第一章 全等三角形 倍长中线模型 专题讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学全等专题复习讲义通过框架图系统梳理倍长中线模型的知识体系，将基本型、中点型、中点+平行线型三种模型按“定义-题型识别-关键步骤”逻辑组织，用口诀强化辅助线作法，清晰呈现全等构造与边角转移的重难点联系。 讲义亮点在于“模型应用-变式拓展”的分层练习设计，如“已知两边及中线求取值范围”例题，引导学生通过倍长中线构造全等，培养推理意识与几何直观。每个例题附详细辅助线作法和全等证明，基础学生可掌握方法，优秀学生能拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

全等专题：倍长中线模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型‬解读‬ 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。倍长‬中线‬也‬是‬全等三角形中的重要模型‬。 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 题型识别：出现中线 口诀：三角形中有中线，倍长中线是关键，8字全等立呈现，转移边角平行线。 关键步骤：延长一倍构造全等边角关系。 三种模型分析 1.基本型​：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线。 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连接BE，则△BDE≌△CDA； 若连接EC，则△ABD≌△ECD； 2.中点型：如图2，C为AB中点。 证明思路：​若延长EC至点F，使得CF=EC，连接AF，则△BCE≌△ACF； 若延长DC至点G，使得CG=DC，则则△ACD≌△BCG； 3.中点+平行线型：如图3，AB//CD，点E为线段AD的中点。 证明思路：​延长CE交AB于点F（或交BA延长线于点F），则△EDC≌△EAF。 例题 1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 2．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 3．请阅读下列材料，完成相应的任务． 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线． 所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长-部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图①，在中，是边上的中线，若，，求的长的取值范围． 解题思路：如图①，延长到点，使，连接，则可证得（依据），得出，在中，，，，即可得到的取值范围，进一步得到的取值范围．    任务： (1)上述解题思路中的“依据”是___________（填序号） ①    ②    ③    ④    ⑤ (2)如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长．    (3)如图③，在矩形中，，点是边的中点，连接，点在直线上，且，若，请直接写出的长．    4．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 5．综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．     证明：如图2，延长至点，使． ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴ （依据）． ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务： (1)材料中的“依据”是________．（填选项） A．    B．   C．   D． (2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________． (3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长． 7．问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 8．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 9．【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． (1)补全小明的证明过程． (2)请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 10．综合与探究 数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）． ①延长到点，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系． (1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______． (2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． (3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 11．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线， ∴ 在和中， ∴（依据一） ∴， 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图，中，，D为中点， 求证：． 12．阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 证明方法如下： 证明：如图2，延长至，使， 是边上的中线， 在和中， ， 在中，， ． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： (1)如图3，，，则的取值范围是___________； (2)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 13．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 14．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．    15．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 16．请阅读下列材料，完成相应的任务． 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图1，在中，是边上的中线，延长到点H．使．连接．在和中，，，，所以，（依据），进一步可得到，等结论． 任务： (1)上述材料中的依据是______； (2)如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于点F，，求证：； (3)如图3，在中，D为边的中点，已知，，，请你直接写出的长． 17．综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 18．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， （依据1）， ， 在中，（依据2）， ． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 19．【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 20．解答下列各题： (1)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图1，在中，为的中线，若，求的范围． 倍长中线法：如图2，延长至点，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为___________； (2)【实践应用】 为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，则的长为___________； (3)【拓展探究】 如图4，为线段上一点，，分别以，为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连接，，． ①判断的形状，并证明； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连接为中点，且在同侧，连接，当点共线时，，则与的面积之和为___________． 21．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 22．综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 23．【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 25．【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 26．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作“倍长中线法”． 【方法指导】（1）如图1，在中，，点为中点，若，，求的长．为解决此问题，小张使用“倍长中线法”：如图2，延长至点，使得，连接，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则______． 【问题解决】（2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 27．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题： （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，P为的中点． （2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积； （3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：； （4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示） 28．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．    求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，    ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    29．如下表 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等， 然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形， 利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“”证明对应边之间的关系． 请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点． (1)问题发现 如图1，点在上，，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值． 王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程． 解：设，则 ； ∵是边上的中线，∴； ∵在和中， （　　） ∴ = ，∴；∴； 又∵，∴；∴= ． (2)类比探究如图2，点在的延长线上，与的延长线交于点，，求的值． (3)拓展延伸在（2）的探究结论下，若，，求的长． 30．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证：．    智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴  ∴ 在中，（依据一） ∴．    任务一：上述证明过程中的“依据一”是指：____________________； 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    31．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 32．请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到，等结论． 任务： (1)上述材料中的依据是_____________； (2)如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 (3)已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 33．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 34．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    (1)的取值范围是________； (2)【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； (3)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 35．【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《全等专题：倍长中线模型》参考答案 1．(1) (2) ，．理由如下： ， ，， ． (3) ，．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【详解】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2）略 （3）略 2．（1）， （2）证明：延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 3．(1)① (2) (3)4或 【分析】（1）根据题意可得根据，证明； （2）延长到，使，连接，证明，得出，勾股定理求得，则为以为斜边的直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解； （3）分2种情况讨论，当在线段上时，延长交直线于点，当在的延长线上时，证明，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）根据题意可得的依据是， 故选：① （2）延长到，使，连接．    ∵为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，当在线段上时，延长交直线于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴ ∴， ∵，   设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 如图所示，当在的延长线上时，    同理可得， 设，则， ∴， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握倍长中线法证明全等三角形是解题的关键． 4．(1) (2) 猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； (3) ，，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； (4) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系； （1）延长到M，使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中根据全等三角形的性质可得，，则； （3）延长到M，使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明得到，，再根据线段的和差关系和角之间的关系即可得到结论； （4）过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到；同理可证明，得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 5．（1），10，； （2）（i）证明： ， 平分． （ii） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）结合，代入数据，即可求解； （2）（i）根据等角的余角相等，即可得证； （ii）延长至点，使，连接，．证明，即可推出三点共线，根据三角形的面积公式，求得，设点到的距离为，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）（i）略 （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为， 则， ，即点到的距离为． 6．(1)A (2) (3)1 【分析】本题主要考查运用“倍长中线法”证明三角形全等，三角形三边关系以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据证明过程可得出 的依据； （2）运用倍长中线法求出，再根据三角形三边关系求出的取值范围，从而可得结论； （3）延长，交于点N，证明，得，结合角平分线定义得，得出，可求出 【详解】（1）解：根据证明过程可得 的依据是， 故选：A； （2）解：如图，延长至点，使．连接, ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴ ． ∴． 又， ∴即 ∴． （3）解：如图，延长，交于点， ∵，即， ∴ ∵点是的中点， ∴ 又 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴， ∴ ∴ 7．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）第一种辅助线做法：延长到点F，使，连接．只要证明△BEF≌△CED，即可解决问题． 第二种辅助线做法：作于点G，交延长线于点F，先证明△BEF≌△CEG，再证明△ABF≌△DCG即可． （2）延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA即可． 【详解】（1）第一种辅助线做法： 证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF， ∵E是BC的中点 ∴BE=CE 在△BEF与△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS） ∴BF=CD ， ∠F=∠CDE 又∵∠BAE=∠CDE ∴∠BAE=∠F ∴BF=AB ∴AB=CD 第二种辅助线做法： 证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E； 则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE 在△BEF与△CEG中 ∴△BEF≌△CEG （AAS） ∴BF=CG， 在△ABF与△DCG中， ， ∴△ABF≌△DCG（AAS）， ∴AB=CD ． （2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． 