由椭圆的定义可知=|PF2|+|QF2|+|PQ|=|PF2|+|QF2|+|PF1|+|QF1|=4a=8，故A错误； 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|PF1|===|x1+4|， 易知x1∈[-2，2]，则x1+4∈[2，6]，|x1+4|∈[1，3]，故B正确； 若PQ的斜率存在，不妨设其方程为y=kx+k， 联立得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，则 所以|PQ|==·=3+>3， 若PQ的斜率不存在，则其方程为x=-1，与椭圆联立易得|PQ|=3， 显然当PQ的斜率不存在时，|PQ|min=3，故C正确； 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，易知 所以+=0， 所以-=·=·kMN， 因为MN的中点为(1，1)，则x3+x4=y3+y4=2， 所以kMN=-，故D正确. 9.已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(　　) A.存在点M，使∠AMB=120° B.·=2· C.·的最小值为- D.△FMN周长的最大值为8 答案　BCD 解析　对于A，∠AMB最大时，点M位于上顶点或下顶点，此时tan∠AMO===<，故∠AMO<60°，则∠AMB=2∠AMO<120°，故A错误； 对于B，设M(m，n)，则T(m，0)，N(m，-n)，且+=1，即4-m2=2n2，又A(-2，0)，B(2，0)， 则·=(-2-m，0)·(2-m，0)=-(2+m)(2-m)=-(4-m2)=-2n2， 又2·=-2n2，故·=2·，故B正确； 对于C，F(-，0)，·=(m+，n)·(m+，-n)=(m+)2-n2=(m+)2-=+2m，-2<m<2， 则当m=-时，·取最小值为-，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为F'， △FMN的周长为|MF|+|NF|+|MN|=4-|MF'|+4-|NF'|+|MN|=8-(|MF'|+|NF'|-|MN|)≤8， 当且仅当M，N，F'三点共线时，等号成立，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知P为双曲线C：x2-=1右支上的一个动点，若点P到直线y=2x+5的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　　　.  答案　(-∞，] 解析　双曲线C的渐近线方程为y=±2x， 直线y=2x+5与其中一条渐近线y=2x平行， 二者之间的距离d==， 由题意知点P到直线y=2x+5的距离大于， 所以m≤， 即实数m的取值范围为(-∞，]. 11.在抛物线y2=4x上有不同的两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB的斜率之和为1，则直线AB必经过定点　　　　　　.  答案　(0，4) 解析　设直线AB的方程为x=ty+b(b≠0)， 并代入抛物线方程，消去x得y2-4ty-4b=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=4t，y1y2=-4b， ∴kOA+kOB=+= = ==-=1， ∴b=-4t，所以直线AB的方程为x=ty-4t=t(y-4)，过定点(0，4). 12.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则+的最小值是　　　　.  答案　 解析　由题意得=，b=1，解得a=2，c=， 于是|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以+ = =≥(5+2)=， 当且仅当|PF2|=2|PF1|，即|PF2|=，|PF1|=时等号成立. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知△AOB的顶点O为抛物线y2=2x的顶点，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. (1)求证：直线AB必过一定点；(6分) (2)求△AOB面积的最小值.(7分) (1)证明　设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0)， 则直线OB的方程为y=-x. 由得A， 由得B(2k2，-2k). ∴AB所在直线方程为(y+2k)=(x-2k2)， 化简得x-y-2=0， ∴直线过定点P(2，0). (2)解　由于直线AB过定点P(2，0)， ∴可设直线AB的方程为x=my+2， A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得y2-2my-4=0. 则Δ=(2m)2-4×(-4)=4m2+16>0， ∴y1+y2=2m，y1y2=-4， ∴|y1-y2|===. ∴S△AOB=|y1|·|OP|+|y2|·|OP| =·|OP|·|y1-y2|=|y1-y2| =≥4(当且仅当m=0时取“=”). ∴当m=0时， △AOB面积的最小值为4. 14.(14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，且过焦点垂直于x轴的弦长为1，左顶点为B，定点C(4，0)，过点C作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，直线BP，BQ分别与y轴交于M，N两点. (1)求椭圆的方程；(5分) (2)试探究|OM|·|ON|是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由.(9分) 解　(1)由已知得=， 即=， 即=⇒a=2b， 由题意知椭圆过点， 则+=1， 解得b=1， ∴a=2，b=1， ∴椭圆的方程为+y2=1. (2)设PQ：x=my+4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ⇒(m2+4)y2+8my+12=0， Δ=(8m)2-4(m2+4)×12=16m2-192>0， 即m2>12， y1+y2=，y1y2=， 又B(-2，0)，∴直线BP的方程为y=(x+2)， 令x=0，得yM=， 同理，yN=， ∴|OM|·|ON|=|yM·yN|=· = = = ===， ∴|OM|·|ON|为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $