第4章 §4.4 第2课时 数学归纳法的综合应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦数学归纳法，系统覆盖不等式证明、整除问题及“归纳—猜想—证明”等应用，通过实例导入衔接基础步骤与不同场景，以例题解析、跟踪训练为支架帮助学生逐步掌握方法。 其亮点在于采用“归纳—猜想—证明”模式，结合整除问题实例（如证明3^{2n+2}-8n-9能被64整除）培养数学思维（推理能力），通过符号化证明过程强化数学语言（符号意识）。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生构建体系，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第2课时 第4章 <<< 数学归纳法的综合应用 1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题. 2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题. 学习目标 一、用数学归纳法证明不等式 二、归纳—猜想—证明 课时对点练 三、整除问题 随堂演练 内容索引 用数学归纳法证明不等式 一 　　　用数学归纳法证明： 例 1 5 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意n≥2的正整数，不等式都成立. (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等. 用数学归纳法证明不等式的四个关键 反 思 感 悟 7 跟踪训练 1 8 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立. ∴当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立. 二 归纳—猜想—证明 例 2 11 下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当n＝1,2时易知猜想正确. 12 当n＝k＋1时， ∴当n＝k＋1时猜想也正确. 由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确. 13 反 思 感 悟 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式. 跟踪训练 2 15 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. 16 (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时猜想也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立. 17 整除问题 三 　　　用数学归纳法证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 例 3 (1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64. 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 19 反 思 感 悟 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明. 　　　　　用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除. 跟踪训练 3 21 (1)当n＝1时，xn＋yn＝x＋y显然能被x＋y整除. (2)假设当n＝k(k∈N*且k为奇数)时命题成立，即xk＋yk能被x＋y整除， 当n＝k＋2时，xk＋2＋yk＋2＝x2(xk＋yk)＋yk＋2－x2yk＝x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y). 又根据假设xk＋yk能被x＋y整除， ∴x2(xk＋yk)能被x＋y整除. 又(x＋y)(x－y)·yk能被x＋y整除， ∴x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)能被x＋y整除， ∴当n＝k＋2时命题成立. 由(1)(2)知，命题成立. 1.知识清单： (1)利用数学归纳法证明不等式. (2)归纳－猜想－证明. (3)利用数学归纳法证明整除问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化. 课堂小结 随堂演练 四 √ 1 2 3 4 2.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的过程中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为 A.5(5k－2k)＋3×2k B. (5k－2k)＋4×5k－2k C.(5－2) (5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k √ 1 2 3 4 假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即5k－2k能被3整除， 则当n＝k＋1时， 5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋3×2k. 1 2 3 4 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 五 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证 A.n＝1 　　　　B.n＝2 　　　　C.n＝3 　　　　D.n＝4 由题意知，n的最小值为3， 所以第一步验证n＝3是否成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有 A.2n>2n＋1 B.2n＋1>2n＋1 C.2n＋2>2n＋5 D.2n＋3>2n＋7 由8>7,16>9,32>11可知 第一项为8>7⇒21＋2>2×1＋5， 第二项为16>9⇒22＋2>2×2＋5， 第三项为32>11⇒23＋2>2×3＋5， 以此类推第n项为2n＋2>2n＋5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项________能被9整除 A.3·7k＋6 B.3·7k＋1＋6 C.3·7k－3 D.3·7k＋1－3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝(3k＋4)·7k＋1－1 ＝(3k＋1＋3)·7k＋1－1 ＝(3k＋1)·7k＋1＋3·7k＋1－1 ＝7[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k＋1＋6 ∵(3k＋1)·7k－1能被9整除. ∴要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是 A.若f(5)≥6成立，则f(6)≥7成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 若f(5)≥6成立，由题意知f(6)≥7成立，故A正确； 若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.所以选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n＝k＋1时，不等式也成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a2，a3，a4的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n＝1时，结论成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 ∴当n＝k＋1时结论成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立. 49 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法总数为f(n)，则下列猜想中正确的是 A.f(n)＝n B.f(n)＝f(n－1)＋f(n－2) C.f(n)＝f(n－1)f(n－2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于n＝1，B，C选项中f(n－1)＝f(0)，f(n－2)＝f(－1)没实际意义，排除选项B，C. 当有一层台阶时，走法只有一种，即f(1)＝1， 有两层台阶时，有两种走法，即f(2)＝2， 同样f(3)＝3，f(4)＝5. 由f(4)＝5，A中f(4)＝4≠5，排除选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C不正确. 14.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开 A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3 假设当n＝k时，原式能被9整除， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除. 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为 A.30 　　　　B.9 　　　　C.36 　　　　D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36， f(2)＝3×36，f(3)＝10×36， f(4)＝34×36，由此猜想m＝36. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，显然成立. (2)假设n＝k时，f(k) 能被36整除， 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝k＋1时， [2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]－18＋2×3k＋1 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1). ∵3k－1－1是2的倍数， ∴18(3k－1－1)能被36整除， ∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立. 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 (2)假设当n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2. 那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立. 根据(1)和(2)可知，原不等式对于任意n∈N*都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*). ＝1－＝1－<1－＝1－. (1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝. 显然<，所以不等式成立. 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋ 　求证：＋＋＋…＋＞(n≥2). ＝＋＝， (1)当n＝2时，左边＝＞0＝右边，∴不等式成立. 即＋＋…＋＞成立. 那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋ ＞＋＋…＋＞＋ 在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明. ∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)， ∴a3＝＝＝，a4＝＝＝. 猜想：an＝(n∈N*). (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，即ak＝. ＝＝＝. ak＋1＝＝＝＝ 　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. S1＝＝；S2＝＋＝； S3＝＋＝；S4＝＋＝. 于是可以猜想Sn＝. (1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，猜想成立. ＝＋＝＝＝， ＋＋＋…＋＝， ＋＋＋…＋＋ 由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2. 1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式 A.1＋<2 B.1＋＋<2 C.1＋＋<3 D.1＋＋＋<3 a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝. A. B. C. D. 1＋＋＋ …＋> 4.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为____________ _____________(n∈N*). a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为 A. B. C. D. 6.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 证明：当n≥3时，>成立. 当n＝3时，＝，＝，>成立； 取n＝1，则＝，＝，>不成立； 取n＝2，则＝，＝，>不成立； 取n＝3，则＝，＝，>成立； 取n＝4，则＝，＝，>成立； 假设当n＝k(k≥3)时，有>成立， 则当n＝k＋1时，有＝， 令t＝，则＝＝3－， 因为t>，故>3－＝， 因为－＝>0， 所以>＝， 由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立.  f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋ ＋＋…＋ ＝f(2k)＋＋＋…＋， ∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 7.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1) －f(2k)＝________________________. 当n＝1时，S1＝；当n＝2时，S2＝； 当n＝3时，S3＝；当n＝4时，S4＝. 观察猜想得Sn＝. 8.已知Sn＝＋＋＋…＋，n∈N*，则S1＝____， S2＝_____，S3＝_____，S4＝_____，猜想Sn＝________. 9.已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an. ∵a1＝，前n项和Sn＝an， ∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝. 令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝. 令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝. ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝， Sk＝·ak＝，则当n＝k＋1时， Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1， ∴＋ak＋1＝·ak＋1， 猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明. ∴ak＋1＝， 由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立. ∴·ak＋1＝， 10.用数学归纳法证明：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*). (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋＞. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＞＋＞＋＝. 11.在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N*，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时， f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于 A.＋ B.＋－ C.－ D.－ 当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋， 又f(k)＝＋＋…＋， 所以g(k)＝＋－. D.f(n)＝ 13.用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是 A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k项 D.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋ ＋…＋ 因为＋＋＋…＋－ ＝＋＋…＋， 所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确，D正确； $