第4章 03-第1课时 等差数列的前n项和公式及其应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“等差数列的前n项和”，系统覆盖公式应用、基本量计算及Sn与an关系等核心内容，通过基础到能力提升的题组设计，衔接等差数列定义与通项公式，构建递进式学习支架。 其亮点在于精选各地模拟题，以真实情境培养数学眼光，解析注重逻辑推理（数学思维），如利用等差数列性质简化计算，强调Sn与an关系的规范表达（数学语言）。助力学生提升解题能力，教师可直接用于分层教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　等差数列 4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　求等差数列的前n项和 1.[2026河北衡水二调]已知公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=6a2,则S8= （　　 　） A.42　　　    B.52　　　    C.56　　　    D.60     C     解析　设等差数列{an}的公差为d,则d=2,因为S4=6a2,所以4a1+ =6(a1+d),解得a1=0,所以S8=8a1+  = =56. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南京一中检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a4+3a9=5,则S13= （　　 　） A.13　　　    B.14　　　    C.16　　　    D.20     A     解析　设等差数列{an}的公差为d,则2a4+3a9=2a1+6d+3a1+24d=5a1+30d=5a7=5,所以a7=1, 则S13= = =13a7=13. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏苏州期中]在数列{an}中,an+an+1=2n,则数列{an}的前24项和S24= （　　 　） A.144　　　    B.312 C.288　　　    D.156     C     解析　因为an+an+1=2n,所以S24=a1+a2+a3+…+a24=2+6+10+…+46= =288. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏无锡辅仁高级中学调研]已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且a6+2a7+a10= 20,则当a7·a8取最大值时,S10= （　　 　） A.10　　　    B.20 C.25　　　    D.50     D     解析　因为a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20, 所以a7+a8=10, 因为数列{an}是各项均为正数的等差数列,所以a7>0,a8>0,所以a7·a8≤ = =25,当且仅当a7=a8 =5时等号成立, 此时数列{an}为常数列,且an=5,所以S10=50. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京第二十九中学月考]已知数列{an}满足an=(-1)nn2,某同学将其前20项中某一项的正负号 写错了,得到其前20项和为82,则写错之前这个数为 （　　 　） A.64　　　    B.-81　　　    C.100　　　    D.-121     A     解析　由an=(-1)nn2,得其前20项和S20=-12+22-32+42-…-192+202=(22-12)+(42-32)+…+(202-192)=3+7+11+15+ …+39= =210, 设写错之前这个数为x,则S20-2x=82,解得x=64. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏苏州中学月考]已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=2,a2=3,a3=4,数列{an+an+1+an+2}是公差为3的 等差数列,则S40=___________.     860     解析　设bn=an+an+1+an+2,由题意知,{bn}为公差为3的等差数列,b1=a1+a2+a3=9, 故bn=9+3(n-1)=3n+6, 故b2+b5+…+b38=(6+6)+(15+6)+…+(114+6)= +6×13=858, 故S40=a1+(a2+a3+a4)+…+(a38+a39+a40)=a1+b2+b5+…+b38=2+858=860. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　由等差数列的前n项和公式计算基本量 7.[2026江苏淮安调研]已知{an}为等差数列,{an}的前n项和为Sn,a1+a4+a7=1,S5=5,则a6= （　　 　） A.-1　　　    B.-  C. 　　　    D.3     A     解析　因为S5=5,所以 =5a3=5,所以a3=1. 因为a1+a4+a7=1, 所以3a4=1,解得a4= , 所以{an}的公差d=a4-a3=- , 所以a6=a3+3d=1-2=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏苏州昆山柏庐高级中学段考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若当S11为定值时,2a2+a7+ak 也是定值,则k= （　　 　） A.9　　　    　B.11 C.13　　　     D.不能确定     C     解析　设数列{an}的公差为d,因为S11为定值且S11=11a6,所以a6为定值,即a1+5d为定值, 又2a2+a7+ak=4a1+2d+6d+(k-1)d=4a1+(k+7)d, 所以当且仅当k+7=20,即k=13时,2a2+a7+ak为定值. 故k=13. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025辽宁丹东期中]设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S2=5,Sm-2=27,Sm=44,则m=（　　 　） A.5　　　    B.6　　　    C.7　　　    D.8     D     解析　因为Sm-2=27,Sm=44, 所以Sm-Sm-2=am+am-1=44-27=17, 又S2=5, 所以S2+Sm-Sm-2=a1+a2+am-1+am=2(a1+am)=22,即a1+am=11,因为Sm= =44,所以m=8. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河北沧衡名校联盟质量检测]记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5-S3=24,S7=70,则a1=_______. 　-2     解析　设等差数列{an}的公差为d, 因为S5-S3=24,所以a4+a5=24,即2a1+7d=24, 因为S7=70,所以7a1+ d=70,即a1+3d=10, 联立  解得  第1讲　描述运动的基本概念 题组三　数列{an}的前n项和Sn与an的关系 11.[2025江苏镇江期中]若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2+n,则a10= （　　 　） A.38　　　    B.39　　　    C.40　　　    D.41     B     解析　因为Sn=2n2+n,所以a10=S10-S9=2×102+10-(2×92+9)=39. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026广东东莞高级中学等五校联考]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1. (1)写出数列{an}的前3项,并判断数列{an}是不是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由Sn=n2+1得a1=S1=2, a2=S2-S1=5-2=3,a3=S3-S2=10-5=5,a2-a1=1,a3-a2=2, 因为a2-a1≠a3-a2, 所以数列{an}不是等差数列. (2)当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1. 当n=1时,a1=2不满足上式, 所以an=  易错警示　由数列{an}的前n项和Sn求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合an(n≥2)的表 达式,则通项公式可以合并,否则就分段表示. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.2　等差数列 4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　与等差数列前n项和有关的计算 1.[2026江苏淮安淮阴中学期中]已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若2S7=2S6+5,则下 列各量的值一定为定值的是 （　　 　） A.a1　　　    B.S13　　　    C.d　　　    D.S14     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,C,因为2S7=2S6+5, 所以2 =2 6a1+ d +5, 化简得a1+6d= ,则a1= -6d,d= - ,则a1,d不是定值,故A,C错误. 对于B,由等差数列的求和公式得S13=13a1+ d=13a1+78d =13(a1+6d)=13× = ,则S13一定为定值,故B正确. 对于D,由等差数列的求和公式得S14=14a1+ d=14a1+91d =14(a1+6d)+7d=14× +7d=35+7d,则S14不是定值,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏盐城中学检测]已知{an}为等差数列,bn= 记Sn,Tn分别为数列{an},{bn} 的前n项和,则下列结论正确的是 (　　　　) A.{b2n-1}是等差数列 B.若T3=16,则a2=7 C.若T3=16,S4=32,则T5=S5 D.若{an}是递增数列,则Sn的最小值为a1     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d,则an+1-an=d. 对于A,当n∈N*时,b2n-1=a2n-1-6,当n≥2时,b2n-3=a2n-3-6,则b2n-1-b2n-3=a2n-1-a2n-3=2d, ∴{b2n-1}是等差数列,A正确. 对于B,T3=b1+b2+b3=a1-6+2a2+a3-6=16,又a1+a3=2a2,∴4a2-12=16, 解得a2=7,B正确. 对于C,由B可知,当T3=16时,a2=7,又S4=a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=32, ∴a3=9, ∴T5=b1+b2+b3+b4+b5=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6=S5+a2+a4-18=S5+2a3-18=S5,C正确. 对于D,当an=2n-9时,{an}是递增的等差数列,易得a4<0,a5>0,∴Sn的最小值为S4,S4≠a1,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏南京期中]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=3, = ,则  =_________. 解析　由题意可得Sn= = , 又 = ,所以Sn= = ,所以an=3n, 所以Sn= ,所以 = =  , 则  = ×  + +…+  = × = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏镇江第一中学、徐州三中等十三校联盟期中]将所有的正整数按从小到大的顺序排列并分 组:{1},{2,3},{4,5,6},{7,8,9,10},…,其中第k个集合里有k个数,则第7个集合中的第3个数为__________; 若2 024是第i个集合里的第j个数,则i+j的值为__________.     