在△BDAˊ与△CDA中 ， ∴△BDAˊ≌△CDA （SAS） ∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD， 又∵AE=EF， ∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ， ∠Aˊ=∠BFAˊ ∴BF=BAˊ ∴BF=AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 9．(1) 对顶角相等；全等三角形的对应边相等 (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 10．(1)； (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论； （2）由（1）知，，得，根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形三边关系即可得出结论； （3）延长到N，使得，连接，同（1）的方法得出，得出，，进而判断出再证明，得出，从而可得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． （2）解：如图3，延长到，使得，连接，， 由（1）知， ， ，， ， ， ． （3）解：延长到N，使得，连接，如图4， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系．倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 11．任务一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边；任务二： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法： 任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系，可得，即可． 【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；三角形两边的和大于第三边． 任务二：由任务一得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 任务三：如图，延长至F，使，连接， 由任务一得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 12．(1) (2) 解：与的数量关系为． 理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，如图所示： ， 是中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，由三角形三边关系可得， ，， 即， ， ∴， 故答案为：； （2）略 13．(1) (2) ， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 证明：取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）略 （3）略 14． 证明：如图所示： ，是的中线， ， 在和中， ， ． 【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C （3）见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的性质即可． （2）依题意，与（1）同理，得出，再利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）先运用证明，再证明，即可作答． 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴， 又 ∴ ， ，， ∵， ∴， ， 即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴． 16．(1)或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 证明：延长到点H，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定方法判断即可； （2）延长到点H，使，连接，根据证明，再根据等腰三角形的性质和判定证明即可； （3）延长至E，使得，连接，根据证明，得，根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，且，再由勾股定理求解即可； 【详解】（1）上述材料中的依据是：或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， 故答案为：或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； （2）略 （3）延长至E，使得，连接， 在和中， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ； 17．(1)A (2)；． 【分析】（1）延长到，使，连接，根据对顶角相等，即可利用“”证明，得到答案； （2）根据全等三角形的性质，得到的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案； 延长交的延长线于点H，先利用“”证明，得到，，进而得到的长，再证明垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：A； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：如图，延长交的延长线于点H， 四边形是正方形， ， 为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，垂直平分线的性质，利用“倍长中线法”作辅助线构造全等三角形是解题关键． 18． （1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； 依据2：三角形任意两边的和大于第三边； （2）任务二：证明：如图4，延长至，使，连接， 由任务一得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由全等三角形的判定及三角形三边关系可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，可得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 19．（1）； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 20．(1)； (2)40； (3)①为等腰直角三角形，证明如下： 延长到F，使得，连接、，如图， 等腰和等腰， ，，，， ， 点是中点，， ， 又∵， ， ，， ，， ， 又∵， ， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形； ②21 【分析】（1）先证明，可得，，代入即可解答； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得出点E、C、F三点共线，，再进一步结合线段垂直平分线的性质，即可求解； （3）①延长，使得，连接、，先证明，继而证明出，则可推导出，，，即可解答；②延长，使得，连接、，证明，，进而得出为等腰直角三角形，结合共线，利用面积比与等底同高性质，求得与的面积和为． 【详解】（1）解：为的中线，，， ， ，， ， ， ∵， ∴， ； （2）解：如图，延长至点F，使得，连接， 的中点为， ， 又∵，， ， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴点E、C、F三点共线， ，， ，是等腰三角形， ； （3）解：①略； ②延长到点F，使得，连接、，如图， 等腰和等腰， ，，，， ， 点是中点，， ， 又∵， ， ，， ， ∵ ， ， 又∵， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵D，E，B共线， ∴与的底在同一直线上且等高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵与等底同高， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是运用倍长中线法构造全等三角形，将分散的边角条件集中，结合等腰直角三角形性质与面积公式，解决线段范围、长度及面积问题，是中点类几何题的通用解题思路． 21．阅读理解：； 实践应用：； 拓展探究：①为等腰直角三角形，证明： 延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰 ∴ ， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形． ② 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂直平分的判定与性质，平方差公式，正确作出辅助线是解题的关键． 阅读理解：先证明，可得，，代入即可解答； 实践应用：延长交于点F．证明，得出，，再进一步结合三线合一的性质，即可证明结论． 拓展探究：①延长，使得，连接，先证明，继而证明出则可推导出，即可解答； ②延长，使得，连接，先证明，可推导出，过点F作于点N，过点E作于点H，证明，得到， 设，有，， 即， 则 ，即可解答． 【详解】解：阅读理解： ∵CM为的中线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 实践应用：如图，延长交于点F， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴． 拓展探究：①略 ②延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰， ∴ ， ∴ ， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 过点F作于点N，过点E作于点H，有 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 即， ， ， ， ∴， 即． ∴ ． 22．(1)解：矩形，理由如下： ，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2) 解：，且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由 ，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 23．(1) (2) 证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； (3)， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．(1)B； (2)； (3) 证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 25．(1) (2) 证明：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 26．（1）； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）延长至点，使得，连接，证明，得出，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）延长至点，使得，连接，，证明，得出，，从而可得，由平行线的性质可得，由勾股定理求出，证明线段垂直平分，得出，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、；当点在射线上时；分别利用全等三角形的判定与性质并结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图2，延长至点，使得，连接， ， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）如图：当点在线段上时，延长至点使得，连接、、， ， ∵点为斜边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴线段垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当点在射线上时，延长至点使得，连接、、， ， 同理可得：，，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27．（1）； （2）； （3）证明：延长至点，使得，连接、、， ∵，， ，， ，且， ， ， ∵， ， ，， ∵， ， ， 同理可得，， ． （4） 【分析】（1）先证明，根据三角形三边之间的关系即可进行解答； （2）交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证及即可； （4）过点C作交于点M，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使． ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如下图，延长交延长线于点， ∵， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点， ， ， ，，， ， ∵， ， ， 则， ． （3）略 （4）过点C作交于点M，如图， 由（3）可知， ， ， 和互余， ， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，作出辅助线推理论证是解题的关键． 28．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边； 任务二：； 任务三：EF=2AD．理由如下： 如图延长AD至G，使DG=AD，    ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG，∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°，∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD． 【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可； 依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可． 【详解】解：任务一： 依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 任务二： 任务三：略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 29．(1)，，，， (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，， 设，则， ∵是边上的中线， ∴， ∵在和中， ， （） ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案是：，，，，． （2）解：如图所示，是边上的中线，延长至点，使得，连接， 由（1）可知（），，， ∴，， ∴， ∵，设，则， ∴，， ∴， 故答案是：． （3）解：由（2）可知，，则， 在中，，且， ∵， ∴，则， 设，则， 由得，，解方程得，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形中线变换问题，根据三角形中线性质构成三角形全等，相似，计算线段的长度，理解和掌握三角形全等、相似的性质是解题的关键． 30．任务一：三角形任意两边之和大于第三边 任务二： 任务三： 【分析】任务一：根据证明，得出，由三角形三边关系得出答案； 任务二：延长至点，使，连接，证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； 任务三：延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】任务一： 证明：延长至，使， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，（三角形任意两边之和大于第三边）， ． 故答案为，三角形任意两边之和大于第三边； 任务二： 解：如图1，延长至点，使，连接，   是中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：； 任务三： 与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点，使，连接，   是中线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，不等式的性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 31．(1) (2) ， 证明：如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (3) 证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）略 32．(1) (2)证明：延长到点．使．连接， ∵是边上的中线， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)解：．理由如下： 延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意，证明即可得解； （2）延长到点．使．连接，证明．利用等腰三角形的判定和性质证明即可． （3）延长到点．使．连接，构造运用三角形中位线定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）略； （3）略． 33．（1），； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）略 34．(1) (2) 证明：延长至点，使，连接． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； (3) ，， 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】（1）延长到，使，连接，构造，则可得．在中，根据三角形三边之间关系可得，进而可得． （2）延长至点，使，连接．构造，则可得，，进而可得，．再根据可得，则可得． （3）在的延长线上截取，连接，构造，则可得，，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得，，故． 【详解】（1）解：如图2，延长到，使，连接， ∵点为的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 即； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 35．(1) (2) (3) 证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； (4) 解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 （4）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $