3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 本同步练习通过“基础过关练”与“能力提升练”分层设计，覆盖抛物线几何性质、直线与抛物线位置关系及综合应用，梯度从概念理解到实际建模，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|抛物线定义、焦点准线、直线与抛物线相交|选择填空直接考查概念（如点到准线距离），解答题训练基本运算（如弦长计算）| |能力提升练|抛物线综合应用、跨知识整合（与椭圆/圆）、实际问题|多选题深化推理（如焦点弦中点），应用题体现数学眼光（如工业凹槽半径），综合题培养模型观念（如花灯设计）|

3.3.2　抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一　抛物线的几何性质 1.(多选题)(2024河南焦作月考)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可以为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.9　　　　　D.18 2.已知抛物线C的顶点位于坐标原点,焦点F在x轴正半轴上,点M为圆O:x2+y2=12与C的一个交点,且|MF|=3,则C的标准方程是(　　) A.y2=2x　　　　　B.y2=3x C.y2=4x　　　　　D.y2=6x 3.(2024福建厦门期末)等边三角形的一个顶点与原点重合,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.2　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.4 4.(2023江西三新协同教研共同体期中)已知抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 5.(多选题)(2024云南昆明一中月考)已知抛物线C的顶点位于原点,关于x轴对称,且经过点(1,2),焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,过点B作l的垂线,垂足为H,若=3,则(　　) A.||=　　　　　B.||=4　　　　　 C.||=3||　　　　　D.||=4|| 6.顶点位于原点,对称轴为y轴且经过点(4,1)的抛物线,其准线与对称轴的交点坐标是　　　　.   题组二　直线与抛物线的位置关系 7.过点P(2,2)作抛物线y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,则弦AB所在直线的方程是(　　) A.x-y=0　　　　　B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0　　　　　D.x+2y-6=0 8.(2025江苏淮安高中校协作体期中联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,则+的值为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 9.(多选题)(2025浙江宁波中学期中)已知抛物线x2=y的焦点为F,准线为l,弦PQ过点F,则下列说法正确的是(　　) A.焦点F的坐标为 B.准线l的方程为x=- C.若P(x0,y0),则|FP|=y0+ D.|PQ|≥1 10.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　) A.1条　　　　　B.2条　　　　　C.3条　　　　　D.4条 11.(2025广东广州月考)已知抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且与x轴相交于点B,O为坐标原点,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,则M的标准方程为　　　　.  12.(2025山东菏泽期中)已知过点(2,2)的抛物线的方程为y2=2px(p>0),过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=12. (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程; (2)求AB所在直线的方程. 13.在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线x2-=1的渐近线的距离为. (1)求该抛物线的方程; (2)设抛物线的准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的中垂线交x轴于点N,求点N的横坐标的取值范围. 题组三　抛物线的综合应用 14.下列图形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)表示的图形的是(　　) 15.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1.两栋建筑的第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30 m,如图2,则此抛物线的顶点O到连桥AB的距离为　　(　　) A.180 m　　　　　B.200 m C.220 m　　　　　D.240 m 16.(2024四川雅安期末)已知过圆锥曲线(除圆外)的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中,也称圆的直径为通径.已知圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,则p=　　　　.  能力提升练 题组一　抛物线的几何性质 1.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为且经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线l交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　) A.p=2　　　　　 B.F为AD的中点 C.|BD|=2|BF|　　　　　D.|BF|=2 2.(2025江西南昌莲塘第一中学期中)一个工业凹槽竖直方向上的截面的一部分图形可看作抛物线的一部分,其方程为x2=4y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的半径的最大值为(　　) A.　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D. 3.已知抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,点P是l上一点,过点P作PF的垂线交x轴的正半轴于点A,AF交抛物线于点B,PB与y轴平行,则|FA|=　　　　.  题组二　直线与抛物线的位置关系 4.(2024河南信阳月考)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PA|=m|PF|,则m的最大值是(　　) A.1　　　　　B.　　　　　C.2　　　　　D.4 5.(多选题)(2025陕西西安期中联考)已知O为坐标原点,点A(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,抛物线的焦点为F,过点B(0,-1)的直线l交抛物线C于P,Q两点(点P在点Q的下方),则　　(　　) A.