第3章 04-3.2.2 双曲线的几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，系统涵盖标准方程转化、渐近线、离心率及焦点三角形等核心知识点。通过题组从基础过关到能力提升的递进设计，搭建从方程变形到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于精选江苏各地期中段考真题，注重一题多解与逻辑推理，如通过等轴双曲线与圆的交点问题，培养学生用数学眼光观察几何关系、用数学思维推理计算的能力。采用讲练结合的教学方法，学生能提升解题规范与思维深度，教师可直接利用丰富例题与解析优化教学。

第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根据双曲线的标准方程研究其几何性质 1.[2025江苏盐城滨海中学期中]若双曲线mx2+y2=1的虚轴长与实轴长相等,则m= (　　　) A.4　　　    B.-4 C.-1　　　    D.1     C     解析　双曲线的标准方程为y2- =1,则a2=1,b2=- , 因为虚轴长与实轴长相等,所以b=a,即b2=a2,即- =1,解得m=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏无锡天一中学期中]已知焦点在y轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实 轴长与圆O的半径相等,C与圆O在第一、二、三、四象限内分别交于P,Q,M,N四点,且PQ= ,则  (　　　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的焦距为  C.PN=  D.四边形PQMN的面积为2  ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可知双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确; 焦点在y轴上的等轴双曲线C的方程可写为 - =1,① 以实轴长2a为半径的圆O的方程为x2+y2=4a2,② 联立①②,消去y2并整理,得x2= a2,即x=± a, 因为PQ= ,所以2× a= ,所以a=1,则b=a=1,c2=a2+b2=2,所以c= , 则C的焦距为2 ,故B错误; 联立①②,消去x2并整理,得y2= a2,即y=± a, 因为a=1,所以y=± ,则PN=2× = ,故C正确; 易知四边形PQMN是矩形, 第1讲　描述运动的基本概念 所以其面积为PQ·PN= × =2 ,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏如皋中学阶段测试]已知F1,F2是双曲线C: + =1的两个焦点,P是C上的一 点,则 (　　　　) A.当m=-3时,双曲线C的实轴长为4 B.当PF1-PF2=4时,m=-3 C.无论m取何值,双曲线C的焦距都为2  D.当m=1时,双曲线C的渐近线方程为y=± x     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线C的方程为 + =1,知(m+7)(m-5)<0, 又m+7>m-5,所以m+7>0. 对于A,由m=-3,得双曲线C的方程为 - =1,则a=2, 则双曲线C的实轴长为2a=4,A正确; 对于B,由PF1-PF2=4=2a,得a=2,a2=4,则m+7=4,解得m=-3,B正确; 对于C,a2=m+7,b2=5-m,则c2=a2+b2=12,所以c=2 ,所以双曲线C的焦距为4 ,C错误; 对于D,由m=1,得双曲线C的方程为 - =1,则a=2 ,b=2,则双曲线C的渐近线方程为y=± x,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏扬州第一中学期中]若双曲线C: - =1(b>0)的虚轴长为6,则C的离心率为_________. 解析　因为双曲线C: - =1(b>0)的虚轴长为6, 所以2b=6,所以b=3, 又a=2,所以c= = , 所以C的离心率e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　由双曲线的几何性质求其标准方程 5.[2026江苏江阴长泾中学期中]已知双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线互相垂直,实轴长为4,则双曲线 的标准方程为 (　　　) A. - =1　　　    B. - =1 C. - =1　　　    D. - =1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线的焦点在x轴上可设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 根据题意可知- · =-1,即a=b, 由实轴长为4,得2a=4,则a=b=2, 所以双曲线的方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏常州高级中学期中]若双曲线经过点( ,-6),渐近线方程是y=±3x,则该双曲线的实轴长为 _________. 6     解析　由题意可设该双曲线的方程为9x2-y2=λ(λ≠0), 将( ,-6)代入双曲线的方程可得λ=9×3-36=-9, 即双曲线的方程为9x2-y2=-9,化为标准方程为 -x2=1, 故该双曲线的实轴长为2a=6. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025湖北武汉武钢三中月考]已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直 线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方 程为_____________.      - =1     解析　设双曲线的右焦点为F(c,0),则直线AB:x=c,由 解得y=± ,不妨令A ,B ,取 双曲线的一条渐近线bx-ay=0,则d1= = ,d2= = , 所以d1+d2= =2b=6,解得b=3,由双曲线的离心率e= = =2,得a2=3, 所以双曲线的方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏扬州期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与双曲线 - =1有相同的渐近线,与椭圆 +  =1有相同的焦点,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线C交于A,B两点. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l的斜率为1,求线段AB的长; (3)若△ABF1的面积是12,求直线AB的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)双曲线 - =1的渐近线方程为y=± x,所以 = ,设双曲线C的半焦距为c(c>0). 因为双曲线C与椭圆 + =1有相同的焦点,所以c2=6-2=4,所以c=2, 又因为c2=a2+b2,所以a=1,b= ,所以双曲线C的方程为x2- =1. (2)由题意可得直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去y得2x2+4x-7=0,则x1+x2=-2,x1x2=- , 所以AB= · = × =6. (3)若直线l的斜率为0,则直线l与x轴重合,与双曲线C交于左、右顶点,此时F1,A,B构不成三角形,与题意 不符, 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线l的斜率不为0,故可设l:x=ty+2,A(x3,y3),B(x4,y4), 联立 消去x得(3t2-1)y2+12ty+9=0, 则 y3+y4=- ,y3y4= , 所以 = + = F1F2·|y3-y4|=2|y3-y4|=2 =2  =12 =12,则 =1, 则t2(9t2-7)=0,解得t2= 或t2=0,所以t=± 或t=0, 故直线AB的方程为3x- y-6=0或3x+ y-6=0或x=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　双曲线的渐近线 9.[2025江苏连云港灌南高级中学期中]已知双曲线E的实轴长为6,且与椭圆 + =1有公共焦点,则双 曲线E的渐近线方程为 (　　　) A.3x±4y=0　　　    B.4x±3y=0 C.4x±5y=0　　　    D.5x±4y=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:易知椭圆 + =1的焦点坐标为(0,±5),所以双曲线E的焦点坐标为(0,±5), 易得双曲线的实半轴长为3,所以虚半轴长为 =4,故双曲线E的方程为 - =1, 所以双曲线E的渐近线方程为3x±4y=0. 解法二:由题意可设双曲线的方程为 - =1(24<λ<49),因为双曲线的实轴长为6,所以49-λ=9,所 以λ=40,故双曲线E的方程为 - =1,所以双曲线E的渐近线方程为3x±4y=0. 方法技巧　与椭圆 + =1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏如皋期初调研]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为4 ,焦点到渐近线的距离为 , 则该双曲线的渐近线方程为 (　　　) A.y=±x　　　  　  B.y=± x C.y=± x　　　    D.y=± x     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设双曲线C: - =1的焦距为2c,则2c=4 ,故c=2 , 所以双曲线C的焦点坐标为(±2 ,0), 又双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0, 所以焦点到渐近线的距离d= =b, 所以b= ,所以a= = , 所以双曲线C的渐近线方程为 x± y=0,即y=±x. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏无锡辅仁高级中学测试]已知双曲线C: - =1(b>a>0)的上、下焦点分别为F1,F2,两条渐 近线的夹角的正切值为 ,且点P(6,5)在双曲线C上,则△PF1F2的面积为___________.     24      第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=± x, 设渐近线y= x的倾斜角为θ, 因为b>a>0,所以0< <1,故θ∈ , 因为两条渐近线的夹角的正切值为 ,所以tan 2θ= = ,解得tan θ= 或tan θ=-2, 因为0<tan θ<1,所以tan θ= , 则 = ,即b=2a, 则C: - =1,即4y2-x2=4a2, 把P(6,5)的坐标代入,得100-36=4a2,解得a=4,故b=8,c=4 , 第1讲　描述运动的基本概念 故 = ·xP·F1F2= ×6×8 =24 .   第1讲　描述运动的基本概念 题组四　双曲线的离心率 12.[2026江苏扬州第一中学期中]已知F1,F2为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,点A的坐标为(0, 2b).若△AF1F2为等边三角形,则双曲线C的离心率是 (　　　) A. 　　　    B.2 　　　    C.2　　　    D.3     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵△AF1F2为等边三角形,坐标原点O为F1F2的中点,   ∴∠AF1O= , ∴tan∠AF1O= = ,则 = , 则e2= = = = =4, ∴e=2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[教材习题改编][2026江苏南京临江高级中学段考]若双曲线 - =1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为 60°,则该双曲线的离心率e为 (　　　) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.      C     解析　由题知该双曲线的渐近线方程为y=± x, 因为两条渐近线的夹角为60°,且a>b>0, 所以 =tan 30°= ,即a= b, 所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),即3c2=4a2, 所以e2= = ,则e= . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏无锡江阴南菁高级中学段考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左顶点为A,左、右焦点分 别为F1,F2,且F2关于它的一条渐近线的对称点为P,若以P为圆心,PF1为半径的圆过原点,则双曲线的离心 率为 (　　　) A. 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D. +1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知OF2=OP=PF1=c,双曲线的渐近线方程为y=± x.不妨设点F2关于直线y= x的对称点 为P.   设直线PF2与渐近线y= x的交点为M,则M为PF2的中点,且PF2⊥OM, 则点F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为MF2= =b,所以OM= =a, 又O,M分别为F1F2,PF2的中点,所以PF1=2OM=2a,即c=2a,所以双曲线的离心率e= =2. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏常州高级中学期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0),过点P(-4,0)的直线与双曲线C交于A, B两点,若线段AB的中点是M(2,6),则双曲线C的离心率为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.3     C     解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点A,B在双曲线上, 所以 两式相减可得 - =0,即 · = , 又线段AB的中点是M(2,6),所以x1+x2=4,y1+y2=12,所以3kAB= , 由直线AB过点P(-4,0),M(2,6),得kAB= =1,所以 =3, 所以双曲线C的离心率为 = = =2. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏淮安高中校协作体期中联考]已知双曲线C: - =1与椭圆 +y2=1(a>0,b>0)有相同焦 点. (1)求a的值与椭圆离心率e的取值范围; (2)A为双曲线C的右顶点,B位于第一象限且为双曲线C上的点,若B到x轴的距离为4 ,直线AB与圆x2+y2 =b2相切,求双曲线C的离心率e1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题得a2+b2=b2+5-1,所以a=2, 所以e2= =1- ∈ ,故e∈ , 所以椭圆离心率e的取值范围是 . (2)由(1)得A(2,0).设直线AB与圆的切点为M,B(x0,4 )(x0>0),O为坐标原点, 因为B在双曲线C上,所以 - =1,所以x0= , 过B作x轴的垂线,垂足为N,连接OM,易知△OAM∽△BAN, 所以 = ,即 = ,所以b=1, 则双曲线C的方程为 -y2=1,所以双曲线的离心率e1= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组　双曲线的几何性质及其应用 1.[2025江苏泰州兴化昭阳中学月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,C的一条渐近线与 圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则AB= (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为(2,3),半径r=1, 由题可得 = = ,即 =3,故双曲线的渐近线方程为y=±3x,易知圆位于第一象限,故圆只能是 与渐近线y=3x相交于A,B两点. 