第4章 01-4.1 数列（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列核心知识，涵盖概念、通项公式、递推公式及与函数关系，通过题组设计搭建从基础到提升的学习支架，衔接函数知识导入，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是精选名校考题，解析突出累加法、周期判断等方法，以第8题累乘法求通项为例，培养数学思维与推理能力，助力学生巩固基础提升能力，也为教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.1　数列 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　数列的相关概念与通项公式 1.[2026江苏盐城第一中学期中]数列 , , ,…的通项公式可能是an= （　　　　） A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      D     解析　对于A和C,令n=1,显然分母无意义,排除; 对于B,令n=3,得 = ≠ ,排除; 对于D,分别令n=1,n=2,n=3,得 , , ,均符合,正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026重庆育才中学校期中]下列四个选项中,正确的是 （　　　　） A.数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是相同数列 B.数列 , , , ,…, ,…是递减数列 C.数列 , , , ,…的一个通项公式是an=  D.数列{an}的通项公式为an=n(n-1),则110是该数列的第11项     BD     解析　对于A,按照一定次序排列的一列数称为数列,A中显然不是相同数列,故A错误; 对于B,由 - =- <0,可得数列为递减数列,故B正确; 对于C,由观察法可知an= ,故C错误; 对于D,由n(n-1)=110,解得n=11(负值舍去),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏五市十一校阶段联测]已知数列{an}的前4项为1,0,1,0,则下列各式可作为数列{an} 的通项公式的是 (　　　　) A.an=  B.an=sin2  C.an= +(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) D.an=      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,a1= =1,a2= =0,a3= =1,a4= =0,满足题意,故A正确. 对于B,a1=sin2 =1,a2=sin2π=0, a3=sin2 =1,a4=sin22π=0,满足题意,故B正确. 对于C,当n=1,2,3,4时,(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=0,故an= ,n=1,2,3,4, 则a1=|cos 0|=1,a2= =0, a3=|cos π|=1,a4= =0,满足题意,故C正确. 对于D,a1= =0≠1,不满足题意,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏苏州震泽中学月考]若数列{an}满足an=-3n+10,则下列说法正确的是（　　　　） A.{an}为递减数列　　　    B.a3a4>0 C.a5-a2=9　　　    　　　　D.|a1|<|a6|     AD     解析　易知an+1-an=-3(n+1)+10+3n-10=-3<0,所以an+1<an,所以{an}为递减数列,故A正确; 易知a3=1,a4=-2,则a3a4<0,故B错误; 易知a5=-5,a2=4,则a5-a2=-9,故C错误; 易知a1=7,a6=-8,则|a1|<|a6|,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式. (1) , , , , ,…; (2)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…; (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…; (4)- , ,- , ,…. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知该数列中每一项的分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个 通项公式为an= ,n∈N*. (2)易知数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式为bn=1- (n∈N*),因为数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的 ,所以所求数列的一个通项公式为an=  ,n∈N*. (3)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以该数列的一个通项公式为an=n+  ,n∈N*. (4)该数列中各项的绝对值都是分数,分子都是1,分母是n2+1,第n项的符号可以用(-1)n来表示, 所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n· ,n∈N*. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知数列{an}的一个通项公式为an=n2-7n+6(n∈N*). (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由; (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解析    (1)a4=42-7×4+6=-6. (2)令an=n2-7n+6=150(n∈N*),即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是数列{an}的第16项. (3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,因为n∈N*,所以从第7项开始各项都为正数. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　数列的递推公式 7.[2026江苏南航苏州附中期中]已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2),则a4= （　　　　） A.5　　　    B.10　　　    C.11　　　    D.12     B     解析　因为数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2), 所以a2=a1+2=3,a3=a2+3=6, 则a4=a3+4=10. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏淮安马坝高级中学期中]已知a1=2,an+1= an,则a2 024等于 （　　　　） A.506　　　  　  B.1 012 C.2 024　　　     D.4 048     D     解析    解法一:由an+1= an,可得 = , 则an= · ·…· ·a1= × ×…× ×2=2n(n≥2),因此a2 024=2×2 024=4 048. 解法二:由a1=2,an+1= an,可得a2=4,a3=6,a4=8,……, 所以a2 024=4 048. 方法技巧　若 =f(n)(n≥2,n∈N*),且f(n)可以求积或约分,则通常用累乘法求数列{an}的通项公式. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏苏州外国语学校期中]已知数列{an}满足an+1= an,a1=1,则a11= （　　　　） A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      B     解析　由题意得a11= a10= × a9= × × a8=…= × × × ×…× × a1= a1= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏淮安四星高中大联考]数列{an}满足:a1=1,an+1=an+log2 ,则a8= （　　　　） A.2 　　　    B.3　　　    C.4　　　    D.4      C     解析　由an+1=an+log2 ,可得an+1-an=log2 =log2(n+1)-log2n, 利用累加法可得an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=log2n-log2(n-1)+log2(n-1)-log2(n-2)+…+log22-log21,n≥2, 化简得an=a1+log2n=1+log2n(n≥2),则a8=1+log28=4. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏宿迁期中]已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=- ,则a2 025= （　　　　） A.1　　　    B.2 C.-1　　　    D.-2     A     解析    解法一:由题意得a3=- =-2,a4=- =-1,a5=- =1,……,所以{an}是周期为4的周期数列,所以a2 025= a506×4+1=a1=1. 解法二:因为an+2=- ,所以an+4=- =an,故{an}是周期为4的周期数列,所以a2 025=a506×4+1=a1=1. 规律总结　已知数列{an}的递推公式求an时,若n的值较大,则数列通常具有周期性,此时先求出数列的 周期再求an较简便. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏淮安淮阴七校联考]已知数列{an}满足a1=2,a2=1,a3=-3,且an+2=λan+an+1,则a5=_________.     1     解析　由题意得a3=λa1+a2,即-3=2λ+1,解得λ=-2,所以an+2=-2an+an+1,所以a4=-2a2+a3=-5,a5=-2a3+a4=1. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏盐城七校期中联考]若数列{an}满足an+1= a1= ,则a2 024的值为_________. 解析　因为a1= , 所以a2=2× -1= ,a3=2× -1= ,a4=2× = =a1, 所以{an}是周期为3的周期数列,所以a2 024=a3×674+2=a2= . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏盐城中学检测]已知数列{an}是正项数列,若 =16,且3 -5anan-1-2 =0,n≥2,则log4a6= _________.     3 解析　因为3 -5anan-1-2 =0,n≥2,所以3 - -2=0,即  =0, 因为an>0,所以 =2,即an=2an-1,n≥2. 解法一:因为 =16,所以a2=22,a3=2a2=23,a4=2a3=24,a5=2a4=25,a6=2a5=26,所以log4a6=log426=log443=3. 解法二:因为 =16,所以a2=4,a1= =2, 所以an= · ·…· · ·a1=2n(n≥2),所以log4a6=log426= log226= ×6=3. 第1讲　描述运动的基本概念 15.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1= (n∈N*),则an=_________. 解析　由an-an+1= (n∈N*)可得 - = = - , 所以当n≥2,n∈N*时, - = - , - = - ,……, - = - , 累加可得 - =1- ,即an= , 当n=1时,a1=1符合上式,所以an= . 方法技巧　若数列的递推关系是形如an+1-an=f(n)的形式,则可以用累加法求数列的通项公式. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏南京六校联合体期中]某个软件公司对软件进行升级,将序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列 A*=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),A*中的第n项为an+1-an,若(A*)*的所有项都是3,且a4=11,a5=18,则a1=_________.     8     解析　由题意得,A=(a1,a2,a3,a4,a5,…),A*=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…), (A*)*=(a3-2a2+a1,a4-2a3+a2,a5-2a4+a3,…), ∵(A*)*的所有项都是3, ∴a3-2a2+a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4+a3=3, 由a5-2a4+a3=3得18-22+a3=3,解得a3=7, 由a4-2a3+a2=3得11-14+a2=3,解得a2=6, 由a3-2a2+a1=3得7-12+a1=3,解得a1=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　数列与函数的关系 17.[2026江苏苏州实验中学期中]已知数列{an}的通项公式为an= ,n∈N*,则数列{an}的最小项是  （　　　　） A.第1项　　　    B.第6项 C.第7项　　　    D.第13项     B     解析　由an= =1+ ,n∈N*,得当1≤n≤6时,2n-13<0,即an<1, 当n≥7时,2n-13>0,即an>1,数列{an}在1≤n≤6,n≥7上都单调递减,所以最小项为a6,即第6项. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[多选题][2025福建莆田第二中学月考]已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)· ,则下列说法正确的 是 (　　　　) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5,n∈N*时,{an}为递减数列     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设第n项为{an}的最大项, 则 (n≥2且n∈N*), 即  所以  又n∈N*,所以n=4或n=5, 故数列{an}中,a4与a5均为最大项,且a4=a5= , 当n≥5,n∈N*时,数列{an}为递减数列,故B、C、D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 当n无限趋近于正无穷时,an=(n+2)· 无限趋近于0且大于0,又a1= , 所以a1不是数列{an}的最小项,故A错误. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2025安徽六安第一中学期中]已知数列{an}满足an= n∈N*,若对于任意的n∈N*,都 有an>an+1,则实数a的取值范围是（　　　　） A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      C     解析　由题意可得数列{an}为递减数列, 所以 所以 <a<1. 易错警示　分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}递减需满足a8>a9. 第1讲　描述运动的基本概念 20.[2025江苏盐城射阳中学期中]已知数列{an}满足an=sin + (n∈N*),则an的最小值为_________. 解析　由已知得an=2+sin + -2,令t=2+sin ,则1≤t≤3,易知函数y=t+ -2在[1,3]上单调递减, 所以当t=3时,y取得最小值,最小值为3+ -2= ,即an的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 21.[2026重庆七校联盟联考]已知{an}的通项公式为an=-3n2+λn(λ∈R),若数列{an}为递减数列,则实数λ的 取值范围是______________.     (-∞,9)     解析　若数列{an}为递减数列,则an+1-an=[-3(n+1)2+λ(n+1)]-(-3n2+λn)=-6n+λ-3<0对任意n∈N*恒成立, 即λ<6n+3对任意n∈N*恒成立, 易知当n=1时,6n+3取到最小值9,所以λ<9, 所以实数λ的取值范围是(-∞,9). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.1　数列 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　数列的通项公式及其应用 1.[2026江苏盐城联盟校期中]将自然数1,2,3,4,5,…按照下图排列,我们将2,4,7,11,16,…称为“拐角数”, 则第100个“拐角数”是 （　　　　）   A.5 050　　　  B.5 051 C.10 100　　　     D.10 101     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,第1个“拐角数”为2=1+1,第2个“拐角数”为4=1+1+2, 第3个“拐角数”为7=1+1+2+3,第4个“拐角数”为11=1+1+2+3+4,……, 所以第100个“拐角数”为1+1+2+3+4+…+100=1+50×101=5 051. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到 大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第 （　　　　） A.12项　　　    B.13项　　　    C.14项　　　    D.15项     C     解析　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N*.