直线AB与抛物线C相切 B.·=6 C.若P是线段BQ的中点,则2|PF|=|QF| D.存在直线l,使得|PF|+|QF|=2|BF| 6.(2024浙江A9协作体月考)已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于抛物线的准线,垂足为N,则+的最小值是　　　　.  7.(2024浙江绍兴诸暨中学期中)设抛物线E:y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线AB垂直于x轴时,|AB|=2. (1)求抛物线E的标准方程; (2)如图,已知点P(1,0),直线AP,BP分别与抛物线E交于点C,D. ①求证:直线CD过定点; ②求△PAB与△PCD面积之和的最小值. 题组三　抛物线的综合应用 8.(2024江苏南京一中月考)斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=9相切于点M,且M为线段AB的中点,则k=(　　) A.±　　　　　B.± C.±　　　　　D.± 9.(多选题)(2025浙江新高考研究预测)某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型,其平面图中有一条轮廓线C,平面内动点P到定点F(0,5)的距离与到定直线y=1的距离之和为6,点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的有(　　) A.点(3,4)在曲线C的内部 B.曲线C关于y轴对称 C.若点(x0,y0)在C上,则-2≤x0≤2 D.直线y=x+3被曲线C截得的线段长为8 10.扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常可以在大街小巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它的外围轮廓是由两段形状完全相同的抛物线绕着它们共同的对称轴旋转而来的(如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,|AB|=8分米,其内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且|AC|=2分米,若球心C到四周轮廓上的点的最近距离在下顶点A处取得,建立适当的坐标系可得以A为顶点的抛物线的方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是　　　　.  11.(2024上海曹杨二中月考)如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于点M(B,M不同于A). (1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 基础过关练 1.BD　由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=-.设点M(x1,y1),∵点M在抛物线上,∴=2px1. ∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可以为18或2. 2.C　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),连接MO,则|MO|=2,过M作MM1垂直于准线于M1,交y轴于M2, 因为|MF|=3=xM+,所以|M2M|=xM=3-,所以|M2O|=yM==,在Rt△OMM2中,+=|MO|2,即6p-p2+=12,所以p=2,所以C的标准方程为y2=4x. 3.D　设该等边三角形的边长为2a,a>0, 假设等边三角形的一个顶点与坐标原点O重合,由图可知等边三角形的另外两个顶点关于x轴对称,可设另外两个顶点分别是A(a,a),B(a,-a), 把(a,a)代入抛物线方程,得a2=2a,解得a=2, 所以等边三角形的边长为4. 4.D　易知抛物线C的方程为y2=2x,准线方程为x=-,由抛物线的定义得|PF|=xP+=4,解得xP=,所以|yP|==,所以△POF的面积S=|OF||yP|=. 5.BC　易得抛物线C的方程为y2=4x,则焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1, 设准线l与x轴交于点M,如图, ∵=3,∴由△ABH与△AFM相似得==, 易得|FM|=2,∴|BH|=×2=,即||=,故A错误; 由抛物线的定义得|BF|=|BH|,∴|AF|=3|BF|=3|BH|=4,即||=4,||=3||,故B,C正确,D错误. 6.答案　(0,-4) 解析　依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),因为抛物线过点(4,1),所以42=2p,解得p=8,则抛物线的准线方程为y=-4,故准线与对称轴的交点坐标是(0,-4). 7.A　易知弦AB所在直线的斜率存在,且不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,联立消去y并整理得k2x2+[2k·(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,易知Δ>0,则x1+x2=-,∵P为弦AB的中点,∴-=4,解得k=1.∴所求的直线方程为y=x,即x-y=0. 8.A　由抛物线的焦点F到准线的距离为2,得p=2, 则抛物线的方程为y2=4x,F(1,0), 所以直线l:y=2(x-1),即y=2x-2, 设直线l与抛物线的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y并整理得x2-3x+1=0, 易知Δ>0,则x1+x2=3,x1x2=1, 由抛物线的定义可知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 所以+=+==1. 9.CD　由x2=y可得2p=1,故p=,所以焦点F的坐标为,A错误; 准线l的方程为y=-,B错误; 当P的坐标为(x0,y0)时,|FP|=y0+=y0+,C正确; 易知弦PQ所在直线的斜率存在,设该直线的方程为y=kx+,联立得x2-kx-=0, Δ=k2+1>0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=k, 所以y1+y2=k(x1+x2)+=k2+,故|PQ|=y1+y2+p=k2+1≥1,D正确. 10.C　当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,满足与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率为0时,直线l:y=2,满足与抛物线y2=2x有且只有一个交点;当直线l的斜率存在且不为0时,若直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),与抛物线方程联立,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,所以直线的方程为y=x+2. 综上,满足条件的直线l共有3条. 11.答案　y2=8x 解析　如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则=, 因为|BO|=p,|BF|=p, 所以=,解得|BC|=p(负值舍去), 所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直线OA的斜率为,故直线OA的方程为y=x, 联立解得或故A(p,p), 所以|AF|=xA+p=p=6,故p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x. 12.解析　(1)因为点(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上, 所以(2)2=2×2p,所以p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1. (2)设直线AB的方程为x=my+1, 联立消去x得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4, 因为|AB|=12,所以|AB|=|y1-y2|=·=4(1+m2)=12,解得m=±, 所以AB所在直线的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 13.解析　(1)易知F,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则F到渐近线的距离d==,解得p=2, ∴抛物线的方程为y2=4x. (2)由(1)知M(-1,0),则直线l的方程为y=k(x+1),k≠0. 联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 则Δ=4(k2-2)2-4k4>0, 所以0<k2<1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0), 则x3==-,y3=k=. ∴直线PN的方程为y=-+, 令y=0,得x0=1+. 又∵k2∈(0,1),∴x0>3. ∴点N的横坐标的取值范围为(3,+∞). 14.D　方程ax+by2=0可化为y2=-x,表示焦点在x轴上的抛物线,故B错误;若方程ax2+by2=1表示椭圆,则a>0,b>0,所以-<0,抛物线应开口向左,故A错误;若方程ax2+by2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则a<0,b>0,所以->0,则抛物线应开口向右,故C错误,D正确. 15.B　以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示, 设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由题得D(15,t)(t<0),则点B(30,-150+t), 由B,D在抛物线上,得解得 所以抛物线的顶点O到连桥AB的距离为150+50=200(m). 16.答案　2 解析　因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边, 易知抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直, 所以圆(x-2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直,且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点, 因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,-1),半径为2, 所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1), 所以抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1),则4=2p,即p=2. 能力提升练 1.ABC　设准线l与x轴交于点N.如图所示,过点A作AC⊥l于点C,AM⊥x轴于点M,过点B作BE⊥l于点E.因为直线l的斜率为,所以tan∠AFM=,所以∠AFM=,又因为|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=2,所以A,将点A的坐标代入抛物线方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2, 故△AMF≌△DNF,故F为AD的中点, 又因为∠BDE=,所以|BD|=2|BE|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=. 2.C　设清洁钢球的球心为A(0,b)(b>0),P(x,y)是抛物线上任一点,显然y≥0, 由题意得以A为圆心的圆能过原点且不超出抛物线,则|PA|的最小值是|OA|, |PA|== ==, 所以y=b-2时,|PA|取得最小值. 若b-2>0,则P点不可能是原点,即抛物线的顶点,不合题意; 若b-2≤0,即0<b≤2,则y=0时,|PA|min=b,此时圆A的半径的最大值是2. 综上,清洁钢球的半径的最大值为2. 3.答案　6 解析　由题意得焦点为F(0,2),准线方程为y=-2, 设P(m,-2)(m>0),∴kPF==-. ∵PF⊥PA,∴kPA=,∴直线PA的方程为y+2=(x-m),令y=0,解得x=+m,即A, ∵PB与y轴平行,且B点在抛物线上, ∴可设B,∵F,A,B三点共线,∴=, 即m4+8m2-128=0,解得m=2或m=-2(舍去), ∴A(4,0),∴|FA|==6. 4.B　易得抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故A(0,-1).不妨设点P在第一象限内或为原点,过P作准线y=-1的垂线,垂足为E,则|PE|=|PF|,故===sin∠PAE. 当直线AP与抛物线相切时,∠PAE最小,且0<∠PAE≤. 当∠PAE=时,点P与点O重合,此时m=1;当0<∠PAE<时,直线AP的斜率存在,设直线AP:y=kx-1,由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直线AP与抛物线相切时,∠PAE=,故的最小值为,即m的最大值为. 5.AC　因为点A(2,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,所以4=2p,解得p=2,即抛物线的方程为x2=4y,焦点为F(0,1). 对于A,直线AB的方程为=,即y=x-1, 联立解得所以直线AB与抛物线C相切于点A(2,1),故A正确; 对于B,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不合题意, 所以直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1, 由得x2-4kx+4=0,则Δ=16k2-16>0,即k<-1或k>1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4, 又y1y2=·=(x1x2)2=×42=1, 所以·=x1x2+y1y2=5,故B错误; 对于C,易得|PF|=y1+=y1+1,|QF|=y2+=y2+1, 因为P是线段BQ的中点,所以y1=,整理得2(y1+1)=y2+1,即2|PF|=|QF|,故C正确; 对于D,若|PF|+|QF|=2|BF|,则(y1+1)+(y2+1)=2×|1-(-1)|=4,即y1+y2=2, 所以2=y1+y2=k(x1+x2)-2=k·4k-2=4k2-2,即4k2=4,解得k=±1,此时Δ=16k2-16=0,则直线l与抛物线相切,故D错误. 6.