易得点(2,3)到直线y=3x的距离d= = , 所以AB=2 =2 = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江苏淮安马坝高级中学期中]已知F1,F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点,过F2的 直线交双曲线C的右支于P,Q两点,则下列结论正确的是 (　　　　) A.直线PF1与直线PF2的斜率之积为  B.PQ的最小值为  C.若PQ=2 ,则△PF1Q的周长为8  D.点P到两条渐近线的距离之积为      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F1(- ,0),F2( ,0),设P(m,n),则2m2-3n2=6,故 · = · = = ,故 A错误; 由双曲线的焦点弦的性质可得当PQ垂直于x轴时,PQ有最小值,为 = = ,故B正确; 由双曲线的定义得PF1-PF2=QF1-QF2=2a,所以PF1+QF1=4a+PF2+QF2=4a+PQ, 故△PF1Q的周长为PF1+QF1+PQ=4a+2PQ=4 +4 =8 ,故C正确; 易知双曲线的渐近线方程为 x± y=0,则点P到两条渐近线的距离之积为 · =  = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京航空航天大学附属高级中学调研]如图,F1,F2是椭圆C1与双曲线C2: -y2=1的公共焦点, A,B分别是C1,C2在第二、四象限内的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C1的离心率是(　　　)   A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设椭圆C1: + =1(a1>b1>0), 设双曲线C2的实半轴长为a2,虚半轴长为b2,半焦距为c2,则 =3, =1,所以 = + =4,解得c2=2,所以F1F2= 2c2=4, ∵AF2-AF1=2a2=2 ,AF2+AF1=2a1, ∴AF2=a1+ ,AF1=a1- , 又四边形AF1BF2为矩形, ∴在Rt△F1AF2中,∠F1AF2=90°, ∴A +A =F1 ,即(a1- )2+(a1+ )2=42, ∴a1= ,∴C1的离心率e= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏扬州高邮期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是双曲线的一 个顶点.以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M,N两点,且∠MAN= ,则双曲线C的渐近线方 程为 (　　　) A.y=±2 x　　　    B.y=±2x C.y=± x　　　    D.y=± x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线的对称性,不妨设点M,N在渐近线y=- x上,且xM>xN,A是双曲线的左顶点. 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 联立 解得 或  则M(a,-b),N(-a,b),又A(-a,0),所以NA⊥AF2, 设其右顶点为B,则B(a,0),连接BM,则BM⊥AB, 则∠MAB=∠MAN-∠NAF2= - = , 故tan = = =1,即 =2,故双曲线C的渐近线方程为y=±2x. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏泰州中学期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C 的左支交于A,B两点,且 =5 ,∠ABF2=90°,则C的渐近线方程为 (　　　) A.y=± x　　　    B.y=± x C.y=± x　　　    D.y=± x     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设BF1=x,则AF1=5x,BF2=2a+x,AF2=2a+5x. 在△ABF2中,由勾股定理得A =B +AB2,即(2a+5x)2=(2a+x)2+(6x)2,① 在△BF1F2中,由勾股定理得F1 =B +B ,即(2c)2=(2a+x)2+x2,② 由①②解得a2= c2,∴b2=c2-a2= c2,则 = = , 所以C的渐近线方程为y=± x.   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏启东中学期中]已知椭圆 + =1与双曲线 - =1(a>b>0)的离心率分别为e1,e2,若e1e2= , 则双曲线的渐近线方程为 (　　　) A.y=± x　　　   　 B.y=± x C.y=± x　　　    D.y=± x     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于椭圆 + =1(a>b>0),其离心率e1= = , 对于双曲线 - =1(a>b>0),其离心率e2= = , 因为e1e2= ,所以 × = ,即 = , 化简得 = ,所以 = = , 所以双曲线 - =1的渐近线方程为y=± x. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港新海高级中学期中]设F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且 ∠F1PF2=60°,若椭圆的离心率为 ,则双曲线的离心率为 (　　　) A.5 　　　    B. 　　　    C.2 　　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆及双曲线的对称性可令P在第一象限内,设椭圆的长半轴长为a1,离心率为e1,双曲线的实 半轴长为a2,离心率为e2,F1F2=2c, 根据椭圆及双曲线的定义,得PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2, 则PF1=a1+a2,PF2=a1-a2, 在△PF1F2中,由余弦定理得F1 =P +P -2PF1·PF2cos∠F1PF2, 即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60°, 化简得 +3 =4c2,(等式两边同时除以c2) 所以 + =4(0<e1<1,e2>1), 因为e1= ,所以 + =4,所以e2= ,所以双曲线的离心率为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡天一中学期中]双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过 F1作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,且DF2=2 OD,则C的离心率为 (　　　) A. 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D.3     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知双曲线C的左焦点为F1(-c,0),由双曲线的对称性不妨令D在渐近线bx-ay=0上, 由点到直线的距离公式可得DF1= = =b, 由勾股定理得OD= = =a. 在Rt△DOF1中,cos∠DOF1= = , 则cos∠DOF2=cos(π-∠DOF1)=-cos∠DOF1=- , 在△DOF2中,OD=a,DF2=2 OD=2 a,OF2=c, 由余弦定理得cos∠DOF2= = =- , 整理得c2=9a2,即c=3a, 所以双曲线C的离心率e= =3. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026江苏常州高级中学期中]已知F1,F2是椭圆 + =1(a1>0,b1>0)和双曲线 - =1(a2>0,b 2>0)的公共焦点,M是该椭圆和双曲线的一个公共点,F1F2=2 ,△F1MF2的外接圆半径为2,且0<∠F1MF2<  ,记椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则下列说法正确的是 (　　　　) A. - = - 　　　     B. =3  C.3 + =4  　　　     D. + 的最小值为1+      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆与双曲线的对称性,不妨设M在第一象限内. 对于A,∵F1,F2是椭圆 + =1和双曲线 - =1的公共焦点, ∴它们的焦点在x轴上,∴a1>b1. ∵F1F2=2c=2 ,∴c= , 即 即 - = + ,故A错误. 对于B,在△MF1F2中,由正弦定理得2R= =4,∴sin∠F1MF2= , ∵0<∠F1MF2< ,∴∠F1MF2= , 由椭圆和双曲线的定义可知 解得  第1讲　描述运动的基本概念 ∴cos∠F1MF2= = , 即 = ,∴ +3 =4c2, ∴ = -c2=3c2-3 =3 ,故B正确. 对于C,∵ +3 =4c2,∴ + =1,即 + =1,∴3 + =4  ,故C正确. 对于D,由3 + =4  得 = , ∴ + = + = +  = + +  第1讲　描述运动的基本概念 =1+ (4 -1)+  ≥1+2  =1+ , 当且仅当 (4 -1)= ,即 = <1时取等号,∴ + 的最小值为1+ ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026吉林省实验中学月考]已知双曲线C: - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点M是C上一 点,经过点P(1, )作斜率为k的直线l与C交于A,B两点,则下列结论正确的有 (　　　　) A.左焦点到渐近线的距离为2  B.若MF1=5,则MF2=9或MF2=1 C.若k=1,则A,B两点位于C的两支 D.点P不可能是线段AB的中点     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由双曲线C: - =1,得其渐近线方程为y=± x,即 x±y=0. 易知左焦点F1(-4,0)到渐近线的距离d= =2 ,故A正确. 对于B,根据双曲线的定义得|MF1-MF2|=2a=4,又MF1=5,所以|5-MF2|=4,所以MF2=1或MF2=9. 因为MF2≥c-a= -2=2,所以MF2=9,故B错误. 对于C,当k=1时,直线l的方程为y=x+ -1, 联立 消去y,整理得2x2-2( -1)x+2 -15=0,则Δ=[-2( -1)]2-4×2×(2 -15)=132-24 >0,满 足题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= = - <0,即A,B两点位于C的两支,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,联立 消去y,整理得(3-k2)x2+(2k2-2 k)x-(k2-2 k+14)=0, 则Δ=(2k2-2 k)2+4×(3-k2)(k2-2 k+14)>0,x1+x2=- ,x1x2= . 