易知a1=4,b2=4符合题意. 若m=3k,m,k∈N*,则bm=9k2,不是{an}中的项; 若m=3k+1,m,k∈N*,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1,是{an}中的项; 若m=3k+2,m,k∈N*,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1,是{an}中的项. 故当m=3k+1和m=3k+2,k∈N*时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项. 所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…, 令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}中的第22项,数列{cn}中的第14项. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题]若数列{an}满足:∀i,j∈N*,当i<j时,ai<aj,则称数列{an}为“鲤鱼跃龙门数列”.则符合“鲤鱼 跃龙门数列”的数列{an}的通项公式可以为 （　　　　） A.an=n2-4n+1　　　    B.an=  C.an=sin nπ　　　    D.an=ln      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,不妨取i=1,j=3,则a1=-2=a3,不满足ai<aj,故A不符合; 对于B,an= =1- ,∀i,j∈N*,若i<j,则 > ,则1- <1- ,即ai<aj,故B符合; 对于C,不妨取i=2,j=4,则a2=0=a4,不满足ai<aj,故C不符合; 对于D,an=ln =ln ,∀i,j∈N*,若i<j,则 > ,则1- <1- ,故ln <ln ,即ai <aj,故D符合. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　数列的递推公式及其应用 4.[2026江苏连云港新海高级中学期中]如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 ·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,……,设 从上到下各层的球数构成一个数列{an},则a21= （　　　　）   A.58　　　    B.225　　　    C.210　　　    D.231     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知a2-a1=2,a3-a2=3,……,an-1-an-2=n-1,an-an-1=n(n≥2,n∈N*), 所以a2-a1+a3-a2+…+an-1-an-2+an-an-1=2+3+…+n-1+n, 所以an-a1= ,所以an= +1= , 当n=1时,a1=1,满足上式,所以an= ,所以a21= =231. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏西交大苏州附中期中]记Tn为数列{an}的前n项积,且a1=2,Tn+1-Tn=n,则a3=（　　　　） A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得T1=2, 当n≥2时,Tn-Tn-1=n-1,Tn-1-Tn-2=n-2,……,T2-T1=1, 累加得Tn-T1=1+2+3+…+(n-1)①, 所以Tn-T1=(n-1)+(n-2)+…+2+1②, ①+②,得2(Tn-T1)=n(n-1), 所以Tn= +2= , 当n=1时,T1=2也满足上式, 所以当n≥2时,an= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 当n=1时,a1=2不满足上式,所以an=  所以a3= = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026辽宁名校联盟联考]已知数列{an}满足anan+1+an+1an+2=anan+2,a1=1,a2=2,则下列说法正确的是 (　　) A.a2 025=-1　　　     B.a1+a2+…+a2 026=1 C.a1·a2·…·a2 026=21 350　　　     D. - + - +…- =1     D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为anan+1+an+1an+2=anan+2,所以anan+1=an+2(an-an+1),即an+2= , 取倒数,得 = ,即 = - . 又 =1, = ,所以 =- , =-1, =- , = , =1, = ,……, 所以a1=1,a2=2,a3=-2,a4=-1,a5=-2,a6=2,a7=1,a8=2,……, 所以数列 ,{an}都是以6为周期的周期数列, 所以a2 025=a6×337+3=a3=-2,A错误. 因为2 026÷6=337……4,a1+a2+…+a6=0,所以a1+a2+…+a2 026=337×0+a1+a2+a3+a4=0,B错误. 因为a1·a2·…·a6=-24,所以a1·a2·…·a2 026=(-24)337·a1·a2·a3·a4=-21 350,C错误. 因为 - + - + - =0,所以 - + - +…- =0×337+1- - +1=1,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏南通海安曲塘高级中学期中]大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十” 的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经 历过的两仪数量总和.已知大衍数列{an}满足a1=0,an+1= 则a10=__________.     50     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当n=2k(k∈N*)时,a2k+1=a2k+2k①, 当n=2k-1(k∈N*)时,a2k=a2k-1+2k②, 由①②可得a2k+1-a2k-1=4k,所以a3-a1=4,a5-a3=8,……,a2k+1-a2k-1=4k, 累加可得a2k+1-a1=4+8+…+4k=2k2+2k, 所以a2k+1=2k2+2k,k∈N*. 令2k+1=n,则k= ,则an= , 又a1=0满足上式,所以当n为奇数时,an= , 则an+1=an+n+1= , 所以当n为偶数时,an= ,所以a10= =50. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025北京第五中学期中]设正整数数列{an}满足an+1= n∈N*. (1)若a6=1,请写出a1的所有可能的取值; (2)记集合M={an|n∈N*},且a1不是5的倍数,求证:1∈M; (3)已知存在常数T,对任意的n∈N*都有an+T=an,求a1的所有可能的取值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①a6=1,a5=2,a4=4,a3=8,a2=16,a1=32; ②a6=1,a5=2,a4=4,a3=8,a2=16,a1=11; ③a6=1,a5=2,a4=4,a3=8,a2=3,a1=6, 所以a1=6或a1=11或a1=32. (2)证明:设数列{an}中的最小项为ak=t(t,k∈N*), 当t为偶数时,ak+1= <t,与ak是最小项矛盾; 当t为奇数时,ak+1=t+5,是偶数, 所以ak+2= ≥t, 所以t≤5,故t=1或t=3或t=5. 当t=5时,ak-1=10,为5的倍数,当ak-2为偶数时,ak-2=20,当ak-2为奇数时,ak-2=5, 第1讲　描述运动的基本概念 以此类推,a1也为5的倍数,与a1不是5的倍数矛盾. 当t=3时,ak+1=8,ak+2=4,ak+3=2<t,矛盾, 当t=1时,经检验,满足题意,即1∈M成立. (3)由题意得数列{an}是周期为T的周期数列,由(2)可知,an的最小值为1或5, 当an的最小值为1时,后面的项为6,3,8,4,2,1,…, 当an的最小值为5时,后面的项为10,5,10,5,…, 所以当数列{an}为周期数列时,a1∈{1,2,3,4,5,6,8,10}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　数列与函数的关系及其应用 9.[2026浙江杭州四中月考]已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为 （　　　　） A. 　　　    B.2 -1 C. 　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为an+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),……,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1, 累加可得an-a1=2×1+2×2+…+2(n-2)+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2-n, 因为a1=33,所以an=n2-n+33,即 = =n+ -1,n∈N*, 易知函数y=x+ -1在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, 又n∈N*,5< <6,所以 =n+ -1在n=5或n=6时取得最小值, 当n=5时, =5+ -1= , 当n=6时, =6+ -1= , 因为 < , 所以 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏苏州大学附属中学月考]数列{an}满足a1=8,an+1= (n∈N*),数列{bn}满足bn= ·  ,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是 （　　　　） A. 　　　    B.  C. 　　　    　D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对an+1= 两边取倒数,可得 = = +n,所以 - =n,所以 - =1, - =2,……, -  =n-1,由累加法可得, - =1+2+…+n-1= , 因为a1=8,所以 = + = ,所以bn=  =  , 因为数列{bn}是递减数列,所以bn<bn-1(n≥2,n∈N*), 即  < · ,整理可得λ> = , 因为n≥2,n∈N*, 所以  第1讲　描述运动的基本概念 = = , 故λ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026四川绵阳南山中学质量检测]已知函数f(x)= 数列{an}满足an=f(n),n∈N*,则 “{an}为递增数列”是“4≤a<5”的 （　　　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若{an}为递增数列,则∀n∈N*,满足an+1>an,即f(n+1)>f(n). 当n<5,n∈N*时,f(n+1)-f(n)=2a-2n-1>0恒成立, 即当n=1时,2a-3>0,得a> , 当n=2时,2a-5>0,得a> , 当n=3时,2a-7>0,得a> , 当n=4时,需满足f(4)<f(5),即-42+8a-19<a5-4,解得a<5. 当n≥5时,f(n)=an-4,要使f(n)在n≥5时单调递增,则a>1. 综上,若{an}为递增数列,则 <a<5.(注意:此时求出来的是充要条件) 因为 ⫌[4,5), 所以“{an}为递增数列”是“4≤a<5”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题]设函数f(x)= 数列{an}满足an+1=f(an),则 (　　　　) A.