答案　4 解析　由题意可知,直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my+1,另设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM), 将x=my+1与y2=4x联立,消去x可得y2-4my-4=0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2, 所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==2m,xM==1+2m2,故M(1+2m2,2m), 易得准线方程为x=-1,F(1,0),N(-1,2m), 所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|>4, 所以+=+≥2=4,当且仅当=,即|AB|=8时取等号. 7.解析　(1)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,x1=,代入抛物线方程得y1=±p,则|AB|=2p,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E:y2=2x. (2)①证明:设C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB:x=my+, 联立消去x得y2-2my-1=0,因此y1+y2=2m,y1y2=-1. 设直线AC:x=ny+1,联立消去x得y2-2ny-2=0,因此y1+y3=2n,y1y3=-2,则y3=. 同理可得y4=, 所以kCD=====-=,因此直线CD:x=2m(y-y3)+x3, 由抛物线的对称性知,定点在x轴上, 令y=0得,x=-2my3+x3=-2my3+=-2m·+=+=+=2+2=2+2·=2,所以直线CD过定点(2,0). ②记Q(2,0),因为S△PAB=|PF|·|y1-y2|=|y1-y2|, S△PCD=|PQ|·|y3-y4|====|y1-y2|, 所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥,当且仅当m=0时取到最小值. 8.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则=4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 即=,即k=,即ky0=2, 因为直线与圆相切于点M,所以=-,所以x0=3, 由M在圆上可得(x0-5)2+=9,将x0=3代入,可得y0=±,故M(3,±), 由=-,可得k=±. 9.BC　设点P(x,y),因为点P到定点F(0,5)的距离与到定直线y=1的距离之和为6,所以+|y-1|=6, 当y≥1时,=7-y,两边平方得x2=-4y+24(1≤y≤6), 当y≤1时,=5+y,两边平方得x2=20y(0≤y≤1), 对于A,如图,曲线C由两条抛物线的一部分组成, 将x=3代入x2=-4y+24(1≤y≤6),得y=<4,故点(3,4)不在曲线C的内部,A错误; 对于B,由A中图易知曲线C关于y轴对称,B正确; 对于C,若点(x0,y0)在x2=-4y+24(1≤y≤6)上,则0≤≤20,所以-2≤x0≤2, 若点(x0,y0)在x2=20y(0≤y≤1)上,则0≤≤20, 所以-2≤x0≤2,C正确; 对于D,由得 由得 故直线y=x+3被曲线C截得的线段长为 =8×(-)≠8,D错误. 10.答案　 信息提取　①花灯的纵截面是由两段相同的抛物线围成的图形;②花灯内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上. 数学建模　建立平面直角坐标系,利用抛物线的方程y=ax2(a>0)设出抛物线上的动点P(m,am2),借助|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,将问题转化为不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立问题,从而求得a的范围. 解析　由题意,以A为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示: 则A(0,0),C(0,2),由抛物线方程为y=ax2(a>0),设抛物线上任意一点P(m,am2), 则|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4. 由于|PC|的最小值是在P在A(0,0)处取得的,即m=0时,|PC|取得最小值2, 故对任意的实数m,|PC|2=a2m4+(1-4a)m2+4≥4恒成立. 令t=m2,其中t≥0,则a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立. 整理可得t(a2t+1-4a)≥0, 则a2t+1-4a≥0对任意的t≥0恒成立, 故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤. 综上,实数a的取值范围为. 11.解析　(1)当p=时,抛物线C2的焦点坐标为. (2)解法一(根与系数的关系+基本不等式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(λ≠0,m≠0), 由得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0, ∴y1+y2=,y0=,x0=λy0+m=, 由M在抛物线上,可得=,即=4p,① 由得y2-2pλy-2pm=0, ∴y1+y0=2pλ,∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m, ∴x1=2pλ2+2m-.② 由得x2+4px-2=0, ∴x1==-2p+,③ 由①②③得-2p+=2pλ2+2m·=2pλ2++8p≥16p,当且仅当λ2=2,即λ=时取等, ∴≥18p,即p2≤,故0<p≤, ∴p的最大值为,此时λ=,m=. 解法二(直接法):设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),A(x0,y0). 将直线l的方程代入椭圆C1的方程+y2=1, 得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,∴y0+yB=, ∵M为AB的中点,∴点M的纵坐标yM=-. 将直线l的方程代入抛物线C2的方程y2=2px, 得y2-2pmy-2pt=0, ∴y0yM=-2pt,∴y0=,因此x0=, 结合+=1得=2+4≥160, ∴当m=,t=时,p取到最大值,为. 解法三(点差法+判别式法):设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),其中x1+x2=2x0,y1+y2=2y0. ∵∴+-=0. 整理得·=-,∴·=-. 又=kAB=kAM=,=2px1,=2px0, ∴·=-,整理得+y1y0+8p2=0. 由题意知上述关于y0的二次方程有解,∴Δ=-32p2≥0.① 由解得x1=-2p+(负值舍去). 因此=2px1=-4p2+2p,将此式代入①式,解得p≤. 当且仅当点M的坐标为时,p的最大值为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $