重难点专训02 平面向量之极化恒等式（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训02 平面向量之极化恒等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求数量积 2 题型2 求数量积的最值与范围 3 题型3 求数量积的模或模的最值与范围 4 题型4 求参数及其他 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 1、 极化恒等式 1.推导过程 设,则,, ①, ②, 1 ②两式相减,得：. 2.平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 3.①②两式相加得：, 即. 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. 4.三角形模式：在中,设为的中点,则. 推导过程：由. 其几何意义为：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. 二、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点,连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积, 如需进一步求数量积范围,可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边,两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型通法及变式提升 题型1 求数量积 【典例1-1】（2026. 北京市顺义. 高三下二模）已知正方形的边长为2,点为中点,则__________. 【典例1-2】在中,,为中点,点在上,,,,则（    ）   A． B． C． D． 利用极化恒等式求的值的关键是取中点,利用求值. 【变式1-1】如图,是圆O的直径,P是圆弧上的点,M、N是直径上关于O对称的两点,且,则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【变式1-2】在中,是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点),且,,则的值是 ． 题型2 求向量数量积的最值与范围 【典例2-1】如图,在四边形ABCD中,M为AB的中点,且．若点N在线段CD（端点除外）上运动,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·北京市首都师大附中.高三上12月质检）如图,正六边形的边长为 ,半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心,若点 在正六边形的边上运动,动点 在圆 上运动且关于圆心 对称,则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数之间的互相转化.极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移,等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 【变式2-1】如图,已知正方形的边长为4,若动点在以为直径的半圆上（正方形内部,含边界）,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知圆与圆的半径分别为3和1,圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示,是圆的任意直径,则（    ）   A．1 B．3 C．5 D．8 题型3 求向量的模或模的最值与范围 【典例3-1】（2026·北京市日坛中学·高三下2月调研）已知圆C：,直线与圆C交于A,B两点,点P在圆C上,且,,则（   ） A． B． C． D．4 【典例3-2】（2026·北京人大附中·高三上检测）若,且,则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2026. 北京市通州区.高三下测试）如图,矩形中,,,、分别为边、上的动点,且.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中,．设,则的最小值是_______． 题型4 求参数及其他 【典例4-1】已知正方形的边长为4,点,分别为,的中点,如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有8个不同的点,使得成立,那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·北京市石景山区·高三下5月统练）在中,,,D为BC边上的中点,,则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点,当取得最小值时,的值为 . 【变式4-2】设Q是线段的中点,P是直线外一点.A,B为线段上的两点,,且, ,,则（    ） A． B． C． D． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京西城区·高三5月模拟）在长方形中,,,是边上一点,则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.圆的直径弦,点在弦上,则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3.四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·北京市海淀区教师进修学校附属实验学校·高三下3月练习）在中,,是边上的中线,且,,则（   ） A． B．20 C． D．10 5.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径, ,则（ ） A． B． C． D． 6.如图,在中,点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点,则的最小值为（    ） A． 1 B．2 C．3 D．4 7.四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________. 8.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 9.在中,是边上的中点,且,,,,则__________． 10.正方形的边长为2,点和分别是边和上的动点（与四点不重合）,且,则的取值范围为______. 创新提升 1．（2026·北京市陈经纶中学·高三考前模拟）如图所示,半圆的直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,若为半径上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·北京市十一学校·高三下3月月考）如图,圆为的外接圆,,,为边的中点,则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 3.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则(＋)的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.四边形中,点分别是的中点,,,,点满足,则的最大值为______. 5.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 平面向量之极化恒等式 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求数量积 2 题型2 求数量积的最值与范围 3 题型3 求数量积的模或模的最值与范围 5 题型4 求参数及其他 7 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 1、 极化恒等式 1.推导过程 设,则,, ①, ②, 1 ②两式相减,得：. 2.平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 3.①②两式相加得：, 即. 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. 4.三角形模式：在中,设为的中点,则. 推导过程：由. 其几何意义为：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. 二、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点,连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积, 如需进一步求数量积范围,可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边,两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型通法及变式提升 题型1 求数量积 【典例1-1】（2026. 北京市顺义. 高三下二模）已知正方形的边长为2,点为中点,则__________. 【答案】3 【解析】在边长为2的正方形,点为中点,, 所以. 【典例1-2】在中,,为中点,点在上,,,,则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中,,,,所以,则, 因为,又,由极化恒等式可得,. 故选B. 利用极化恒等式求的值的关键是取中点,利用求值. 【变式1-1】如图,是圆O的直径,P是圆弧上的点,M、N是直径上关于O对称的两点,且,则（    ） A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【解析】连结 ,则, ,, 所以 .