第3章 01-3.1.1 椭圆的标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程，通过题组从定义应用（如点到焦点距离、焦点三角形周长）到方程求解（含参数设法），再到直线与椭圆位置关系，以基础例题导入衔接圆的知识，为圆锥曲线学习搭建递进支架。 其亮点是精选江苏名校检测题，结合定义与几何性质，如用椭圆定义求△ABF₂周长体现数学眼光，通过均值不等式、勾股定理推导培养数学思维，规范解析步骤强化数学语言。学生能巩固基础提升解题能力，教师可直接用于教学提升效率。

第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　椭圆的定义及其应用 1.[2026江苏南京第二十九中学检测]已知椭圆 + =1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,则P到另 一个焦点的距离为 (　　　) A.7　　　    B.5　　　    C.3　　　    D.2     A     解析　根据椭圆的方程 + =1,得a=5, 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则PF1+PF2=2a=10, 故P到另一个焦点的距离为7. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏无锡锡山高级中学阶段检测]设P为椭圆 + =1上的任意一点,F1,F2分别为其上、下焦点, 则PF1·PF2的最大值是(　　　) A.4　　　    B.6　　　    C.9　　　    D.12     C     解析　由椭圆的方程可得a=3,则由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=6,则PF1·PF2≤ =9,当且仅当 PF1=PF2=3时等号成立,故PF1·PF2的最大值是9. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏扬州中学自主学习评估]已知椭圆 + =1,F1,F2分别为其左、右焦点,过F1的直线与椭圆交 于A,B两点,连接AF2,BF2,则△ABF2的周长为 (　　　) A.8　　　    B.10　　　    C.12　　　    D.14     A     解析　根据椭圆的方程 + =1,得a=2. 由椭圆的定义得AF1+AF2=2a=4,BF1+BF2=2a=4, 所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=8.   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏常州前黄高级中学期中]已知椭圆C: + =1的两焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点且PF1 ⊥PF2,则|PF1-PF2|= (　　　) A.4 　　　    B.4 　　　    C.4 　　　    D.2     A     解析　∵椭圆C: + =1, ∴a=2 ,b=2,c=4, 设PF1=m,PF2=n,则m+n=4 , ∵PF1⊥PF2,∴m2+n2=64, ∴2mn=(m+n)2-(m2+n2)=16, ∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=80-32=48, ∴|m-n|=4 ,即|PF1-PF2|=4 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　椭圆的标准方程的求解 5.[2026江苏宿迁沭阳南湖高级中学阶段测试]已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),在圆C上任取一点P,连 接CP,将点P折叠到点A,记CP与折痕l的交点为M(如图).当点P在圆C上运动时,点M的轨迹方程为(　　)   A. + =1　　　    B. + =1 C. - =1　　　    D. - =1     A 第1讲　描述运动的基本概念 解析    圆C:(x+1)2+y2=16的圆心为C(-1,0),半径为r=4. 连接AM,由题意得PM=AM, 所以CM+AM=CM+MP=r=4>AC=2, 所以点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,所以a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3,所以点M的轨迹方程为 + =1.   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏无锡玉祁高级中学期中]过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程为  (　　　) A. + =1　　　    B. + =1 C. + =1　　　    D. + =1     D     解析　设所求椭圆方程为 + =1(k<9), 将( ,- )代入,可得 + =1,解得k=5(k=21舍去), 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程可设为 + =1(k<b2<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南通海安实验中学检测]平面内动点P(x,y)满足方程 + =2 ,则动点 P的轨迹方程为 (　　　) A. + =1　　　    B. + =1 C. + =1　　　    D. + =1     D     解析　由题意得,点P(x,y)到两个定点(-1,0),(1,0)的距离之和等于常数2 >2, 根据椭圆的定义可知,点P的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点的椭圆,且a= ,c=1,所以b2=a2-c2=2, 故动点P的轨迹方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南通如皋中学月考]求满足下列条件的曲线的标准方程: (1)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3 )的椭圆; (2)过三点O(0,0),M1(-1,3),M2(-3,-1)的圆; (3)过两点(2,- ), 的椭圆. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意,椭圆的焦点在y轴上,且c=2, 设椭圆的方程为 + =1(a>b>0), 由椭圆过点(4,3 ),得 + =1, 又a2=b2+4,所以a=6,b=4 , 故所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 将已知三点的坐标代入, 得 解得  故所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0,即(x+2)2+(y-1)2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 将已知两点的坐标代入,得  解得  故所求椭圆的标准方程为 + =1. 知识拓展　如果焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m ≠n). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　椭圆的标准方程的应用 9.[教材习题改编]若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 (　　　) A.(-∞,1)　　　　    B.(1,4) C.(4,7)　　　   　　 D.(7,+∞)     C     解析　因为方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,所以m-1>7-m>0,解得4<m<7. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026江苏南通如皋中学月考]设椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点, 则 (　　　　) A.PF1+PF2=8 B.PF1的最大值为9 C.△PF1F2的面积的最大值为12 D.存在点P,使得PF1⊥PF2     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据椭圆C: + =1,得a=5,b=3,则c= =4. 对于A,PF1+PF2=2a=10,故A错误; 对于B,PF1的最大值为a+c=9,故B正确; 对于C,设P(x0,y0),则|y0|≤3, 可得 = F1F2·|y0|=c·|y0|≤4×3=12, 所以△PF1F2的面积的最大值为12,故C正确; 对于D,由c>b知,以线段F1F2为直径的圆与椭圆C有4个交点,   当点P为圆与椭圆的交点时,PF1⊥PF2,所以存在点P,使得PF1⊥PF2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏宿迁中学调研]若 + =-1表示椭圆,则实数k的取值范围为____________________.     (- ,2-2 )∪ 解析　方程 + =-1可化为 + =1, 若该方程表示椭圆, 则  解得k∈(- ,2-2 )∪ 2-2 ,  . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏如东第一高级中学段考]已知F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一 点. (1)若F1F2=2,点P的坐标为(0,-3),求椭圆C的标准方程; (2)若PF1⊥PF2,△F1PF2的面积为4,求b的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为F1F2=2c=2,所以c=1. 因为点P(0,-3)在椭圆上,所以 + =1,即 =1,所以b=3,所以a2=b2+c2=9+1=10. 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)因为PF1⊥PF2,所以△F1PF2的面积S= ·PF1·PF2=4,则PF1·PF2=8. 由椭圆的定义知PF1+PF2=2a, 由勾股定理可得P +P =F1 =(2c)2. 又(PF1+PF2)2=P +P +2PF1·PF2,所以(2a)2=(2c)2+16,即a2=c2+4, 又c2=a2-b2,所以b2=4,所以b=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　直线与椭圆的位置关系 13.[2025江苏扬州期中]已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-1,0)和F2(1,0),且椭圆上任意一点到F1,F2的距离 之和为4,则直线x+2y-4=0与椭圆的交点个数为 (　　　) A.0　　　    B.1 C.2　　　    D.无法确定     B     解析　由题意得c=1,2a=4,所以a=2, 所以b2=a2-c2=3, 因为焦点在x轴上, 所以椭圆方程为 + =1, 联立 消去y得x2-2x+1=0,所以x=1, 所以直线x+2y-4=0与椭圆有1个交点. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏常州田家炳高级中学期中]已知椭圆C: + =1的一个焦点是F,过原点O的直线与C相交 于点A,B,△ABF的面积是20,则AB=(　　　) A.5　　　    B.5 　　　    C. 　　　    D.10     D     解析　由题意得c2=45-20=25,所以c=5,故OF=5, 因为△ABF的面积为20,O是AB的中点,所以△AOF的面积为10, 设A(x,y),则 OF·|x|=10,解得x=±4, 将x=±4代入 + =1,得y=±3, 故OA= =5,则AB=2OA=10. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026山东德州期中]经过椭圆 +y2=1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两 点,则AB= (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　根据椭圆方程 +y2=1,得a2=2,b2=1,则c= =1, 故F1(-1,0),而tan 45°=1,故直线l的方程为y=x+1, 联立 解得   则AB= = . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026浙江杭州重点中学期中]已知P是椭圆C: +y2=1上一点,Q是直线l:x+y-2 =0上一点,则PQ的最 小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　求椭圆上的点到直线l的最小距离,即求直线l与平行于直线l的椭圆的切线之间的距离的最小值 (关键点). 