第2章 09 隐圆、辅助圆（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“隐圆、辅助圆”疑难点，核心介绍隐圆定义及用定义、垂直关系等五种定圆方法。从圆的方程基础切入，衔接圆的定义与几何性质，搭建从显性圆到隐含轨迹的学习支架。 其亮点在于通过典例解析，如用阿波罗尼斯圆求轨迹方程、参数方程解决最值问题，培养学生用数学眼光观察隐含条件，用数学思维推理轨迹形成，用数学语言表达方程转化。采用问题驱动与思维提升结合的教学方法，助力学生提升复杂问题解决能力，为教师提供清晰教学思路。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 09　隐圆、辅助圆 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 　　有些与圆有关的题目中,题设条件并没有明确给出圆的具体信息,但通过分析、转化已知条件后会 发现这些题目条件中隐含了圆的定义或圆的方程,从而可以利用圆的相关知识来求解,我们称这类问题 为隐圆、辅助圆问题. 破解隐圆、辅助圆问题的关键是定隐圆,一般有以下几种方法: ①用定义定隐圆:利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆. ②用垂直关系定隐圆:若动点P与两定点A,B的连线的夹角为直角,则动点P的轨迹为圆(不包括A,B两点). ③用向量关系式定隐圆:已知两定点A,B,若动点P 满足 · =0,则动点P的轨迹是以AB为直径的圆. ④用勾股定理定隐圆:已知两定点A,B,若动点P满足PA2+PB2=AB2,则动点P的轨迹是以AB为直径的圆. ⑤用阿波罗尼斯圆定隐圆:已知平面上两个相异的点A,B,设点P 与点A,B 在同一平面内,且满足PA=λPB, 则当λ>0 且λ≠1 时,点P的轨迹就是圆,该圆称为阿波罗尼斯圆. 第1讲　描述运动的基本概念 除了上述方法确定隐圆外,还存在“四点共圆”模型,常见的有两种情形:一是若四边形的对角互补,则 该四边形的四个顶点共圆;二是共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等(即同弧所对 的圆周角相等). 勘破疑难 隐圆、辅助圆问题的求解步骤 1.识别模型.分析题目条件,匹配模型,优先看是否出现“定点、定长”“距离的比值为定值”“斜率的 乘积为定值”“距离的平方和为定值”. 2.求隐圆的参数(圆心坐标、半径).将已知条件代数化,求出隐圆的方程. 3.转化问题,利用圆的性质解题.常见的转化方向:点与点的距离转化为点与圆心间的距离,交点问题转 化为直线与圆的位置关系,或圆与圆的位置关系问题. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知平面直角坐标系xOy中,点E( ,0),F(2 ,0),记满足PF= PE的动点P的轨迹为曲线D. (1)求曲线D的方程; (2)过点Q(3,3)向曲线D作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程; (3)若点A(-2,2),B(-2,6),C(4,-2),当点P在曲线D上运动时,求2PA2+PB2+PC2的最大值和最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设P(x,y), 由PF= PE得PF2=2PE2, 即(x-2 )2+y2=2[(x- )2+y2],整理得x2+y2=4, 故曲线D的方程为x2+y2=4. (2)由题意知,QS⊥OS,QT⊥OT, 因此S,T在以OQ为直径的圆上, 易知OQ的中点坐标为 ,OQ=3 , 所以以OQ为直径的圆的方程为 + = ,即x2+y2-3x-3y=0, 又S,T在曲线D,即圆D上, 故直线ST为两圆公共弦所在的直线,两圆方程作差,并整理得直线ST的方程为3x+3y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由(1)知P(x,y)在圆x2+y2=4上, 则2PA2+PB2+PC2 =2[(x+2)2+(y-2)2]+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2 =4x2+4y2+4x-16y+76=4(x2+y2+x-4y+19) =4(4+x-4y+19)=4(x-4y+23). 设x=2cos θ,y=2sin θ,0≤θ<2π, 所以2PA2+PB2+PC2 =4(2cos θ-8sin θ+23)=4[2 sin(θ+φ)+23] =8 sin(θ+φ)+92 其中tan φ=-  , 所以2PA2+PB2+PC2的最大值为92+8 ,最小值为92-8 . 第1讲　描述运动的基本概念 思维提升    1.平面内与两定点的距离的比值为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆. 2.圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0)的参数方程是 其中α是参数,且α∈[0,2π),解题时可合理利用. 第1讲　描述运动的基本概念 $