第1章 05 与点、直线有关的对称问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“与点、直线有关的对称问题”，系统梳理点关于点、点关于线、直线关于点、直线关于线四类对称的核心知识点，从已学中点坐标公式和直线方程切入，搭建“点对称→线对称”的转化支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过“中点+垂直”核心条件统领各类对称问题，结合拓展结论、常用结论及典例解析，培养学生的抽象能力（数学眼光）和推理能力（数学思维）。如点关于线对称的方程组推导与拓展公式应用，帮助学生用数学语言表达规律，既提升学生解题效率，也为教师提供结构化教学资源。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 05　与点、直线有关的对称问题 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.点关于点对称:若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y), 则由中点坐标公式可得 即N(2a-x1,2b-y1). 2.点关于线对称: (1)设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则根据M,N连线垂直于直线l,以 及线段MN的中点在直线l上,可列方程组 求得点N的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 拓展结论:设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则 其中K=  . (2)几个常用结论 ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). ②点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). ③点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). ④点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b),关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m). 第1讲　描述运动的基本概念 3.线关于点对称:求直线l1关于点P(a,b)对称的直线l的方程的方法有以下三种: (1)方法一:在已知直线l1上任取一点M(x1,y1),先求它关于点P(a,b)的对称点N(x,y)的坐标,由上面讲解知  再将(x1,y1)代入直线l1的方程即可得到直线l的方程. (2)方法二:利用“关于某点对称的两直线平行且已知点到两直线的距 离相等”来求解. (3)方法三:在已知直线l1上任取两点M,N,分别求其关于点P(a,b)的对称点M',N',再由两点式确定直线l的 方程. 拓展结论:直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0) 对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.线关于线对称: (1)求直线l1关于直线l对称的直线l2时,若l1与l无交点,则可以利用“l1,l2两直线平行且它们与直线l的距离 相等”来求解;若l1与l有交点,则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称点,那么该对 称点以及l1与l的交点都在直线l2上,由此可确定l2的方程,即将线关于线对称转化为点关于线对称. (2)几个常用结论 ①关于直线y=x+b或y=-x+b对称的两条直线的斜率互为倒数; ②关于x轴、y轴对称的两条直线的斜率互为相反数. 拓展结论:直线l:ax+by+c=0关于直线l1:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程满足 =2× (A2+B2 ≠0),化简整理可得l2的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.点M关于点P的对称点为N,则P是线段MN的中点.   2.点M关于直线l的对称点为N,则①MN⊥l;②线段MN的中点A在l上. 3.直线l1关于点P的对称直线为l,则①l1∥l(斜率相等或斜率均不存在);②点P到两直线的距离相等.  　　　　　或  第1讲　描述运动的基本概念        4.直线l1关于l对称的直线为l2,分两类:①若l1∥l,则l到l1,l2的距离相等(如图1);②若l1∩l=A,则A∈l2(如图2). 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒 对称问题分为四类:点关于点,点关于直线,直线关于点,直线关于直线.任何类型都可以转化为点关于点 的对称. 对称问题有两个核心条件: 1.中点条件:若关于点对称,则该点是对称的两点所连线段的中点;若关于直线对称,则对称的两点所连 线段的中点在该直线上; 2.垂直条件:若关于直线对称,则对称的两点连线与该直线垂直(斜率乘积为-1,或一个斜率为0、另一个 斜率不存在). 解题时要先明确“对称类型”,再套用对应的“中点+垂直”条件列方程(组)求解,避免盲目计算. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标; (2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0), 则线段PP'的中点在直线l上,且PP'⊥l, 所以 解得  故P'点的坐标为 . (2)易知直线l与l1相交,设交点为N, 由 解得  所以N(2,0), 不妨在l1上取点B(0,-2),设点B关于直线l的对称点为B'(x1,y1), 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得  所以B'  ,  , 所以直线l2的斜率为kNB'= =7, 所以直线l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0. (3)解法一:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l', 则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2)一定在直线l上, 第1讲　描述运动的基本概念 则 得  将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0, 所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 解法二:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l':x+2y+m=0(m≠-2), 所以点A(1,1)到直线l与l'的距离相等, 即 = , 解得m=-2(舍去)或m=-4, 所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思    本题在求得结果后,可以利用拓展结论进行检验: (1)K= = =- , ∴  故所求对称点的坐标为 . (2)l2的方程满足 =2× =- ,即为7x-y-14=0. (3)由直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0,得所 求直线方程为2-x+2(2-y)-2=0,即x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 $