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线方程为x+y+t=0(t≠-2 ), 联立 得5x2+8tx+4t2-4=0, 令Δ=64t2-4×5×(4t2-4)=80-16t2=0,解得t=± , 当t= 时,切线方程为x+y+ =0,切线与直线l的距离为 = , 当t=- 时,切线方程为x+y- =0,切线与直线l的距离为 = . 所以PQ的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026江苏宿迁泗洪洪翔中学检测]已知焦距为2的椭圆C: + =1(a>b>0)过点 ,C的左、右焦 点分别为F1,F2,过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点. (1)求椭圆C的方程; (2)若F1A⊥F1B,求直线l的斜率; (3)求△PF1F2面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得c=1,则a2=b2+c2=b2+1, 所以椭圆C的方程为 + =1, 又椭圆C过点 , 所以 + =1,整理得2b4-b2-1=0,解得b2=1或b2=- (舍去), 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)由题意可得直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+1. 由 得(t2+2)y2+2ty-1=0,Δ=(2t)2-4×(t2+2)×(-1)=8t2+8>0, 第1讲　描述运动的基本概念 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2= ,y1y2= , x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2= , x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1= ,  =(x1+1,y1), =(x2+1,y2), 因为F1A⊥F1B, 所以 · =0, 即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,所以x1x2+x1+x2+1+y1y2=0, 即 + +1+ =0,整理得 =0,解得t=± . 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线l的斜率为± . (3)由(2)得y1+y2= ,所以AB的中点P的纵坐标为 = , 所以△PF1F2的面积S= ·F1F2· = = ≤ = , 当且仅当t=± 时,△PF1F2的面积最大,且最大值为 .   第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　椭圆的定义、标准方程及其应用 1.[2026江苏连云港灌云期中]一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,与圆x2+y2-6x-91=0内切,则该动圆圆心的轨 迹是 (　　　) A.圆　　　    B.椭圆　　　    C.双曲线　　　    D.抛物线     B     解析　易知圆x2+y2+6x+5=0的圆心为(-3,0),半径r=2,圆x2+y2-6x-91=0的圆心为(3,0),半径R=10.设动圆的 圆心为(x,y),半径为t, 则由题意可得 =t+2, =10-t, 所以 + =t+2+10-t=12, 即动圆的圆心到(-3,0),(3,0)的距离之和是12,且12>2×3=6, 所以根据椭圆的定义知动圆圆心的轨迹是椭圆. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏扬州高邮期中]古希腊数学家阿波罗尼斯所著的《圆锥曲线论》中,首次提出了圆锥曲线 的光学性质,其中之一的内容为:若点P为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则点P处的切线平分∠ F1PF2的外角.根据此信息回答下列问题:已知椭圆C: + =1,O为坐标原点,l是点P(2, )处的切线,过 左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则OM=(　　　) A.2 　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.2      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设右焦点为F2,连接F2P,延长F1M,F2P交于点N, 由题意可知∠F1PM=∠NPM, 又因为PM⊥F1N, 所以M为F1N的中点,且PF1=PN,所以F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2 =4 , 又因为O为F1F2的中点, 所以OM= F2N= ×4 =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026黑龙江牡丹江第一高级中学月考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,与x轴 的交点分别为M,N(M在x轴的负半轴上),过F2的直线l交C于A,B两点(异于点M,N),△AF1B的周长为4 , 且直线AM与AN的斜率之积为- ,则椭圆C的标准方程为(　　　) A. + =1　　　    B. + =1 C. + =1　　　    D. + =1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由△AF1B的周长为4 ,结合椭圆的定义得4a=4 ,解得a= , 所以M(- ,0),N( ,0),设A(x1,y1),则 + =1,可得 =b2 , 则kAM·kAN= · = = =- =- ,解得b2=2, 所以椭圆C的标准方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建福州高级中学阶段考]已知F1,F2分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,C上存在一点 A,使AF1⊥AF2,O为坐标原点,点B满足2 = + ,∠F1AF2的平分线交直线OB于点D,OD=b= ,则椭 圆C的标准方程为_____________.      + =1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设点A在第一象限内,因为F1F2=2c,AF1⊥AF2,所以OA= F1F2=c, 在△OAF2中,OF2=OA=c,且2 = + ,所以B是AF2的中点, 则OB⊥AF2,且F1A=2OB, 因为AF1⊥AF2,AD平分∠F1AF2,所以∠DAB= , 故△DAB为等腰直角三角形,DB=BA= AF2, 由题意知OB= +DB,则AF1=2OB=2 +AF2,即AF1-AF2=2 , 根据椭圆的定义可得AF1+AF2=2a, 联立  解得  在Rt△AF1F2中,A +A =(2c)2,即(a+ )2+(a- )2=4c2, 第1讲　描述运动的基本概念 化简得a2-2c2=-3, 又a2=3+c2,所以a2=9, 故椭圆C的标准方程为 + =1.   第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与椭圆的位置关系 5.[2026广东深圳期中]已知椭圆C:mx2+ny2=1,过椭圆C的焦点F( ,0)的直线l与椭圆C相交于P1,P2两点, 设线段P1P2的中点为P.若P ,则m+n= (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.9     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (看到“直线与椭圆相交”“线段的中点”,首先考虑点差法) 椭圆C的方程mx2+ny2=1可写为 + =1, 则a2= ,b2= ,c2=a2-b2= - =3.① 设P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则  两式相减,得m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0. 由线段P1P2的中点为P,且P ,得x1+x2= ,y1+y2=- . 直线l过点P 和F( ,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以kl= =2, 所以m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=m× (x1-x2)+n× (y1-y2)=0,所以m× +n× ×2=0, 整理得2m-n=0.② 结合①②,可得m= ,n= ,故m+n= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏南京期末]已知椭圆 + =1,斜率不为0的直线过椭圆的左焦点F且与椭圆交于A,B两点,点 P在y轴上,若△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则直线AB的斜率是__________.     ±      第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知焦点F(- ,0),不妨设直线AB的方程为x=my- , 联立 消去x得(m2+4)y2-2 my-2=0, 则y1+y2= ,y1y2= ,x1+x2=m(y1+y2)-2 = -2 = , 设AB的中点为C,则C , 由已知得PC⊥AB,且AB=2PC, 所以直线PC的方程为y- =-m , 令x=0,得P , 第1讲　描述运动的基本概念 所以PC= = , 又AB= |y1-y2|= · = · = , 所以 =2× ,所以m=± , 所以直线AB的斜率是± .   第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨　在直线与椭圆的位置关系的问题中,设直线方程时有以下技巧:若直线过x轴上的定点M(x0, 0),常设m型直线,方程为x-x0=my(不含斜率为0的直线),消元时常常消去x,保留y;若直线过y轴上的定点N (0,y0),常设k型直线,方程为y-y0=kx(不含斜率不存在的直线),消元时常常消去y,保留x. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏扬州高邮期中]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,1)在椭圆C上, 射线PF1与椭圆C交于点Q,△PQF2的周长为4 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l过点P且与椭圆C只有一个公共点,求直线l的方程; (3)过点P作斜率为k1,k2的两条直线分别与椭圆C交于M,N两点,且k1+k2=1,证明:直线MN过定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由△PQF2的周长为4 及椭圆的定义,得4a=4 ,解得a= , 则椭圆方程为 + =1,又点P(2,1)在椭圆C上,所以 + =1,解得b2=3, 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)由直线l与椭圆C只有一个公共点,且点P在椭圆C上,得该直线的斜率存在, 设直线l的方程为y-1=k0(x-2),即y=k0x-2k0+1, 由 消去y并整理,得(1+2 )x2-(8 -4k0)x+8 -8k0-4=0, 令Δ=(8 -4k0)2-16(1+2 )(2 -2k0-1)=0,解得k0=-1(二重根), 所以直线l的方程为y=-x+3,即x+y-3=0. (3)证明:当直线MN的斜率存在时,如图,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2), 第1讲　描述运动的基本概念   由 消去y并整理, 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0, 则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-3)>0,即6k2+3-m2>0,  则k1+k2= +  第1讲　描述运动的基本概念 = +  = +  =2k+(m+2k-1)  =2k+(m+2k-1)·  =2k+(m+2k-1)·  =2k+(m+2k-1)·  =2k+(m+2k-1)·  第1讲　描述运动的基本概念 =2k+  =  = , 由k1+k2=1,得 =1,解得m=-3,则直线MN的方程为y=kx-3,恒过点(0,-3); 当直线MN的斜率不存在时,M(x1,y1),N(x1,-y1), 由k1+k2=1,得 + =1,解得x1=0,此时直线MN的方程为x=0,也过点(0,-3). 综上,直线MN过定点(0,-3). 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　直线方程设法技巧: (1)斜率可能不存在时,优先设直线方程为x=my+t,避免分类讨论; (2)过y轴上一定点时,设直线方程为y=kx+m(m为定点的纵坐标),简化参数. 第1讲　描述运动的基本概念 $