当a1= 时,1<an<2 B.若{an}为常数列,则a1=1或a1=2 C.若{an}为递减数列,则1<a1<2 D.当a1=3时, + + +…+ <1     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当a1= 时,a1∈(1,2),∴a2=f(a1)= -2a1+2=(a1-1)2+1∈(1,2),∴a3=f(a2)∈(1,2), 同理a4∈(1,2),……,an∈(1,2),故A正确; 对于B,若{an}为常数列,则an+1=an,当an≤0时,an+1=f(an)=an-1=an,不成立, 当an>0时,an+1=f(an)= -2an+2=an,解得an=1或an=2,所以a1=1或a1=2,故B正确; 对于C,若{an}为递减数列,则an+1<an,即an+1-an<0, 当an≤0时,an+1-an=an-1-an=-1<0, 当an>0时,an+1-an= -2an+2-an=(an-1)(an-2)<0,解得1<an<2,故C不正确; 对于D,当a1=3>2时,an+1= -2an+2= +1>2,由an+1= -2an+2可得an+1-2=an(an-2), ∴ = = - , ∴ = - < - , 第1讲　描述运动的基本概念 故 + + +…+ < + + +…+ = -  =1- <1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025上海黄浦期末]设常数b为整数,数列{an}的通项公式为an=(n+b)2+ ,若am+am+1+am+2(m≥1,m∈Z) 的最小值为-7,则b=_______. 　-6     解析　当-b≤1,即b≥-1时,根据二次函数的性质可知,数列{an}为递增数列, 则am+am+1+am+2的最小值为a1+a2+a3,故a1+a2+a3=-7, 即(1+b)2+ +(2+b)2+ +(3+b)2+ =-7, 化简得2b2+9b+14=0, 因为Δ=92-4×2×14=-31<0,所以方程无解,故b≥-1不符合题意; 当-b≥2,即b≤-2时,根据二次函数的性质可知,am+am+1+am+2的最小值为a-b-1+a-b+a-b+1, 故a-b-1+a-b+a-b+1=-7,即(-1)2+ + +12+ =-7,解得b=-6. 综上所述,b=-6. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江苏苏州期中]已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,记bm为{an}在区间[m+2,2m+2)(m∈N*)内项 的个数,则b4=_________;使得不等式bm+1-bm>1 048成立的m的最小值为__________.     12         6     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令m+2≤2n+1<2m+2,得 ≤n<2m-1+ , 当m为奇数时,m+1可以被2整除,则bm=2m-1- +1=2m-1- + , 当m为偶数时,m+1不能被2整除,则bm=2m-1- +1=2m-1- , 所以b4=23-2=6. 当m为奇数时,m+1为偶数,所以bm+1-bm=2m- - =2m-1-1,令2m-1-1>1 048,即2m-1>1 049,因为210<1 049<211,所以m-1≥11,即m≥12,又m为奇数,所以m的最小值为13, 当m为偶数时,m+1为奇数,所以bm+1-bm=2m- + - =2m-1,令2m-1>1 048, 因为210<1 048<211,所以m-1≥11,即m≥12,又m为偶数,所以m的最小值为12. 综上可得,使不等式bm+1-bm>1 048成立的m的最小值为12. 第1讲　描述运动的基本概念 15.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,则数列{an}中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出这个最小值; (2)若对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当k=-5时,an=n2-5n+4.由n2-5n+4<0,解得1<n<4. 因为n∈N*, 所以n=2或n=3, 所以数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3. 易得an=n2-5n+4= - , 由二次函数的性质,结合n∈N*得当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2. (2)因为an+1>an, 所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1, 又对任意的n∈N*,都有an+1>an,所以k>(-2n-1)max, 所以k>-2-1=-3.所以实数k的取值范围为(-3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　数列新定义问题 16.[2026重庆第十一中学校质量检测]若数列{an}满足an+1=logman(m>1且m∈Z),则称{an}为“对数m底数 列”.已知正项数列{an}是“对数2底数列”且a3=4,则当2≤n≤6且n∈N*时, = （　　　　） A.232　　    B.236　　    C.248　　    D.264     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为正项数列{an}是“对数2底数列”,所以an+1=log2an,所以 = =an, 所以 =a1, =a2, =a3,……, =an-1,n≥2且n∈N*, 累乘得 × ×…× =a1a2…an-1,所以 =a1a2…an-1, 所以 =a1,得 = = , 因为a3=4,a3=log2a2, 所以4=log2a2, 所以a2=24,所以a1= =216, 故 = =(216)2=232. 第1讲　描述运动的基本概念 $