第4章 11-4.4 数学归纳法＊（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过等式证明、不等式证明、整除问题及归纳—猜想—证明四个题组，衔接数列知识，以具体例题为导入，搭建从特殊到一般的学习支架，帮助学生逐步掌握数学归纳法的核心步骤。 其亮点在于分类型设置例题，如证明等式时对比n=k与n=k+1的项数变化，解决整除问题时结合归纳猜想，体现数学思维的推理能力与数学语言的精确表达。学生能在实例中形成逻辑推理习惯，教师可通过题组系统训练学生的证明能力，提升教学效率。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.4　数学归纳法＊ 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用数学归纳法证明等式 1.[2025广东东莞东华高级中学阶段检测]用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)= (n∈N*), 则当第一步验证n=1时,左边应取的项是 （　　 　） A.1　　　    　　B.1+2 C.1+2+3　　　    D.1+2+3+4     D     第1讲　描述运动的基本概念 2.用数学归纳法证明2+4+6+8+…+2n=2n-1+22n-2(n∈N*)的过程中,由n=k到n=k+1,等式左边增加的项数为  （　　 　） A.1　　　    B.2k-1　　　    C.2k　　　    D.2k+1     B     解析　当n=k时,等式为2+4+6+8+…+2k=2k-1+22k-2, 当n=k+1时,等式为2+4+6+8+…+2k+(2k+2)+(2k+4)+…+(2k+2k)=2k+22k,易得等式左边增加的项数为 =2k-1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025上海第六十中学月考]用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12= (n∈N*) 时,从k到k+1(k∈N*),等式左边需要增加的代数式是_________________.     (k+1)2+k2     解析　当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 两式作差得(k+1)2+k2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江宁波镇海中学期中]已知f(n)=1×2+2×3+…+(n-1)×n+n×(n+1)(n∈N*). (1)是否存在常数a,b,c,使得f(n)=an3+bn2+cn对任意的n∈N*都成立?若存在,求出a,b,c; (2)若(1)中a,b,c存在,用数学归纳法证明f(n)=an3+bn2+cn. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)存在常数a,b,c,使得f(n)=an3+bn2+cn对任意n∈N*都成立. 由题可得  解得  (2)证明:由(1)得f(n)= n3+n2+ n, 当n=1时,f(1)=2= +1+ . 假设当n=k时, f(k)=1×2+2×3+…+k·(k+1)= k3+k2+ k成立, 第1讲　描述运动的基本概念 则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(k+1)·(k+2)= k3+k2+ k+(k+1)(k+2) = k3+2k2+ k+2 = (k3+3k2+3k+1)+(k2+2k+1)+ (k+1) = (k+1)3+(k+1)2+ (k+1), 即n=k+1时,等式也成立. 综上,f(n)= n3+n2+ n(n∈N*)成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用数学归纳法证明不等式 5.[2025上海高桥中学期中]用数学归纳法证明 + + +…+ > (n∈N*)时,从n=k到n=k+1,不 等式左边应添加的项是 （　　 　） A. 　　　    　　　B. -  C. + 　　　    D. -      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当n=k时,左边= + + +…+ , 当n=k+1时,左边= + +…+ + + , 两式作差得 + - = - . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025陕西榆林期中]用数学归纳法证明不等式1+ + +…+ <n(n≥2,n∈N*)时,由n=k到n=k+1,不 等式左边增加了 （　　 　） A.(2k-1)项　　　    B.2k项 C.k项　　　    　　D.1项     B     解析　当n=k时,不等式左边为1+ + +…+ ,共(2k-1)项, 当n=k+1时,不等式左边为1+ + +…+ + + +…+ ,共(2k+1-1)项, 所以不等式左边增加了(2k+1-1)-(2k-1)=2×2k-2k=2k项. 第1讲　描述运动的基本概念 7.用数学归纳法证明 > 对任意n>k(n,k∈N)都成立时,k的最小值为 （　　 　） A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     B     解析　当n=1时,左边= = ,右边= = , > 不成立; 当n=2时,左边= = ,右边= = , > 不成立; 当n=3时,左边= = = ,右边= = = , > ,即左边大于右边,不等式成立, 因为不等式对任意n>k(n,k∈N)都成立,所以k的最小值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025山东青岛即墨第一中学阶段检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=-3,S4=2(a5+1),数列{bn} 的前n项和为Tn,且b1=-1,bn+1=TnTn+1(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记cn= ,n∈N*,用数学归纳法证明:c1+c2+…+cn< n(2n+1). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,由  得 解得  故an=a1+(n-1)d=-1-2(n-1)=-2n+1. 由bn+1=Tn·Tn+1,得Tn+1-Tn=Tn·Tn+1,即 - =-1,又T1=b1=-1, 所以 是首项为-1,公差为-1的等差数列, 所以 =-1-(n-1)=-n,即Tn=- , 所以bn=Tn-Tn-1= (n≥2), 第1讲　描述运动的基本概念 故bn=  (2)证明:由(1)知cn= ,n∈N*, ①当n=1时,不等式左边=1,不等式右边= ,不等式成立. ②假设当n=k时,c1+c2+…+ck< k(2k+1)成立, 则当n=k+1时,c1+c2+…+ck+ck+1< k(2k+1)+  =   =   第1讲　描述运动的基本概念 =   < (2k2+k+4k+3) = (k+1)(2k+3), 即当n=k+1时,不等式也成立. 由①②可知,不等式c1+c2+…+cn< n(2n+1)对任意n∈N*都成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　用数学归纳法解决整除问题 9.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,若存在自然数m,使得对任意n∈N*, f(n)都能被m整除,则m的最大值为 （　　 　） A.30　　　    B.9　　　    C.36　　　    D.6     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36, f(3)=10×36,f(4)=34×36, 由此猜想m的最大值为36. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,显然成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时, f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除, 那么当n=k+1时, f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9 =3[(2k+7)×3k+9]-18+2×3k+1 =3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1). ∵3k-1-1能被2整除, ∴18(3k-1-1)能被36整除,∴当n=k+1时, f(k+1)也能被36整除. 由(1)(2)可知对任意n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除,故m的最大值为36. 第1讲　描述运动的基本概念 10.用数学归纳法证明:n3+5n(n∈N*)能被6整除. 证明　①当n=1时,13+5=6,显然能被6整除; ②假设n=k(k∈N*)时,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除, 则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6, 因为k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除, 又k3+5k能被6整除,所以当n=k+1时,n3+5n能被6整除. 由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题 11.[2025山东潍坊阶段检测]已知f(n)=2n+1,g(n)=  (1)求g(1),g(2),g(3),g(4)的值; (2)猜想g(n)的表达式并用数学归纳法证明. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)g(1)=3, g(2)=f(g(1))=f(3)=7, g(3)=f(g(2))=f(7)=15, g(4)=f(g(3))=f(15)=31. (2)由(1)可猜想:g(n)=2n+1-1. 下面运用数学归纳法进行证明: ①当n=1时,g(1)=3=22-1,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即g(k)=2k+1-1, 则当n=k+1时,g(k+1)=f(g(k))=f(2k+1-1)=2(2k+1-1)+1=2k+2-1, ∴当n=k+1时,猜想成立. 由①②可知对任意n∈N*,g(n)=2n+1-1均成立. 第1讲　描述运动的基本概念 12.在数列{an}中,a1=1,a2= ,且an+1= (n≥2). (1)求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明; (2)设bn= ,求证:对任意n∈N*,都有b1+b2+…+bn< . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令n=2, 得a3= = , 令n=3,得a4= = . 故可以猜想an= ,n∈N*. 下面利用数学归纳法加以证明: ①当n=1时,a1=1= ,猜想成立. 当n=2时,a2= = ,猜想成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,猜想成立,即ak= , 第1讲　描述运动的基本概念 那么当n=k+1时,ak+1= = = = = = , 即当n=k+1时,猜想也成立. 综上,∀n∈N*,an= 都成立. (2)证明:bn= = = = ( - ), 所以b1+b2+…+bn= [( -1)+( - )+( - )+…+( - )]= ( -1), 所以要证原不等式成立,只需要证明 ( -1)< ,即证明 < +1, 即证明3n+1<3n+2 +1,即证明2 >0, 第1讲　描述运动的基本概念 因为n∈N*,所以2 >0显然成立. 所以对任意n∈N*,都有b1+b2+…+bn< . 第1讲　描述运动的基本概念 $