若P(1, )是AB的中点,则x1+x2=2,即- =2, 所以k= ,此时Δ=-66<0,与Δ>0矛盾, 所以点P不可能是线段AB的中点,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏扬州大学附属中学期中]已知双曲线E:x2- =1(b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,过点M(-2,0) 的直线l交双曲线E于P,Q两点. (1)若离心率e= ,求b的值; (2)若b=2,过点N(0,2)且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点,求t的值; (3)连接QO(O为坐标原点)并延长,交双曲线E于点R,若 · =1,求b的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得a=1,则e= =c= ,故b= = =1. (2)当b=2时,双曲线E的方程为x2- =1, 由题意可知,直线的方程为y=tx+2, 联立 可得(4-t2)x2-4tx-8=0(*). 当4-t2=0,即t=±2时,方程(*)为tx+2=0,此时方程只有一个解,符合题意; 当4-t2≠0,即t≠±2时,Δ=16t2-4×(4-t2)×(-8)=16(8-t2)=0,解得t=±2 . 综上所述,t=±2或t=±2 . (3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),当直线l的斜率为0时, · =0,不符合题意,则直线l的斜率不为0, 设直线l的方程为x=my-2,P(x1,y1),Q(x2,y2), 第1讲　描述运动的基本概念 根据QO的延长线交双曲线E于点R,知R(-x2,-y2), 联立 消去x得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0, 其中b2m2-1≠0,Δ=(-4b2m)2-4(b2m2-1)·3b2=4b4m2+12b2>0, y1+y2= ①,y1y2= ②,  =(-x2+1,-y2), =(x1-1,y1), 则 · =(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1, 因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线l上,所以x1=my1-2,x2=my2-2, 即(-my2+3)(my1-3)-y1y2=1, 即(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0, 第1讲　描述运动的基本概念 将①②代入,得(m2+1)· -3m· +10=0, 即3b2(m2+1)-3m·4b2m+10(b2m2-1)=0,化简得b2m2+3b2-10=0, 所以m2= -3,因为m2= -3≥0,所以b2≤ , 又因为b>0,所以0<b2≤ ,将m2= -3代入b2m2-1≠0,得9-3b2≠0,所以b2≠3. 综上,b2∈(0,3)∪ ,∴b∈(0, )∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏南京、镇江、徐州等十校联盟月考]如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲 线的虚轴及实轴,则称两条双曲线共轭.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C: - =1(m>0)的离心率为  ,设双曲线C的共轭双曲线为C'. (1)求双曲线C'的标准方程; (2)若双曲线C的一条切线l与C'以及两条渐近线自上而下依次交于点A,E,F,B,求证: (i)S△AOB为定值; (ii)AE=BF. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 = , ∴m=4, ∴双曲线C的方程为 - =1,则双曲线C'的方程为 - =1. (2)证明:(i)当切线斜率不存在时,不妨设切线方程为x=2,与 - =1联立,解得y=±4 ,故A(2,4 ),B(2,-4  ), ∴S△AOB= ×2×8 =8 . 当切线斜率存在时,设其方程为y=kx+b(|k|>2), 联立 消去y得(k2-4)x2+2kbx+b2+16=0, 第1讲　描述运动的基本概念 由Δ=0得4k2=b2+16, 联立 消去y得(k2-4)x2+2kbx+b2-16=0, 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB= ,xA·xB= , ∴AB= |xA-xB|= · = ·  = ·   = · , 第1讲　描述运动的基本概念 易得O到直线AB的距离d= ,∴S△AOB= AB·d= · · · = = =8 . 综上,S△AOB为定值8 . (ii)当切线斜率不存在时,易证AE=BF. 当切线斜率存在时,由(i)得4k2=b2+16,切点坐标为 ,设为M. 联立 解得  ∴E ,同理可得F , ∴线段EF的中点坐标为 ,即M为EF的中点,即EM=FM. 第1讲　描述运动的基本概念 由(i)知xA+xB= ,yA+yB=k(xA+xB)+2b= , ∴线段AB的中点为M , 即AM=BM,∴AE=BF. 综上,AE=BF. 第1讲　描述运动的基本概念 $