72         24     解析　由题意可得,第7个集合中的第3个数为1+2+3+4+5+6+3=24,第n个集合中的第n个数是1+2+3+4+ …+n= ,当n=63时, =2 016,当n=64时, =2 080,所以2 024是第64个集合中的第8个数,所 以i=64,j=8,则i+j=72. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北强基联盟期中]已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a3=6,S6=42. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn< . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,由  得 解得  故an=2+2(n-1)=2n. (2)证明:由(1)可得bn= = =  , 故Tn=  1- + - +…+ -  =  = - . 因为 >0,所以 - < ,得证. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　数列{an}的前n项和Sn与an的关系 6.[2026山东烟台福山月考]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=-n2+8n,则数列{|an|}的前12项和为 (　　) A.112　　　    B.48　　　    C.80　　　    D.64     C 解析　因为Sn=-n2+8n,所以Sn-1=-(n-1)2+8(n-1),n≥2, 所以an=Sn-Sn-1=-2n+9,n≥2, 又n=1时,a1=S1=7也满足上式, 所以an=-2n+9,n∈N*, 所以当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0, 所以|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+…+a12)=S4-(S12-S4)=2S4-S12=80. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025江苏苏南十校联考]已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=-Sn+n2,则下列选项中正确的是  (　　　　　) A.an+an+1=2n-1(n≥2) B.an+2-an=2(n≥2) C.若a1=0,则S100=4 950 D.若{an}是递增数列,则- <a1<      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由Sn+1=-Sn+n2,得Sn=-Sn-1+(n-1)2(n≥2),两式相减得an+an+1=2n-1(n≥2),故A正确; 对于B,由A选项知an+an+1=2n-1(n≥2),所以an+1+an+2=2(n+1)-1=2n+1, 两式相减得an+2-an=2(n≥2),故B正确; 对于C,在Sn+1=-Sn+n2中,令n=1,得a1+a2=-a1+12,因为a1=0,所以a2=1, 令n=2,得a1+a2+a3=-a1-a2+22,因为a1=0,a2=1,所以a3=2, 由B选项知an+2-an=2(n≥2),且a3-a1=2,所以an+2-an=2(n∈N*), 所以{an}的奇数项是以a1=0为首项,2为公差的等差数列,{an}的偶数项是以a2=1为首项,2为公差的等差 数列,所以S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)= 50×0+ ×2 +  =4 950,故C正确; 对于D,由Sn+1=-Sn+n2,得S2=-S1+1,即a1+a2=-a1+1,则a2=-2a1+1, 第1讲　描述运动的基本概念 由B选项知an+1+an+2=2n+1,得a2+a3=3,所以a3=3-a2=3-(-2a1+1)=2a1+2, 同理可得a4=5-a3=5-(2a1+2)=-2a1+3,a5=7-a4=7-(-2a1+3)=2a1+4,a6=9-(2a1+4)=-2a1+5, 因为数列{an}是递增数列,所以a1<a2<a3<a4<…<an,由a1<a2,得a1< ,由a2<a3,得a1>- ,由a3<a4,得a1< ,由a4<a 5,得a1>- ,由a5<a6,得a1< ,所以a1的取值范围是 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏苏州昆山中学月考]如图,曲线y= 下有一系列正三角形,设第n个正三角形Qn-1PnQn(n∈N*, Q0为坐标原点)的边长为an. (1)求a1,a2的值; (2)记Sn为数列{an}的前n项和,探究an+1与Sn的关系,并求{an}的通项公式.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为△Q0P1Q1为正三角形,且Q0Q1=a1>0,所以P1 , 又因为点P1在曲线y= 上,所以 a1= ,解得a1= . 因为△Q1P2Q2为正三角形,且Q1Q2=a2>0,所以P2 , 又因为点P2在曲线y= 上,所以 a2= ,所以3 -2a2- =0,解得a2= (负值舍去). 所以a1= ,a2= . (2)由题可得△QnPn+1Qn+1是正三角形,点Qn(Sn,0),QnQn+1=an+1>0, 故点Pn+1 , 第1讲　描述运动的基本概念 因为点Pn+1在曲线y= 上,所以 an+1= ,即Sn=  - an+1,当n≥2时,Sn-1=  - an, 两式相减得an=  - an+1- (n≥2),整理得(an+1+an)(an+1-an)= (an+1+an)(n≥2), 又an+1+an>0,所以an+1-an= (n≥2),又a2-a1= 满足上式,所以an+1-an= ,n∈N*, 故数列{an}是首项为 ,公差为 的等差数列,所以an= n. 第1讲　描述运动的基本概念 $