故选C. 【变式1-2】在中,是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点),且,,则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意,在中,是BC的中点, , ∴ ∵,是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点),∴,, ∴解得∴． 题型2 求向量数量积的最值与范围 【典例2-1】如图,在四边形ABCD中,M为AB的中点,且．若点N在线段CD（端点除外）上运动,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】连接,如图,点N在线段CD（端点除外）上运动,因为,即是正三角形,于是,而M为AB的中点,且,所以.故选A. 【典例2-2】（2026·北京市首都师大附中.高三上12月质检）如图,正六边形的边长为 ,半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心,若点 在正六边形的边上运动,动点 在圆 上运动且关于圆心 对称,则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接、、、,则为的中点, 由正六边形性质得,,而, 因此 , 当且仅当与正六边形的顶点重合时,取最大值.故选B 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数之间的互相转化.极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移,等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 【变式2-1】如图,已知正方形的边长为4,若动点在以为直径的半圆上（正方形内部,含边界）,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点,连接,如图所示,所以的取值范围是,即, 又由,所以. 故选B. 【变式2-2】已知圆与圆的半径分别为3和1,圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示,是圆的任意直径,则（    ）   A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【解析】.故选. 题型3 求向量的模或模的最值与范围 【典例3-1】（2026·北京市日坛中学·高三下2月调研）已知圆C：,直线与圆C交于A,B两点,点P在圆C上,且,,则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】圆C：,半径,取中点M,则,记,,所以,在中,由勾股定理,,由极化恒等式,,代入消元得：.故选B. 【典例3-2】（2026·北京人大附中·高三上检测）若,且,则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为,所以,,即, 所以,.如图,取中点,所以,,因为,所以点在以为圆心,为半径的圆上,所以,当且仅当点与点重合时等号成立, 所以的最小值为. 【变式3-1】（2026. 北京市通州区.高三下测试）如图,矩形中,,,、分别为边、上的动点,且.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取线段的中点,连接、、,如下图所示,因为,所以, 因为四边形为矩形,则, 因为, 所以, 当且仅当与方向相反时,等号成立,故的最小值为.故选C. 【变式3-2】在平面直角坐标系中,．设,则的最小值是_______． 【答案】 【解析】因为,所以为等边三角形,设AB的中点为D,连接OD,则,所以D点轨迹是以O为圆心,为半径的圆,则方程为, 所以,因为,所以,所以的最小值为. 题型4 求参数及其他 【典例4-1】已知正方形的边长为4,点,分别为,的中点,如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有8个不同的点,使得成立,那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减,所以（可由极化恒等式直接得出）, 即,所以,由对称性可知每个边上存在两个点,所以点在边的中点和顶点之间,故,解得,故选:D 【典例4-2】（2026·北京市石景山区·高三下5月统练）在中,,,D为BC边上的中点,,则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中,由余弦定理得, 而,则, 两式联立解得,所以的面积为. 【变式4-1】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点,当取得最小值时,的值为 . 【答案】 【解析】取边的中点为,连接线段,设正三角形的边长为 则, 则当取最小值时,也取最小值, 又,此时,点在上靠近的四等分点, 在中,由余弦定理, 可得,由正弦定理可得：. 【变式4-2】设Q是线段的中点,P是直线外一点.A,B为线段上的两点,,且, ,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】； ； 联立可得.设,. 则. 因为,所以,解得.所以,点是上靠近点的三等分点, 所以 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京西城区·高三5月模拟）在长方形中,,,是边上一点,则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】取的中点,,所以当时,取得最小值,最小值为,所以的最小值为. 2.圆的直径弦,点在弦上,则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得, , 为使最小,只需,根据圆的性质可得,此时为中点时,又,因此,所以的最小值为.故选D. 3.四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意,四边形为菱形,,可得,在中,由余弦定理得到,连接和交于点,则点为的中点, 连接,,,则,, 所以．故选B. 4.（2026·北京市海淀区教师进修学校附属实验学校·高三下3月练习）在中,,是边上的中线,且,,则（   ） A． B．20 C． D．10 【答案】A 【解析】=-20. 5.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径, ,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积. 因为圆半径为1是直径,所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径,所以则 故选 B 6.如图,在中,点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点,则的最小值为（    ） A． 1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意,,且,, 所以,, 所以, 易知,当时,最小, 所以,即,解得, 故的最小值为．故选B． 7.四边形为菱形,,,是菱形所在平面的任意一点,则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设,,取的中点,连接,,, 则,, 所以. 8.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 【解析】如图所示,取的中点为点到的距离,由极化恒等式,, , 则 【例1.】 9.在中,是边上的中点,且,,,,则__________． 【答案】1 【解析】,同理可得,又,,所以,所以,,. 10.正方形的边长为2,点和分别是边和上的动点（与四点不重合）,且,则的取值范围为______. 【答案】 【解析】连接交于,由是正方形,且,可得, 所以,从而, 又因为正方形的边长为2,所以,, 则,因为, 所以, 即,因为,所以 又因为,所以当时,取到最大值, 当时,取到最小值, 所以的取值范围为. 创新提升 1．（2026·北京市陈经纶中学·高三考前模拟）如图所示,半圆的直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,若为半径上的动点,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是线段的中点,所以向量, 所以,又向量方向相反,且, 所以． 2.（2026·北京市十一学校·高三下3月月考）如图,圆为的外接圆,,,为边的中点,则（   ） A．13 B．14 C．20 D．25 【答案】D 【解析】因为为边的中点,根据向量的平行四边形法则可知,, 所以.取边中点,连接,则,所以.所以 .同理可得,. 所以. 3.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则(＋)的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 取OC中点D,由极化恒等式得 又,∴的最小值为．故选C. 4.四边形中,点分别是的中点,,,,点满足,则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.4 【解析】因为,,又点分别是的中点, 所以,所以, , 又,所以,又点分别是的中点,所以, 因为,所以, 即,设,,则,所以, 所以, 所以当即时,有最大值1,即有最大值为. 5.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【答案】4 【解析】取的中点,连接,则, 在中,, 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $